2. Задача №4. Расчёт линейного пассивного четырёхполюсника при подаче на его вход несинусоидального периодического напряжения

Задание задачи рассчитано на освоение студентами метода расчёта линейных электрических цепей при несинусоидальных напряжениях и токах [1-6].

4.1. Постановка задачи

Заданы электрические схемы T- и П-образных симметричных четырёхполюсников, рис. 4.1. Входное напряжение u₁(t) изменяется по несинусоидальному периодическому закону, график которого представлен на рис. 4.2. Четырёхполюсники нагружены на активное сопротивление нагрузки R_н. Числовые значения напряжений U_m, величины сопротивлений при частоте основной гармоники приведены в таблице 4.

Требуется:

1. Используя табличное разложение несинусоидальных периодических сигналов, разложить в ряд Фурье заданное входное напряжение, ограничившись определением первых трёх гармоник (членов ряда) плюс постоянная составляющая, если присутствует на заданном графике. Написать закон изменения мгновенного значения напряжения u₁(t) и определить его действующее значение U₁.

2. Используя теорию четырёхполюсников, выразить в комплексной форме записи для k-ой гармоники зависимость комплексной амплитуды выходного напряжения Ů_2mk от комплексной амплитуды входного напряжения Ů_1mk.

3. Определить коэффициенты заданного четырёхполюсника A_k и B_k для соответствующих гармоник входного напряжения, найти для каждой гармоники комплексную амплитуду выходного напряжения Ů_2mk по формуле пункта 2.

4. Написать закон изменения мгновенного значения напряжения u₂(t) и определить его действующее значение U₂.

5. На одном рисунке в одном масштабе построить графики линейчатых спектров входного и выходного напряжений (постоянные составляющие на графике не показывать).

6. Определить коэффициенты гармоник, амплитуды и искажения для входного и выходного напряжений.

7. На основании п. 5 и п. 6 сделать вывод о фильтрующих свойствах заданной схемы четырёхполюсника.

8. С помощью компьютера или вручную построить графики входного u₁(t) и выходного u₂(t) напряжений. На графиках показать первые три гармоники и суммарную кривую, полученную в результате графического сложения отдельных гармоник.

4.2. Порядок расчёта [6]

Краткие пояснения к расчётам. Нумерация пунктов приведена в соответствии с 4.1. Нарисовать расчётную схему четырёхполюсника с подключенной нагрузкой R_н.

1. По графику входного напряжения подобрать в справочнике или в приложении учебной литературы типовое разложение в ряд Фурье [1], которое использовать для написания закона изменения входного напряжения u₁(t).

2. Записать уравнения четырёхполюсника в форме «А» при прямом включении для k-ой гармоники:

U_1mk = A_kU_2mk + B_kI_2mk;

I_1mk = C_kU_2mk + D_kI_2mk.

В первом уравнении сделать подстановку I_2mk = U_2mk / R_н и определить требуемую зависимость.

3. В приложении учебной литературы [1-5] для T- или П-образного симметричного четырёхполюсника найти требуемые зависимости коэффициентов четырёхполюсника от первичных параметров заданной схемы. Записать формулы определения коэффициентов в общем виде для k-ой гармоники.

4. По найденным комплексным амплитудам выходного напряжения записать закон изменения выходного напряжения в виде ряда Фурье u₂(t), как

сумму гармоник плюс постоянная составляющая, если присутствует.

К пунктам 5-8 особых пояснений нет.

Рис. 4.1. Десять схем соответствуют номеру варианта схемы в таблице 4.

Рис. 4.2. Шесть графиков входного напряжения соответствуют номеру варианта

в таблице 4.

Таблица 4

№ варианта	№ варианта схемы на рис. 4.1	Вариант графика	Um1	r1	r2	XL1	XС2	rн
		u1(t)на рис.4.2
-	-	-	В	Ом	Ом	Ом	Ом	Ом
1	1	а	60	20	15	9	25	10
2	2	б	90	30	20	6	30	35
3	3	в	120	25	26	10	36	14
4	4	г	150	30	30	10	40	20
5	5	д	180	25	25	9	45	25
6	6	е	140	20	26	6	30	40
7	7	а	90	36	30	12	36	45
8	8	б	60	40	25	15	40	15
9	9	в	100	36	15	15	45	30
10	10	г	130	40	20	12	25	25
11	1	д	120	15	20	6	30	35
12	2	е	150	26	15	12	40	10
13	3	а	90	36	30	15	36	15
14	4	б	100	15	26	12	25	14

Продолжение таблицы 4

№ варианта	№ варианта схемы на рис. 4.1		Вариант графика u1(t) на рис.4.2	Um1	r1	r2	XL1	XС2	rн
-	-		-	В	Ом	Ом	Ом	Ом	Ом
15	5		в	60	20	36	10	25	45
16	6		г	120	36	40	15	36	30
17	7		д	100	30	30	10	30	20
18		8	а	130	30	15	9	40	25
19		9	б	60	20	25	12	45	40
20		10	в	90	15	26	6	25	35
21		1	г	180	25	40	15	30	30
22		2	д	60	36	30	12	45	14
23		3	е	140	15	25	15	40	25
24		4	а	100	40	30	15	45	20
25		5	б	130	20	15	10	30	15
26		6	в	60	15	20	6	25	30
27		7	г	180	36	30	9	40	45
28		8	д	90	25	40	9	36	25
29		9	е	140	20	36	6	25	40
30		10	а	120	30	25	15	30	35
31		1	б	100	26	26	12	36	10
32		2	в	60	30	30	12	40	40
33		3	г	140	25	50	15	45	45
34		4	д	100	15	36	9	30	40
35		5	а	150	30	26	6	25	35
36		6	б	100	36	25	10	36	20
37		7	в	90	20	15	12	45	14
38		8	г	130	15	15	15	40	15
39		9	д	180	25	40	9	30	20
40		10	е	60	30	36	6	36	25
41		1	а	90	36	20	6	25	45
42		2	б	60	40	25	10	45	40
43		3	в	90	15	15	10	40	30
44		4	г	100	30	30	15	36	25
45		5	д	120	20	20	9	30	35
46		6	е	140	15	36	6	25	40
47		7	а	130	40	40	15	25	15
48		8	б	120	36	15	12	45	30
49		9	в	60	20	36	10	30	14
50		10	г	90	15	40	9	40	25
51		1	д	100	25	15	6	36	14
52		2	е	120	26	26	6	36	15
53		3	г	130	36	30	9	30	20
54		4	д	140	40	40	9	25	25
55		5	е	150	20	15	12	30	45

Продолжение таблицы 4

№ варианта	№ варианта схемы на рис. 4.1	Вариант графика u1(t) на рис.4.2	Um1	r1	r2	XL1	XС2	rн
-	-	-	В	Ом	Ом	Ом	Ом	Ом
56	6	а	180	25	26	15	45	20
57	7	б	100	25	30	12	40	35
58	8	в	90	40	40	15	40	15
59	9	г	130	36	15	10	30	20
60	10	д	180	30	40	10	36	40
61	1	е	60	25	36	9	45	35
62	2	а	90	36	20	6	45	25
63	3	б	120	40	40	15	36	15
64	4	в	100	30	20	12	40	14
65	5	г	150	40	20	10	25	45
66	6	д	180	25	25	9	30	30
67	7	е	100	26	25	9	25	15
68	8	а	60	36	26	10	25	35
69	9	б	90	40	40	15	36	14
70	10	в	180	15	30	12	30	25
71	1	г	150	20	40	6	36	20
72	2	д	120	30	36	9	45	45
73	3	е	60	40	25	10	45	30
74	4	а	140	15	36	15	40	40
75	5	б	120	25	36	12	25	25
76	6	в	90	36	15	6	30	20
77	7	г	60	40	20	6	36	14
78	8	д	150	20	30	9	40	15
79	9	а	140	26	40	9	25	15
80	10	б	130	30	25	10	25	14
81	1	в	90	36	36	12	36	30
82	2	г	180	40	26	15	30	45
83	3	д	140	20	15	15	30	25
84	4	е	100	26	40	9	45	14
85	5	а	60	40	25	10	40	40
86	6	б	140	15	36	6	45	15
87	7	в	90	26	15	12	40	35
88	8	г	100	30	40	15	25	25
89	9	д	150	40	36	9	36	20
90	10	е	120	25	15	6	40	14
91	1	а	90	36	15	12	25	15
92	2	б	90	15	40	10	36	50
93	3	а	60	20	30	6	30	45
94	4	б	140	40	25	15	45	30
95	5	в	60	25	36	9	40	20
96	6	г	90	36	30	12	25	25

Окончание таблицы 4

№ варианта	№ варианта схемы на рис. 4.1	Вариант графика u1(t) на рис.4.2	Um1	r1	r2	XL1	XС2	rн
-	-	-	В	Ом	Ом	Ом	Ом	Ом
97	7	д	130	15	26	6	30	14
98	8	е	180	40	40	15	45	40
99	9	а	140	25	15	6	40	25
100	10	б	150	36	25	9	25	15