AB

					F Tran			sf
				D
		Y	P						or	e
B	Y								m
								buy		r
										2
										0
							to			.
						here
				Click
w										m
		w		w.					o
								.
					A BBYY				c

9. z0 =

1

3 + i

10. z0 =

4

3 + i

AB

					F Tran				sf
				D
		Y	P							or	e
B	Y									m
									buy		r
											2
											0
								to			.
						here
				Click
w											m
		w		w.						o
									.
					A B		BYY			c

Введение в анализ. Дифференциальное исчисление функции одной переменной

Задание 1. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.

2x3

+ x 2 - 5

x -

5x

æ

4x - 3 ö2 x

1. а)

lim

; б)

lim

x

; в)

lim

; г)

lim

ç

÷

+ x - 2

4x +1

x®¥ x3

x®1 x 2 - x

x®0 arctg3x

x®¥è

ø

3x 2

öx+1

2. а)

lim

- 6x + 7

; б) lim

1 - 1 - 4x 2

; в) lim

1 - cos10x

; г)

lim

æ

2x + 3

ç

÷

3x 2

x 2

2x +1

x®¥ x 2 + 4x - 3

x®0

x®0

x®¥è

ø

3x 2

+ 4x -1

- 3

sin 3x

æ x -10

ö3x+1

3. а)

lim

; б)

lim

1 - x

; в)

lim

; г)

lim

ç

÷

x +1

x®¥ x 2 + 2x + 5

x®-8 x + 8

x®0 3x 2 + 5x

x®¥è

ø

5x 2

- 3x + 2

- 3

2x sin x

æ x + 3

öx+4

4. а)

lim

; б)

lim

1 + 2x

; в)

lim

; г)

lim

ç

÷

+ 3x + 4

x®¥ x 2

x®4 x - 4

x®0 1 - cos x

x®¥è x + 5

ø

x 2

- 2x +1

- 5

cos 2x - cos x

æ x -1

öx+2

5. а)

lim

; б)

lim

9 + 2x

; в)

lim

; г)

lim

ç

÷

- x

x®¥ 2x 2 - x -1

x®8 8

x®0 1 - cos x

x®¥è x + 3

ø

(1

x)

æ x + 5

öx+4

6. а) lim

5x

2

- 4x -1

;

б) lim

1

-

2x

+

x

2

-

+

; в) lim

1 - cos 2x

;

г)

lim

ç

÷

x®¥ 4x 2 -14x + 6

x®0

x

x®0 cos 7 x - cos 3x

x®¥è x + 3

ø

7x 2

+ 8x +1

10 - x - 6

1 -

æ x

+ 5 öx+1

7. а)

lim

;

б)

lim

1

- x

; в)

lim

cos x

; г)

limç

÷

+ 3x - 2

x + 8

- 7

x®¥ 2x 2

x®-8

x®0 x sin x

x®¥è x

ø

6x 2

+x -1

- 3

1

- cos 4x

æ 4x -1

ö2 x

8. а)

lim

;

б)

lim

2 + x

;

в)

lim

; г)

lim

ç

÷

7 - x

2x tgx

4x

x®¥ 3x 2 - 2x -1

x®7

x®0

x®¥è

ø

63

AB

					F Tran			sf
				D
		Y	P						or	e
B	Y								m
								buy		r
										2
										0
							to			.
						here
				Click
w										m
		w		w.					o
								.
					A BBYY				c

	2x3 - 3x + 5								cos x - cos3 x
9. а) lim		;	б) lim		2x + 3 - 3		; в)	lim		;	г) lim(8 - 7x)x x-1
									3x 2
x®¥ x3 - 4x -1			x®3		6 - 2x			x®0			x®1

AB

					F Tran				sf
				D
		Y	P							or	e
B	Y									m
									buy		r
											2
											0
								to			.
						here
				Click
w											m
		w		w.						o
									.
					A B		BYY			c

7x 2

+ 6x - 4

x 2ctg3x

10. а) lim

;

б) lim

x +13 - 4

; в)

lim

;

г) lim(3x - 8)2 x-3 .

x®¥ x 2

- x + 5

x®3

x - 3

x®0 sin 2x

x®3

Задание 2. Исследовать на непрерывность данные функции. Сделать чертеж.

	ì		2	-1,				x £ 1,
	3x
1.	ï	2x, 1				< x £ 3,
	y = í
	ï							x > 3.
	î x + 2,
	ì 2x + 5,							x < 0,
3.	ï							£ x £ 4,
	y = íx +1, 0
	ï
		3 +			x ,			x > 4.
	î
	ìx 2 - x,							x £ 0,
5.	ï					< x £ 1,
	y = í x, 0
	ï		2,			x		> 1.
	î
	ì x + 3,							x £ 0,
7.	ï					< x < 2,
	y = íx 2 , 0
	ï	2x,					x ³ 2.
	î

ì x + 2, x £ 0,

9. y = ïí- (x -1)2 , 0 < x < 2,

ï	x - 3, x ³ 2.
î

ì

cos x,

x £ 0,

2.

ï

+ x 2 , 0 < x < 2,

y = í1

ï

x,

x ³ 2.

î

ì sin x,

x < 0,

4.

ï

£ x £ 1,

y = íx3 , 0

ï

x > 1.

î2x +1,

ì - 3x 2 ,

x £ 0,

6.

ï

x , 0 < x < 4,

y = í

ï

1,

x ³ 4.

î

ì

x3 ,

x £ 0,

ï

ï

p

8.

ï

y = ítg x, 0 < x £

,

4

ï

p

ï

x >

3,

.

ï

4

î

ì

p

ïcos x,

x £

,

2

ï

p

10.

ï

y = í0,

< x < p ,

2

ï

x ³ p.

ï

x,

ï

î

Задание 3. Найти производные данных функции.

1. а) y =

2x 2

- x -

1

;

б) y =

1

e x - 3

; в) y = ln(x +

);

arctg

1 + x 2

3

2 + 4x

2

2

64

AB

					F Tran			sf
				D
		Y	P						or	e
B	Y								m
								buy		r
										2
										0
							to			.
						here
				Click
w										m
		w		w.					o
								.
					A BBYY				c

	ì					æ1		ö
	ï	x = arccosç						÷,
г)	ï					è t		ø
	í							æ1		ö
	ïy =		t	2
					-1	+ arcsinç				÷.
	ï							è t ø
	î

AB

					F Tran				sf
				D
		Y	P							or	e
B	Y									m
									buy		r
											2
											0
								to			.
						here
				Click
w											m
		w		w.						o
									.
					A B		BYY			c

x2

2

; в) y = ln(

+

);

2. a)

y =

;

б) y =

(arctge x )3

x

x +1

2

1 - 3x 4

3

ì

г)

2t - t

2

,

íï x

=

ï

îy = arcsin(t -1 .)

x

6

+ x

3

-

2

e

x3

- 4 ln(2 +

); г)

ì

2

3. a) y =

; б) y =

; в)

y = 2

íï x =

1 - t

,

x

x

1 + x3

1 - x

3

ï

îy = tg 1 + t .

	1 + x		2			8	ìx = ln ctgt,
4. а) y =					; б) y = x +		; в) y = ln 2 (x + cos x); г) íï	1
	2 1 + 2x2					1 +e x 4	ïy =				.
								cos	2
							î			t

(1 + x

2

3

e

x2

x

2

ì

t

2

,

5. а)

y =

)

; б)

y =

; в)

y = ln

; г)

ïx = arctg e

í

3x

3

1 + x

2

1 - x

2

t

ï

y =

e +1.

î

6. а)

x 6 +

8x3 -

128

; б) y = arctg(e x - e -x ); в) y = ln arccos

;

y =

1 - e 4 x

8 - x3

ì x = ln tg t,

г)

íï

1

ïy =

.

sin

2

î

t

3

x 2 + x +1

; б)

1

1 + 2 x

; в)

æ

1 ö

; г)

ìx = arcsin t ,

7. а) y = 3

y =

ln

y = lnçarccos

÷

í

x

x +1

ln 4

1 - 2

è

x ø

î y = 1 + t .

65

						F Tran			sf
					D
			Y	P						or	e
	B	Y								m
B									buy		r
											2
											0
A								to			.
							here
					Click
	w										m
			w		w.					o
									.
						A BBYY				c

8. а) y =		x	2 + 2				; б) y =		1	ln(e2 x +1)- 2arctg e x ; в) y = ln 3 (1 + cos x);
		2 1 - x 4					2
ì	x = ln(1 - t 2 ),
г) í
							- t 2 .
îy = arcsin 1

AB

					F Tran			sf
				D
		Y	P						or	e
B	Y								m
								buy		r
										2
										0
							to			.
						here
				Click
w										m
		w		w.					o
								.
					A B BYY				c

9. а)		3x +		x		; б) y = e	sin x æ	1 ö		; в)
	y =						ç x -		÷
			x 2	+ 2			è	cos x ø

					ì x =
			1				1 - t 2 ,
y = log3					; г) íï		t
1			- x 4		ïy =					.
							1 - t	2
				î

10.а)

y =

x + 7

; б) y = x +

1

- ln(1 + e x ); в) y = ln sin

2x + 4

;

6 x 2 + 2x + 7

1 + e x

x +1

ì x

= arctg t,

г)

íï

1

+ t 2

ïy = ln

.

1

î

+ t

Задание 4. Найти пределы функций, пользуясь правилом Лопиталя.

1. lim

æ 1

-

1

ö

2.

lim

e x

- e- x - 2x

ç

÷

x -1

x - sin x

x®1è ln x

ø

x®0

æ

1

1

ö

4.

æ 1

1

ö

3. lim

ç

-

÷

limç

-

÷ .

x

x 2

e x

-1

x®0è sin 2

ø

x®0è x

ø

5. lim

x cos x - sin x

6. lim (p - 2arctg x)ln x

x®0

x3

x®+¥

7. lim

tgx - sin x

8. lim

ln(sin 2x)

x®0

x - sin x

x®0 ln sin x

9. lim

æ

x

1

ö

10. lim

æ

x

p

ö

ç

-

÷

ç

-

÷

x®1è x -1

ln x ø

p

ç

÷

x®

è ctgx

2 cos x ø

2

66

AB

					F Tran			sf
				D
		Y	P						or	e
B	Y								m
								buy		r
										2
										0
							to			.
						here
				Click
w										m
		w		w.					o
								.
					A BBYY				c

F Tran

sf

D

Y

P

or

e

B

Y

m

B

buy

r

2

0

A

to

.

here

Click

w

m

w

w. .

o

Задание 5. Провести полное исследование функций и построить их графики

A B BYY

c

1. y =

17 - x 2

2. y =

4x 2 + 9

4x - 5

4x + 8

3. y =

x3 - 4x

4. y =

x 2 - 6x + 4

3x 2 - 4

3x - 2

5. y =

2x 2 - 6

6. y =

4x3 - 3x

x - 2

4x 2 -1

7. y =

x3 - 5x

8. y =

21 - x 2

5 - 3x 2

7x + 9

9. y =

3x 2 - 7

10. y =

x 2 -11

2x +1

4x - 3

67

AB

			F
			D
		Y	P
B	Y
			Click

r	an
T
here		to

sf
or
	m
	e
buy	r
	0
	2
	.

w				m
w	w.		o
		.
		A BBYY	c

AB

			F
			D
		Y	P
B	Y
			Click

r
T an
here	to

sf
or
	m
	e
buy	r
	0
	2
	.

w				m
w	w.		o
		.
		A B BYY	c