Критерий Стьюдента для

парных выборок

Гипотеза о среднем. H0: a1 = a2.

(X1,, X2,..., Xn) € N(θ1,θ2), (Y1,, Y2,..., Yn) € N(θ ′1,θ2 ′)

Xi и Yi связаны между собой (пара). Перейдем к разностям di = Xi и Yi, для

разностей гипотеза формулируется так:

H0: d0 = 0.

								di
									n 1
						n
	d
T											.
					d			n di 2 di 2
			S
При				справедливой					гипотезе H0

T Tn 1

Ошибки первого и второго рода

•Существует два рода ошибок, которые можно сделать при проверке гипотез. Во –первых, можно ошибочно отвергнуть H0

(например, забраковать партию шариков). Вероятность совершить такую ошибку обычно называется вероятностью ошибки

первого рода (альфа). Вторая ошибка, которую можно сделать, –ошибочно не отвергнуть H0 (посчитать, что шарики стандартны), когда на самом деле они нестандартны. Вероятность этой ошибки обычно называется вероятностью ошибки

второго рода (бета).

Ошибки первого и второго рода на графике

•Пусть H0: N(0,1)

•H1: N(1,1)

Ошибка первого рода

• Определение. Ошибка первого рода состоит в том, что H0 отвергается, когда она

верна.

Вероятность ошибки 1 –го рода обозначается α,

α = P(T€ V/ H0) (значение статистики Т принадлежит критической области V при условии, что верна H0) .

α – это уровень значимости.

Ошибка второго рода

• Определение. Ошибка второго рода состоит в том, что H0 не отвергается, когда она не верна.

Вероятность ошибки 2 –го рода обозначается

β.

β – это вероятность того, что значение статистики Т не принадлежит критической области V при условии, что верна H1.

Ошибки первого и второго рода

Двусторонняя критическая область

Мощность критерия

• Определение. Мощностью критерия

называется величина М = 1 – β. Мощность

критерия М равна вероятности отвергнуть

H0,

когда она не верна.

М – это вероятность того, что значение статистики Т принадлежит критической области V при условии, что верна H1.

Односторонняя альтернатива. α=0,05; β=0,36, M=1 –β=0,64.

Двусторонняя альтернатива. α=0,05; β=0,48, M=1 –β=0,52.