Замечание

Значения квантилей находят в таблицах. Приведем наиболее часто используемые квантили стандартного нормального распределения N(0,1):

u0.95 = 1.64,

u0.975 = 1.96,

u0.995 = 2.58.

Пример

Найти доверительный интервал уровня значимости α = 0.05 для неизвестного математического ожидания а нормально распределенного признака X генеральной совокупности, если σ = 5, выборочное среднее =14 и объем выборки n = 25.

Доверительный интервал для a:

I

a

x u

,

x u

.

1 / 2

n

1 / 2

n

Все величины известны. Подставив

u0.975 = 1.96, X = 14, σ = 5, n = 25,

окончательно получим искомый доверительный интервал

12,04 ≤ а ≤ 15,96.

Схема построения доверительного интервала

Т.о., надо взять статистику G(x, θ), такую, что она сама зависит от параметра θ, а ее распределение от θ не зависит, записать уравнение

P(γ1 ≤ G(x, θ) ≤ γ2) = 1 – α,

и разрешить неравенство под знаком вероятности относительно параметра θ.

Как найти γ1 и γ2

В качестве γ1 и γ2 будем использовать квантили распределения статистики G(x, θ):

γ1=Gα/2, γ2=G1 –α/2

Напоминание. Квантиль порядка q отсекает слева 100∙q% значений случайной величины.

Доверительный интервал для параметра a нормального распределения N(a,σ)

(при неизвестном σ)

Мы не можем использовать статистику a x , т.к. неизвестно.

n

Но мы знаем похожую статистику, не использующую :

a

x

T .

s

n 1

n

Запишем уравнение:

PЗдесь( a

x

t

) 1 .t

,

.

1

s

2

1

n 1, / 2

2

n 1,1 / 2

n

Окончательный ответ (при неизвестном

σ) :

Доверительный интервал для a:

s

s

I

a

x t

n 1,1 / 2

,

x t

n 1,1 / 2

.

n

n

Доверительный интервал для параметра σ нормального распределения N(a,σ).

Известно, что nS22 2n 1. Запишем уравнение:

P( 1 nS22 2 ) 1 .

1 2n 1, / 2 , 2 2n 1,1 / 2 .

Продолжение

Разрешим неравенство относительноσ:

	P( 1		nS 2	2 ) P(		1		1			2	)
			2		nS 2			2		nS 2

P(nS 2 2 nS 2 ) 1 .

2 1

1 2n 1, / 2 , 2 2n 1,1 / 2 .

Окончательный ответ:

Доверительный интервал дляσ:

			S	n		S		n
	I				,
										.
			2				2
				,1 / 2					, / 2
			n 1					n 1