AB

					F Tran			sf
				D
		Y	P						or	e
B	Y								m
								buy		r
										2
										0
							to			.
						here
				Click
w										m
		w		w.					o
								.
					A BBYY				c

F Tran

sf

D

Y

P

or

e

B

Y

m

B

buy

r

2

0

A

to

.

here

Click

w

m

Здесь x1 , x2 , x3 - неизвестные,

a11 , a12 ,..., a33 , b1 , b2 , b3 - заданные числа.

w

w. .

o

A B BYY

c

Определитель D =

a11

a12

a13

называют главным определителем системы(1).

a21

a22

a23

a31

a32

a33

Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно

решение.

3.1.Формулы Крамера

&Если главный определитель системы (1) отличен от нуля, то система (1)

совместна и имеет единственное решение, которое находится по формулам

O(формулы Крамера):

x =

D1

,

x =

D2

,

x =

D3

,

1

D

2

D

3

D

где

a11

a12

a13

¹ 0 , главный определитель

D =

a21

a22

a23

a31

a32

a33

b1

a12

a13

,

a11

b1

a13

,

a11

a12

b1

D1 =

b2

a22

a23

D2 =

a21

b2

a23

D3 =

a21

a22

b2

b3

a32

a33

a31

b3

a33

a31

a32

b3

-побочные определители системы.

3.2 Матричный способ решения системы линейных алгебраических уравнений

Систему (1) можно записать в матричном виде

,

A × X = B

где

æ a	a
ç 11	12
A = ça21	a22
ç	a32
èa31

a13 ö÷ a23 ÷ , a33 ÷ø

æç x1 ö÷

X= ç x2 ÷ , çè x3 ÷ø

æç b1 ö÷

B= çb2 ÷ . çèb3 ÷ø

Если определитель матрицы А отличен от нуля, то система (1)

совместна и имеет единственное решение, определяемое формулой

X = A-1 × B

, где A-1 - матрица, обратная к А.

?Задание 3. Дана система:

12

AB

					F Tran			sf
				D
		Y	P						or	e
B	Y								m
								buy		r
										2
										0
							to			.
						here
				Click
w										m
		w		w.					o
								.
					A BBYY				c

ìïx1 - x2 + 7x3 = 6

í2x1 + 3x2 - 3x3 =10

ïî3x1 + 2x2 + 5x3 =17

Решить ее двумя способами:

1)по формулам Крамера

2)матричным способом

Решение

1. Вычислим определитель системы (2):

1 -1 7

D = 2 3 - 3 = 5 .

3 2 5

						F Tran			sf
					D
			Y	P						or	e
	B	Y								m
B									buy		r
											2
											0
A								to			.
							here
					Click
	w										m
			w		w.					o
									.
						A B BYY				c

(2)

D ¹ 0 , следовательно, система (2) совместна и имеет единственное решение.

Находим его, используя формулы Крамера:

	6 -1 7					1	6 7				1	-1 6
D1 =	10	3	- 3	=10 ,	D2 =	2	10	- 3	=15 ,	D3 =	2	3	10	= 5 ,
	17	2	5			3	17	5			3	2	17

x =

D1

=

10

= 2 ,

x =

D2

=

15

= 3 ,

x =

D3

=

5

=1 .

1

D

5

2

D 5

3

D

5

2. Перепишем систему (2) в виде A × X = B , где

æ1 -1 7 ö

æ x

ö

æ 6

ö

ç

÷

,

ç 1

÷

,

ç

÷

A = ç2 3 - 3÷

X = ç x2 ÷

B = ç10÷ .

ç3 2

5 ÷

ç x

÷

ç17

÷

è

ø

è 3

ø

è

ø

Решение системы ищем в виде X = A-1 × B , где Найдем A-1 (см. задание 2):

				æ	21	19
A	-1		1	ç
		=		×ç-19		-16
			5
				ç	- 5	- 5
				è

A-1 - матрица, обратная к А.

-18ö

÷

17 ÷.

5 ÷ø

Следовательно,

13

AB

					F Tran			sf
				D
		Y	P						or	e
B	Y								m
								buy		r
										2
										0
							to			.
						here
				Click
w										m
		w		w.					o
								.
					A BBYY				c

1

æ

21 19 -18ö

æ 6

ö

æ

2ö

X =

ç

÷

ç

÷

ç

÷

,

×ç-19 -16 17 ÷ ×ç10 ÷ = ç3÷

5

ç

- 5 - 5

5

÷

ç

÷

ç

1

÷

è

ø

è17

ø

è

ø

т.е. x1 = 2 , x2 = 3 , x3 =1 .

AB

					F Tran			sf
				D
		Y	P						or	e
B	Y								m
								buy		r
										2
										0
							to			.
						here
				Click
w										m
		w		w.					o
								.
					A B BYY				c

&3.3. Метод Гаусса решения произвольных систем линейных

алгебраических уравнений

Рассмотрим систему m линейных алгебраических уравнений с n

неизвестными:

ìa11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn

= b1

ï

= b2

ïa21 x1 + a22 x2 + ... + a2n xn

.

(3)

í...................................

ï

ïa

x + a

m 2

x

2

+ ...

+ a

mn

x

= b

î

m1 1

n

m

Матрица

æ a

a

...

a

b

ö

ç

11

12

...

a

1n

1

÷

__

ç a

21

a

2n

b

÷

(4)

A =

ç

22

2

÷

ç .

.

.

.

.

÷

ça

a

...

a

b

÷

è

m1

m2

mn

m ø

называется расширенной матрицей системы (3).
Элементарными преобразованиями матрицы A = (a	ij	) называются
		m,n
следующие действия:

1)перестановка строк (столбцов);

2)умножение строки (столбца) на число, отличное от нуля;

3) прибавление к элементам строки(столбца) соответствующих

элементов другой строки(столбца), предварительно умноженных на некоторое число.

С помощью элементарных преобразований любая матрица может быть приведена к трапециевидной форме.

Метод Гаусса заключается в приведении расширенной матрицы системы к трапециевидному виду с помощью элементарных преобразований,

14

AB

					F Tran			sf
				D
		Y	P						or	e
B	Y								m
								buy		r
										2
										0
							to			.
						here
				Click
w										m
		w		w.					o
								.
					A BBYY				c

выполняемых над строками матрицы. Таким образом,

(4) может быть приведена к виду:

F Tran

sf

D

Y

P

or

e

B

Y

m

B

buy

r

2

0

A

to

.

here

Click

w

m

w

w. .

o

расширенная матрица

A B BYY

c

æa'

a'

...

a'

...

a'

b'

ö

ç

11

12

1r

1n

1

÷

ç

0

a'22

... a'2r

... a'2n

b'2

÷

~

ç . .

. .

. .

.

÷

ç

0

0

...

a'rr

...

a'rn

b'r

÷

,

(5)

A =

ç

÷

0

0

...

0

...

0

ç

b'r +1 ÷

ç . .

. .

.

.

.

÷

ç

÷

ç

0

0

...

0

...

0

b'm

÷

è

ø

где r £ min (m, n).

Матрица (5) является расширенной матрицей системы

ìa'

x

+ a'

x

+ ... + a'

x

+ ... + a'

x

= b'

ï

11 1

12

2

1r

r

1n n

1

ï

a'22

x2 + ... + a'2r xr

+ ... + a'2n

xn

= b'2

ï

...................................................

ï

a'rr

xr + ... + a'rn

xn

= b'r .

(6)

í

ï

0 = b'r +1

ï

ï

...........

ï

0 = b'm

î

Система (6) эквивалентна исходной системе (3).

Если хотя бы одно из чисел b'r +1 ,...,b'm отлично от нуля, то система (6), а,

следовательно, и исходная система (3) не совместна, то есть не имеет решений.

Если же b'r +1 = ... = b'm = 0 , то система (6) совместна. Следовательно,

совместна и исходная система (3).

?Задание 4. Найти решение системы методом Гаусса:

ì	x + 2x			+ 4x - 3x			= 2
ï	1		2		3	4		(7)
í	3x1 + 5x2 + 6x3 - 4x4 = 0 .
ï4x + 5x		2		- 2x + 3x = -10
î	1			3	4

Решение.

Расширенная матрица системы (7) имеет вид:

	æ	1	2	4	- 3	2	ö
	__ ç		5	6	- 4	0	÷
	A = ç3						÷
	ç	4	5	- 2	3	-10	÷
	è						ø

15