- •4. Электрические цепи однофазного синусоидального тока
- •4.1. Общие и методические замечания
- •4.2. Понятие о генераторе переменного синусоидального тока
- •4.3. Синусоидальный ток
- •4.4. Среднее и действующее значения синусоидально изменяющейся величины
- •4.5. Изображение синусоидальных функций времени векторами и комплексными числами на комплексной плоскости
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •4.6. Действия с комплексными числами. Векторная диаграмма
- •Р е ш е н и е
4.5. Изображение синусоидальных функций времени векторами и комплексными числами на комплексной плоскости
Расчёт цепей переменного тока облегчается, если изображать синусоидально изменяющиеся токи и напряжения, ЭДС и т. д. векторами или комплексными числами.
На рис. 4.6 показана комплексная плоскость, на которой можно изобразить комплексные числа. Комплексное число имеет действительную (вещественную) и мнимую части. По оси абсцисс комплексной плоскости будем откладывать действительную часть комплексного числа, а по оси ординат – мнимую часть. На положительной полуоси действительных значений ставим +1, а на положительной полуоси мнимых значений - + j
Из курса математики известна формула Эйлера
где е – основание натуральных логарифмов. Комплексное число еja изображают на комплексной плоскости вектором, составляющим угол а с осью вещественных значении (осью +1). Угол а отсчитываем против часовой стрелки от оси +1, если он положительный и по направлению часовой стрелки от оси +1, если отрицательный. Модуль функции еja (длина вектора) равен единице.
Действительно . Проекция функцииеja на ось + 1 равна cos a, а на ось + j равна sin a. Если вместо функции еja взять функцию Imеja,
то
На комплексной плоскости эта функция так же, как и функция еja, изобразится вектором, направленным под углом а к оси +1, но величина вектора (модуль) будет в Im раз больше (рис. 4.7). Угол а может быть любым. Комплексное число может иметь насколько форм записи:
–показательная форма записи;
–тригонометрическая форма записи;
– алгебраическая форма записи,
где –проекция вектора Im на действительную ось; – проекция вектора Im на мнимую ось.
Положим, что а = t + , т. е. угол а изменяется прямо пропорционально времени. Тогда (рис. 4.7)
Слагаемое представляет собой действительную часть (Re) выражения
а функция есть коэффициент при мнимой части(Jm) выражения , т. е.
Иными словами току i соответствует комплекс , т. е.
Таким образом синусоидально изменяющийся ток i(t) можно представить как проекцию вращающегося со скоростью вектора на ось +j.
Заметим также, что
Две комплексные величины, имеющие равные модули и равные, но противоположные
по знаку аргументы, называют сопряженными и обозначаются в виде комплекса со звездоч
кой (см. рис. 4.8).
С целью единообразия принято на комплексной плоскости изображать векторы синусоидально изменяющихся во времени величин для момента времени t = 0, т. е. t = 0. При этом вектор
равен где- комплексная величина; модуль ее равена угол, под которым вектор(Проведен к оси +1 на комплексной плоскости, равен начальной фазе; – является аргументом комплексного числа
Величину называют комплексной амплитудой токаi.
Рассмотрим два числовых примера на переход от мгновенного значения тока к комплексной амплитуде и от комплексной амплитуды к мгновенному значению.
Пример 4.1. Дано: ток i = l,0 sin (t + 120°)A. Записать выражение комплексной амплитуды этого тока и построить её на комплексной плоскости.