AB

					F Tran			sf
				D
		Y	P						or	e
B	Y								m
								buy		r
										2
										0
							to			.
						here
				Click
w										m
		w		w.					o
								.
					A BBYY				c

F Tran

sf

D

Y

P

or

e

B

Y

m

B

buy

r

2

0

A

to

.

here

Click

w

m

(y ' )2

= 32 x ' ,

w

w.

.

o

A B BYY

c

где y¢ = y , x¢ = 1 - x . Таким образом, данное уравнение определяет параболу.

6

&

O

5. Комплексные числа

							i&2 = -1
Выражение вида	z = a + b ×i&				, где a и b - вещественные числа
							,	,
называется комплексным числом (в алгебраической форме).
Комплексное число						называется комплексно-
		z	=a - b ×i&
сопряженным числом к комплексному числу z = a + b ×i&.

Действия над комплексными числами. Пусть даны два комплексных числа: z1 = a1 + b1 ×i& и z2 = a2 + b2 ×i&. Тогда

1)z1 + z2 = (a1 + b1 ×i&)+ (a2 + b2 ×i&)= (a1 +a2 )+ (b1 + b2 )×i&

2)z1 × z2 = (a1 + b1 ×i&)×(a2 + b2 ×i&)= (a1a2 - b1 b2 )+ (a1b2 + b1a2 )i&

3)z1 = a1 + b1i& = a1a2 + b1b2 + b1a2 -a1b2 i&.

z2 a2 + b2i& a22 + b22 a22 + b22

Для любого комплексного числа z = a + bi& имеем:

z ×

z

= (a + bi&)(a - bi&)= a 2 + b 2

.

Величина r = a 2 + b 2 называется модулем комплексного числа.

Угол j , определяемый равенствами	ìa = r ×cosj	, j Î[0, 2p ) ,
	í
	îb = r ×sinj

называется аргументом комплексного числа.

Любое комплексное число можно записать в тригонометрической форме:

z	= a + bi = r	j +i ×		sin	j	)	,
	&	(соs	&

где a = r × cosj, b = r ×sin j .

37

AB

			F
			D
		Y	P
B	Y
w			Click
		w
			w.
			A

r	ansf
T
			or
				m
				e
			buy	r
				0
				2
		to		.
here

		O
		m
	o
.c
BBYY

Для выполнения действий возведения комплексного числа в натуральную степень и извлечения корня с натуральным показателем

используются формулы Муавра:

AB

					F Tran			sf
				D
		Y	P						or	e
B	Y								m
								buy		r
										2
										0
							to			.
						here
				Click
w										m
		w		w.					o
								.
					A B BYY				c

1)

[r(cosj +i&sin j)]n = rn (cos nj +i&sin nj);

æ

j + 2kp

j + 2kp ö

2)

n r(cosj +i&sin j) = n r çcos

+i&sin

÷

,

n

n

è

ø

Задание 5 Дано комплексное число z0

=

2

. Требуется:

1 +i&

1)записать данное число в алгебраической и тригонометрической формах;

2)найти все корни уравнения z3 + z0 = 0 .

Решение 1) Приведем комплексное число z0 к алгебраической

форме: z0 = a0 + b0i&.

Для этого умножим числитель и знаменатель дроби z0 на число1 -i&,

комплексно-сопряженное знаменателю. Получим:

z0	=		2(1 -i&)	=	2(1 -i&)	= 1 -i&.
		(1	+i& 1)(-i&
				) 1 +1

Это и есть алгебраическая форма комплексного числа z0 , где a0 =1, b0 = -1.

2)Теперь приведем комплексное число z0 =1 -i& к тригонометрическому виду: z0 = r0 (cosj0 +i&sin j0 ), где r0 - модуль комплексного числа z0 , j0 -

аргумент этого числа.

Для этого найдем r0 = a02 + b02 = 2 . Для нахождения j0 имеем систему:

?ìía0 = r0сosj0

îb0 = r0 sin j0

или

ì 1 = 2 cosj0

í

î-1 = 2 sin j0

и тогда j0 = - p . Следовательно, тригонометрическая форма комплексного

4

числа z0. имеет вид:

38

AB

					F Tran			sf
				D
		Y	P						or	e
B	Y								m
								buy		r
										2
										0
							to			.
						here
				Click
w										m
		w		w.					o
								.
					A BBYY				c

			é	æ		p ö		æ		p öù
	z0 =	2	êcosç		-		÷	+i&sin ç	-		÷ú .
						4				4
			ë	è			ø	è			øû

AB

					F Tran			sf
				D
		Y	P						or	e
B	Y								m
								buy		r
										2
										0
							to			.
						here
				Click
w										m
		w		w.					o
								.
					A B BYY				c

3) Найдем теперь все корни уравнения z3 + z0 = 0 , откуда z = 3 - z0 .

Тригонометрическая форма комплексного числа - z0 имеет вид:

			é	æ	3p ö		æ	3p öù
	- z0 =	2	êcosç			÷	+ i sinç		÷ú .
					4			4
			ë	è		ø	è		øû

По второй из формул Муавра получаем:

æ

3p

3p

ö

ç

+ 2kp

+

2kp ÷

4

4

3

-1 +i&

= 6

2

çсos

+i& sin

÷ , где k = 0,1,2.

3

3

ç

÷

ç

÷

è

ø

Тогда корни уравнения имеют вид:

1.При k = 0 :

2.При k = 1:

3.При k = 2 :

z1

z2

z3

= 6

æ

3p

+i&sin

3p

ö

= 6

2

çcos

÷

12

12

è

ø

æ

11p

11p

ö

= 6

2

çcos

+i&sin

÷ ;

12

12

è

ø

æ

19p

19p ö

= 6

2

çcos

+i&sin

÷ .

12

12

è

ø

		æ	p
	2	çcos
			4
		è

p

ö

æ

2

2

ö

;

+ i sin

÷

= 6

2

ç

+ i

÷

4

ø

ç

2

2

÷

è

ø

39

AB

					F Tran			sf
				D
		Y	P						or	e
B	Y								m
								buy		r
											2
											0
							to				.
						here
				Click
w				&B Y
										m
		w		w.					o
								.
					A	B Y			c

						F Tran			sf
					D
			Y	P						or	e
	B	Y								m
B									buy		r
											2
											0
A								to			.
							here
					Click
	w										m
			w							o
					w. .
Глава 3. Введение в анализ. Дифференциальное										c
						A B BYY

исчисление функции одной переменной.

		Теоретические вопросы
4	1.	Понятие функции одной переменной.
	2.	Предел функции.

3.Непрерывность функции.

4.Бесконечно малые функции и их свойства.

5.Бесконечно большие функции и их свойства.

6.Односторонние пределы.

7.Производная функции.

8.Таблица производных.

9.Правила дифференцирования.

10.Производная сложной функции.

11.Производные высших порядков. Правило Лопиталя.

12.Исследование функций с помощью производных.

Литература

1.Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика: Учеб.для вузов:в 3т.-5-е

изд.,стер.-М.:Дрофа .- (Высшее образование. Современный учебник).т.2.

Дифференциальное и интегральное исчисление.-2003.-509 с.

2. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: Учеб.

пособие: в 2-х т.- Изд. стер. –М.: Интеграл – Пресс.Т.1. -2001.- 415 с.

3.Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления.

Учеб. для вузов: в 3-х томах. – 8-е изд.-М.: Физматлит. т.1 – 2001. -697 с.

4. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа: Учеб.

пособие. -22-е изд., перераб.- СПб: Профессия, 2003.-432 с.

5.Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. Учеб. для вузов: В 3-х томах.

– 5-е изд., перераб. и доп. –М.: Дрофа. Т.1. – 2003.-703 с.

40