8. Статические характеристики сау (2 стр. 20-21)

Статической характеристикой САУ называют зависимость между ее выходной величиной и входным воздействием, в устано­вившемся режиме.

Характер этой зависимости определяется статическими харак­теристиками звеньев, входящих в САР и способами их соедине­ний между собой. В качестве входных воздействий обычно рас­сматриваются задающее или основное возмущающее воздействие. В общем случае такие характеристики нелинейны.

Линеаризация статических характеристик

а) Функция одной переменной.

Пусть дана статическая характеристика – непрерывная дифференци­руемая функция У =f(Х), причем точкой основного режима рабо­ты является точка А.

Разложим функцию в степенной ряд Тейлора в рабочей точке а

.

При рассмотрении изменения X в окрестностях точки А в неболь­шом диапазоне возможно ограничиться рассмотрением 2-х первых членов ряда Тейлора

	X – XA = ΔX – отклонение X от исходного значения;
	Y – YA = ΔY – отклонение Y от исходного значения.

Тогда ,

где – коэффициент связи между У и X в окрестностях точки А или коэффициент усиления элемента в окрестности исходной точки.

На структурной схеме последнее уравнение изобразится:

б) Функция двух переменных.

Пусть дана статическая характеристика в виде непрерывной дифференцируемой функции двух переменных

Z = f(X,Y)

Точкой основного режима работы является точка А.

Разложим функция в степенной ряд Тейлора в точке А:

.

При небольшом отклонении Х, У от рабочей точки А также допустимо ограничение двумя членами ряда Тейлора

.

Обозначим

,

тогда последующее уравнение

.

9. Математическое условие устойчивости линейных систем (2 стр. 22-23)

Как отмечалось ранее, для линейной САР общее уравнение движения может быть записано в виде:

(1)

Решением этого уравнения является:

В соответствии с определением устойчивости, система будет устойчивой, если

(2)

является решением уравнения (1) без правой части.

(3)

В общем виде решение уравнения (3) имеет вид

(4)

где - постоянные интегрирования

- корни характеристического уравнения

Каждому слагаемому в решении (4) с вещественным корнем соответствует процесс:

Каждому слагаемому в решении (4) с комплексным сопряженным корнем соответствует процесс:

Таким образом, для устойчивости САР, описываемой линейным дифференциальным уравнением (1), необходимо и достаточно чтобы все вещественные корни характеристического уравнения и все вещественные части комплексно-сопряженных корней были отрицательны. Это условие и есть математическое условие устойчивости.

Если изобразить корни на комплексной плоскости, то математическое условие устойчивости может быть сформулировано так: для устойчивости САР, описываемой линейным дифференциальным уравнением (1) необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения располагались слева от мнимой оси комплексной плоскости корней. Мнимая ось является в этом случае границей устойчивости.

Непосредственное использование сформулированного условия возможно лишь для систем относительно невысокого порядка.

Для анализа устойчивости реальных систем используют критерии устойчивости.