AB

			F
			D
		Y	P
B	Y
w			Click
		w
			w.
			A

r	ansf
T
			or
				m
				e
			buy	r
				0
				2
		to		.
here

		?
		m
	o
.c
BBYY

F Tran

sf

D

Y

P

or

e

B

Y

m

B

buy

r

2

0

A

to

.

here

Click

w

m

w

w. .

o

Задание 1. Выполнить действия над матрицами А и В: (2A-B)(A+3B), где

A B BYY

c

æ1

3

1 ö

æ 2

1

0 ö

A =

ç

2 0=

4

÷

, B

ç

1

-1 2

÷

ç

÷

ç

÷ .

ç

1

2

3

÷

ç

3

2

1

÷

è

ø

è

ø

Решение. Данное выражение включает следующие операции над матрицами:

a.произведение матрицы на число.

b.сумма двух матриц;

c.произведение двух матриц.

Используя определения, данные выше, получим:

æ1 3 1 ö

æ2 1 0 ö

æ2 6 2

ö

ç

÷

ç

÷

ç

÷

2A - B = 2 А + (-1 B) = 2 ×ç2 0 4÷ + (-1 )×ç1 -1 2÷ = ç4 0 8 ÷ +

ç

÷

ç

÷

ç

÷

è1 2 3ø

è3 2 1 ø

è2 4 6

ø

æ- 2

-

1 0 ö

æ

0 5 2ö

ç

÷

ç

÷

+ ç -1 1 - 2÷ = ç 3 1 6÷;

ç

-

÷

ç

÷

è - 3

2 -1 ø

è-1 2 5ø

æ

1 3 1 ö

æ2 1 0ö

æ1 3 1 ö

æ6 3 0ö

æ 7 6 1 ö

ç

÷

ç

÷

ç

÷

ç

÷

ç

÷

;

A + 3B = ç2 0 4÷ + 3ç1 -1 2÷ = ç2 0 4÷ + ç3 - 3 6÷ = ç 5 - 3 10÷

ç

1 2 3

÷

ç

÷

ç

÷

ç

÷

ç

÷

è

ø

è

3 2 1ø

è1 2 3ø

è9 6 3ø

è10 8 6 ø

æ

0

5 2ö

æ 7

6

1 ö

ç

÷

ç

÷

(2A - B) ×( A + 3B) = ç 3 1 6÷ ×ç 5 - 3 10÷ =

ç

÷

ç

÷

è

-1 2 5ø

è10 8 6 ø

æ 0 × 7

+ 5

×5 + 2 ×10

0 ×6 + 5 ×(-3) + 2 ×8

0 ×1 + 5 ×10 + 2 ×6 ö

æ45 1 62

ö

ç

3 × 6 +1× (-3) + 6 ×8

÷

ç

÷

ç 3 ×7 +1×5 + 6 ×10

3 ×1 +1×10 + 6 ×6 ÷ = ç86 63 49÷.

ç

8 (-1) ×1 + 2 ×10 + 5 ×

÷

ç

÷

è(-1) ×7 + 2 ×5 + 5 ×10 (-1) ×6 + 2 × (-3) + 5 ×

6ø

è53 28 49

ø

&		2. Определители второго и третьего порядка.
					Обратная матрица
	Определителем				второго порядка,				соответствующим матрице
O	æ a	a	ö	называется число a a			- a a		.
	A = ç 11	12	÷			22		21
	ç	a22	÷		11		12
	èa21		ø

8

						F Tran			sf
					D
			Y	P						or	e
	B	Y								m
B									buy		r
											2
											0
A								to			.
							here
					Click
	w										m
			w		w.					o
									.
						A BBYY				c

O

F Tran

sf

D

Y

P

or

e

B

Y

m

B

buy

r

2

0

A

to

.

here

Click

w

m

w

o

a11

a12

w. .

A B BYY

c

Этот определитель обозначают

или D .

a21

a22

Следовательно, согласно определению D

a11 = a12

a= a

- a a .

a21

a22

11

22

12

21

Определителем третьего порядка, соответствующим матрице

æ a

a

a

ö

a

a

a

ç 11

12

13

÷

, называется число, обозначаемое

11

12

13

или D и

A = ça21

a22

a23 ÷

a21

a22

a23

ça

31

a

32

a

33

÷

a

a

a

è

ø

31

32

33

определяемое равенством

a11	a12	a13	= a11a22 a33 + a12 a23a31 + a21a32 a13 - a13a22 a31 - a12 a21a33 - a11a23a32 .
a21	a22	a23
a31	a32	a33

Для запоминания этого определения существует простое правило,

которое называется «правилом треугольников». Каждое слагаемое, стоящее

в правой части со знаком плюс, представляет собой произведение трех элементов определителя, взятых, как показано на схеме 1. Каждое слагаемое,

стоящее со знаком минус, представляет собой произведение трех элементов определителя, взятых, как показано на схеме 2.

	Схема 1						Схема 2
	a11	a12	a13				a11	a12	a13
	a21	a22	a23				a21	a22	a23
	a31	a32	a33				a31	a32	a33

Минором элемента aij (i =1,2,3; j =1,2.3) определителя третьего порядка

называется определитель второго порядка, получающийся из данного

определителя третьего порядка вычеркиваниемi-той строки j-того		столбца,
на пересечении которых стоит элементaij . Минор	элемента aij обозначают
M ij .
Алгебраическим дополнением элемента aij	определителя	третьего

порядка называется произведение минора M ij этого элемента на число (-1)i+ j ,

9

						F Tran			sf
					D
			Y	P						or	e
	B	Y								m
B									buy		r
											2
											0
A								to			.
							here
					Click
	w										m
			w		w.					o
									.
						A BBYY				c

O

где i - номер строки, j - номер столбца, на пересечении которых элемент aij . Алгебраическое дополнение элемента aij обозначают Aij .

Таким образом,

Aij = (-1)i+ j × M ij

F Tran

sf

D

Y

P

or

e

B

Y

m

B

buy

r

2

0

A

to

.

here

Click

w

m

w

w.

.

o

стоит

c

A B BYY

Справедлива следующая теорема:

Определитель равен сумме произведений элементов к-

нибудь строки (или столбца) на их алгебраические дополнения, т.е.

D = a11 × A11 + a12 × A12 + a13 × A13

D= a21 × A21 + a22 × A22 + a23 × A23

- - - - - - - - - - - - - - - - -

D= a13 × A13 + a23 × A23 + a33 ×A33

	Матрица A-1 называется обратной матрицей по отношению к
матрице A =				(aij ) , если выполняется условие: A × A-1	= A-1 × A = E , где
				3
æ1	0	0	ö
ç	1	0	÷	- единичная матрица.
E = ç0			÷
ç	0	1	÷
è0			ø

Если определитель матрицы А отличен от нуля, то существует единственная обратная матрица A-1 , которая находится по формуле:

			1	æ	A	A	A	ö
	-1			ç	11	21	31	÷
A		=		× ç A12		A22	A32 ÷
			D
				ç	A13	A23	A33	÷	,
				è				ø

где ∆ - определитель матрицы А, D ¹ 0 , Aij - алгебраические дополнения

элементов матрицы А.

?Задание 2. Найти матрицу, обратную к данной матрице А.

æ3		2	2	ö
ç		3	1	÷
A = ç1				÷ .
ç	5	3	4	÷
è				ø

Решение.

10

AB

					F Tran			sf
				D
		Y	P						or	e
B	Y								m
								buy		r
										2
										0
							to			.
						here
				Click
w										m
		w		w.					o
								.
					A BBYY				c

F Tran

sf

D

Y

P

or

e

B

Y

m

B

buy

r

2

0

A

to

.

here

Click

w

m

1) Вычислим определитель матрицы А:

w

w. .

o

A B BYY

c

3

2

2

= 3 ×3 × 4 + 5 × 2 ×1 + 2 ×3 ×1 - 5 ×3 × 2 -1× 2 × 4 - 3 ×3 ×1 = 5 .

D =

1 3 1

5

3

4

D ¹ 0 , следовательно, обратная матрица существует и единственна.

2) Находим алгебраические дополнения элементов определителя матрицы А.

A11		3				1				9, A21				2		2				-2,= =A31			2						2	-4,
	=	= =				4					-			=		4							3						1
		3												3
A = -					1 1					=1, A		=		3	2			=2, A			=-				3			2
																														=-1,
12					5		4			22				5		4			32						1				1
A	=		1			3		= -12, A				= -				3		2		=1, A		=					3		2			=7.
13			5			3			23							5		3			33						1		3

3)Составим обратную матрицу:

				æ	9	- 2	- 4ö
	A-1		1	ç				÷
		=		ç	1	2	-1 .
			5					÷
				ç	-12	1	7	÷
				è				ø

4) Проверим правильность нахождения матрицы A-1 , исходя из

определения обратной матрицы.

1

æ 9

- 2 - 4ö

æ3 2 2ö

1

æ5 0

0ö

æ1 0 0ö

-1

ç

÷

ç

÷

ç

÷

ç

÷

A

× A =

×ç 1

2

-1÷ ×ç1

3

1÷ =

×ç0

5

0÷ = ç0

1

0÷ = E.

5

5

ç

-12 1

7

÷

ç

5

3

4

÷

ç

0

0

5

÷

ç

0

0

1

÷

è

ø

è

ø

è

ø

è

ø

Аналогично A-1 × A = E . Следовательно, обратная матрица найдена верно.

&3. Системы линейных алгебраических уравнений

Рассмотрим систему трех линейных алгебраических уравнений с тремя неизвестными:

ìa x				+ a x				+ a x			= b
ï	11		1	12			2	13		3	1	(1)
ía21 x1 + a22 x2 + a23 x3											= b2
ïa		31	x	+ a	32	x		+ a	x		= b
î			1				2		33	3	3

11