4. Полезность

4.1. Функция f(u) = u²8 является монотонным преобразованием для положительных значений u, но не для отрицательных.

4.2. (1) Да. (2) Нет (верно для положительных v). (3) Нет (верно для отрицательных v). (4) Да (определяется только для положительных v). (5) Да. (6) Нет. (7) Да. (8) Нет.

4.3. Предположим, что луч из начала координат пересекал бы данную кривую безразличия в двух точках, скажем, в точках (x, x) и (y, y). Тогда либо x > y, либо y > x, а это означало бы, что один из наборов содержит больше обоих товаров. Но если предпочтения монотонны, то один из наборов должен был бы предпочитаться другому.

4.4. Обе функции полезности представляют совершенные субституты.

4.5. Квазилинейные предпочтения. Да.

4.6. Функция полезности представляет предпочтения Кобба—Дугласа.

4.7. Потому что MRS измеряется вдоль кривой безразличия, а полезность вдоль кривой безразличия остается постоянной.

5. Выбор

5.1. x₂ = 09 при p₂ > p₁10, x₂ = m/11p₂12 при p₂ < p₁13 и x₂ 14 принимает любое значение в интервале от 0 до m/15p₂1617, когда p₁ = p₂18.

5.2. Оптимальный выбор составит x₁ = m/19p₁2021 и x₂ = 02223, если p₁/p₂ < b24, x₁ = 02526 и x₂ = m/27p₂282930, если p₁/p₂ > b31, и любое количество товаров, лежащее на бюджетной линии, если p₁/p₂ = b 32.

5.3. Пусть z — число чашек кофе, покупаемых потребителем. Тогда нам известно, что 2z есть число покупаемых им чайных ложек сахара. Должно удовлетворяться бюджетное ограничение 2 p₁z + p₂z = m.

Выразив из этого уравнения z, мы получаем

z = 33.

5.4. Нам известно, что вы потребляете либо сразу все мороженое, либо сразу все оливки. Поэтому двумя оптимальными потребительскими наборами для вас будут либо x₁ = = m/p₁34, x₂ = 035, либо x₁ = 036, x₂ = m/p₂37.

5.5. Это функция полезности Кобба—Дугласа, поэтому он истратит на товар 4/(1 + 4) = 4/5 своего дохода.

5.6. При ломаных предпочтениях, таких, как совершенные комплементы, когда изменение цены не вызывает никакого изменения спроса.

6. Спрос

6.1. Нет. Если его доход увеличивается и он расходует его целиком, то он должен покупать больше по крайней мере одного товара.

6.2. Функция полезности для совершенных субститутов есть u(x₁, x₂) = x₁ + x₂38. Поэтому, если u(x₁, x₂) > u(y₁, y₂)39, мы имеем x₁ + x₂ > y₁ + y₂40. Отсюда следует, что tx₁ + tx₂ > > ty₁ + ty₂41, так что u(tx₁, tx₂) > u(ty₁, ty₂)42.

6.3. Функция полезности Кобба—Дугласа обладает тем свойством, что

u(tx₁, tx₂) = (tx₁)^a (tx₂)^1—a = t^at^1—a=t =tu(x₁, x₂).

Поэтому, если u(x₁, x₂) > u(y₁, y₂)43, то мы знаем, что u(tx₁, tx₂) > u(ty₁, ty₂)44, так что предпочтения Кобба—Дугласа действительно гомотетичны.

6.4. Кривой спроса.

6.5. Нет. Вогнутые предпочтения могут приводить только к выбору таких оптимальных потребительских наборов, которые предполагают нулевое потребление одного из товаров.

6.6. Мы знаем, что x₁ = m/(p₁ + p₂)45. Выразив p₁46 как функцию других переменных, мы имеем

— p₂47.

7. Выявленные предпочтения

7.1. Нет. Этот потребитель нарушает Слабую Аксиому Выявленных Предпочтений, поскольку когда он покупал набор (x₁, x₂48), он мог купить набор (y₁, y₂49), и наоборот. В условных обозначениях:

p₁x₁ + p₂x₂ = 1  1 + 2  2 = 5 > 4 = 1  2 + 2  1 = p₁y₁ + p₂y₂

и

q₁y₁ + q₂y₂ = 2  2 + 1  1 = 5 > 4 = 2  1 + 1  2 = q₁x₁ + q₂x₂.

7.2. Да. Нарушений WARP нет, поскольку набор y не был доступен, когда покупался набор x, и наоборот.

7.3. Поскольку в момент покупки набора x набор y был дороже набора x, и наоборот, сказать, какой набор из двух наборов предпочтительнее, невозможно.

7.4. Изменение обеих цен на одну и ту же величину. В этом случае набор базисного года по-прежнему был бы оптимальным.

7.5. При совершенных комплементах.