• При n→∞, если H0 – верная гипотеза, распределение статистики √n Dn сходится к функции Колмогорова К(t). Функция Колмогорова задается таблично. При практических расчетах значения К(t) можно применять уже при n>20.

t* находится из таблиц К(t) по заданному α. Например, при α=0,05 находим, что t* = 1,358.

• Таким образом, при заданном уровне значимости α правило проверки гипотезы H0 при n>20 сводится к следующему:

• если значение статистики √n Dn ≥ t*, то H0 отвергают, в противном случае делают вывод , что статистические данные не противоречат гипотезе.

H0: F=F0. Пример

• Пусть α=0,05, а максимальное расхождение между F0 и эмпирической функцией распределения Fn, построенной по выборке объема n=100, равно 0,094.

√100∙ 0,094= 0,94< t* = 1,358. Следовательно, H0 не отвергается, т.е. распределение F0 можно использовать для моделирования генеральной совокупности.

H0: F=F0. Критерий согласия Пирсона χ2

•Критерий применяется к группированной выборке.

•Пусть n – объем выборки (n ≥50),

•k – число интервалов группировки,

•ni – число значений, попавших в i –й интервал, i=1,…,k, (ni ≥5),

pi – теоретическая вероятность попадания одного элемента выборки в i –й интервал.

•Обозначим npi как niТ ( теоретические частоты)

•Статистика критерия:

k	(n np )2	k	(n n		Т )2
T	i i		i	i		.
	npi			Т
i 1		i 1		ni

•Для нахождения теоретических вероятностей pi надо знать параметры. Если параметры неизвестны (как обычно и бывает), то вместо них используются их оценки.

•Если используются оценки максимального правдоподобия, то :

k	(n np )2
T	i	np	i	2 ( ),
i 1		i

ν– параметр распределения χ2, называемый числом степеней свободы.

ν=k –r –1, где r – число параметров, оцененных по выборке.

Критическая область имеет вид (t*,+∞), где t*

– квантиль распределения χ2 порядка 1 –α.

• Если значение статистики T ≥ t*, то H0 отвергают, в противном случае делают вывод, что статистические данные не противоречат гипотезе.

Пример. Проверить гипотезу о нормальности распределения

Решение

•n = 100 – объем выборки;

•xmax = 1.91 – максимальный элемент выборки;

•xmin = –2.46 – минимальный элемент выборки;

•R = 4.37 – размах выборки;

•Примем k = 10 – число интервалов.

•Вычислим С = R/k =0.44 – длина интервала.

Числовые характеристики

Оценка математического ожидания (среднее выборочное)

• x = –0,266

•Оценка среднего квадратического отклонения:

•S = 0,95;

Вероятность Pi=P находится с помощью функции распределения:

P P( yл X yп )

FX ( yп ) FX ( yл )

a, ( yп ) a, ( yл )

, S ( yп )

, S ( yл )

X

X

y

y

п

X

л

X

S

S

(tп ) (tл ).