- •4. Электрические цепи однофазного синусоидального тока
- •4.1. Общие и методические замечания
- •4.2. Понятие о генераторе переменного синусоидального тока
- •4.3. Синусоидальный ток
- •4.4. Среднее и действующее значения синусоидально изменяющейся величины
- •4.5. Изображение синусоидальных функций времени векторами и комплексными числами на комплексной плоскости
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •4.6. Действия с комплексными числами. Векторная диаграмма
- •Р е ш е н и е
Решение
/m = 1,0 A; = 120°; следовательно . Строим вектор на комплексной плоскости (рис. 4.9).
Пример 4.2. Дано: комплексная амплитуда тока 3аписать выражение мгновенного значения это по тока.
Решение
Для перехода от комплексной амплитуды к мгновенному значению надо умножить наи взять мнимую часть от полученного произведения
Под комплексом действующего значения тока, или под комплексом тока (комплексным
током), понимают частное от деления комплексной амплитуды на:
Пример 4.3. Дано:
Записать выражение комплекса действующего значения тока и построить его на комплексной плоскости.
Решение
Строим вектор на комплексной плоскости (рис. 4.9).
4.6. Действия с комплексными числами. Векторная диаграмма
Д е й с т в и я с к о м п л е к с н ы м и ч и с л а м и л е г ч е о с в о и т ь н а п р и м е р а х.
Сложение и вычитание комплексных чисел
Пусть даны комплексные числа . Найдем их сумму
Найдём их разность
В н и м a н и е! Сложение и вычитание комплексных чисел удобнее выполнять, представляя комплексы в алгебраической форме записи.
Умножение и деление комплексных чисел
Пусть даны два комплексных числа:
В н и м а н и е! Для умножения и деления комплексных чисел лучше представить их в показательной форме
В н и м а н и е! При переводе комплексного числа из алгебраической формы в показательную с помощью калькулятора или ЭВМ необходимо, чтобы вещественная часть числа была положительной. Например,
и можно оперировать далее комплексом записанном в таком виде.
Но можно учесть, что
Тогда
Предпочтительнее взять комплекс с меньшим аргументом
Произведение двух комплексных чисел
Пусть даны два числа:
Произведение двух комплексных чисел
Пусть даны два комплексных числа
Частное от деления двух чисел
В н и м а н и е! При делении двух комплексных чисел они должны быть представлены в показательной форме
Возведение в степень комплексного числа
Пусть дано число: . ;
и т.д.
Логарифмирование
Пусть
где k = 0, 1, 2, 3 ...
При k = 0 получили главное значение.
Извлечение корня
Пусть дано число ;
где k = 0, 1, 2 ...
При k = 0 получили главное значение.
Проиллюстрируем удобство применения комплексного метода на примере.
Пример 4.4. Дано
Определить сумму i1 + i2 = i с помощью сложения векторов на комплексной плоскости.
Р е ш е н и е
Получили в алгебраической форме записи.
Построим на комплексной плоскости (рис. 4.10) по имеющимся координатам: действительная часть 3,59; мнимая часть – 1,03;
Запишем в показательной форме
Перейдем к мгновенному значению
Векторы показаны на рис. 4.10.
Геометрическая сумма векторов идает комплексную амплитуду суммарного токаАмплитуда тока определяется длиной (модулем) суммарного вектора, а начальная фаза – углом, образованным этим вектором и осью +1.
Обратим внимание на то, что если бы векторы ,изображенные на рис. 4.10, стали вращаться вокруг начала координат с угловой скоростью, то взаимное расположение векторов по отношению друг к другу осталось бы без изменений.
На рис. 4.10 дан пример векторной диаграммы. Векторной диаграммой называют совокупность векторов на комплексной плоскости, изображающих синусоидально изменяющиеся функции времени одной и той же частоты и построенные с соблюдением правильной ориентации их относительно друг друга по фазе.
Задачи для самостоятельного решения (к главе 4)
1. Записать в полярной и алгебраической формах комплексные амплитуды напряжений и токов, мгновенные значения которых:
1)
2)
3)
4)
Ответ: 1)
2)
3)
4)
2. Разложить на действительную и мнимую составляющие следующие комплексные числа:
1) 2)3)4)5)6)
7) 8)9)10)11)
Ответ: 1) 4,33 + j2,5; 2) 3,42 + j9,4; 3) – 0,0347 + j0,197; 4) – 0,0345 + j0,00607;
5) – 2,41 – j64,7; 6) – 11,2 – j27,8; 7) 0,174 – j1,99; 8) – j190 + 329,
9) 0,29710-3 – j0,017; 10) – 1000 – j34,9; 11) 15 + j0,175.
3. Вычислить комплекс: подставить его в полярной и алгебраической формах
О т в е т:
4. Вычислить комплекс представить его в полярной и алгебраической формах.
О т в е т: