BIS3_matem_org_ua

Все алгебраические дополнения в последней формуле являются определителями 3-го порядка. При раскрытии определителя 5-го порядка приходится вычислять пять определителей 4-го порядка и т.д. Таким образом, применение формул (1.8) или (1.9) при высоких порядках определителей – процедура очень громоздкая. Для упрощения расчетов можно предварительно упростить определитель, добившись, чтобы в какой-либо его строке (столбце) было максимальное количество нулевых элементов. Такого результата можно добиться, применяя свойство 7 определителей.

Пример 1.13. Вычислить определитель, разложив его по элементам первого столбца.

								1				2			1			1										"
							1					3				2		2			.
																											У
																										Г
								2			4					4		3							Н
																								"
								3				5				1		5
																							З
																						У
Решение. Подставив в формуле (1.9)																	j				В			4 , получим
																		1Ги n
																		и									3			2	2
																		к
																	и							1 1
a A a A a A a																т		1			1					4 4					3
															аA
												е						ua
11	11			21	21		31			31			м			41
													41
										м		т					.
															org												5			1	5
										а				.
					с				matem
															2		1 1													2 1 1
			2 1 1				й
1 1 2 1		4 4 3					е		1 3 1					3				2 2				3 1 4 1								3		2 2
						ш2
			5	1вы5											5			1			5									4	4		3
				а
				р
1 60 8 д30 40 9 40 1 40 4 15 20 6 20
			е
		ф
а										15			3 12 12 8 8 16 9
К	3 10 10					4
2 20

73 25 28 99 23 .

Пример 1.14. Вычислить определители, разложив их по элементам того ряда, который содержит наибольшее количество нулей.

	1	0	2	3			a	b	a	0
а)	0	2	1	0	;	б)	a	b 0		0		.
	3	0	0	0			b	0	0	a
	0	1	0	1			0	a	b	0

20

Решение: а) третья строка содержит наибольшее количество нулей. Разложим определитель по этой строке (в формуле (1.8) полагаем i 3, n 4 ), а получающийся при этом определитель 3-го порядка – по «правилу треугольников»:

	1	0	2	3		0	2	3
	0	2	1	0	3 1 3 1				3 3 4 3;
						2 1		0
	3	0	0	0		1	0	1
	0	1	0	1

б) максимальное количество нулей – в четвертом столбце.

a

b

a

0

"

У

a

b

a

Г

a b 0 0

3 4

Н2

3

2

4

a 1

a

b 0

"

a

ab a .

b

0

0

a

a ab

0

a

b

З

У

0

a

b

0

В

Г

и

к

т

, добившись наибольшего коли-

Пример 1.15. Вычислить определи ельи

чества нулей в каком-либо его ряде.

е

а

ua

0т

м

.

1

1

2

а

org

1м2

.

0

2

2matem1 1 3

.

й

е

3

0

2

ш

1

с

ы

в

а

р

Решение. Пользуясь свойством 7 определителей, преобразуем его так,

е

все элементы, кроме первого, оказались равными нулю.

чтобы в первой строкед

ф

Для этого, оставляя первый и второй столбцы без изменения, к элементам

а

К

прибавим

соответствующие

элементы

первого

столбца,

третьего столбца

а к элементам четвертого – элементы первого столбца, умноженные на 2 :

1 0 1 1

2 2 1

1 0 0

0

1 2 2 1

0 2 1

1 2 1

2

.

1

3

0 1

2 2 1

1 3

1

4

2 1 1 2

3 2 2

2 1 1 1

Полученный определитель удобно раскрыть по элементам первой стро-

ки, так как она содержит лишь один ненулевой элемент (см. формулу (1.8) для

i 1 и n 4 ).

21

a11A11 a12 A12 a13 A13 a14 A14 a11A11 0 A12 0 A13 0 A14

			2	1	2
a A 1		1 1 1	3	1	4 2 1 1 3 1 2 1 4 1
11	11

11 1

2 1 1 1 4 2 3 1 1 2 6 4 2 8 3 21.

Пример 1.16. Вычислить определитель, предварительно упростив его.

													2			5			4		3								"
													3			4			7		5							У
																						.					Г
																									Н
													4			9			8		5		"
																						З
																					У
													3				2		5	В
																					3
																			Г
																			и			свойства 7 (см. примеры
Решение. Упрощение определителя с помощьюк
																		и
1.8 и 1.15) удобно производить, если в какомт																			-либо его ряде есть элемент, рав-
														е		а			ua
															м									однако его можно сде-
ный 1 или 1. В данном случае такого элемента нет,
												м						.
																org
лать, например, вычтя из элементов первойт																		строки соответствующие элементы
второй строки:													а		.
								matem																	.
									й				1			1			3		2
								е
							с						3			4			7			5
						ы		ш
													4			9			8			5
					в
				а									3				2		5			3
			р
		д
	а	е
В полученномф				определителе добьемся, чтобы все элементы первого
	К	a11 1, обратились в нуль. Для этого ко второй строке при-
столбца, кроме
бавим первую строку, умноженную на 3, к третьей строке – первую, умно-
женную на 4, а к четвертой – первую, умноженную на 3 , и раскроем опре-
делитель по элементам первого столбца:
	1	1			3			2																			7			2	1
	0	7			2			1									1 1 1 1
											a A															13				4	3
	0	13			4			3					11		11
																												5		4	9
	0		5			4			9

22

		7	1	1		2 7 2 9 2 13 1 1 3 5 1 2 5
2		13	2	3
		5	2	9

1 13 9 2 3 7 2 126 26 15 10 117 42 2 2 4 .

Замечание. Для упрощения вычислений на основании свойства 4 из первой строки был вынесен множитель 1 , а из второго столбца множитель 2.

Пример 1.17. Вычислить определитель 5-го порядка, предварительно
																												"
упростив его.																											У
																										Г
												2		7			3		4			5			Н
																								"
												1		3			4		2
																						2З
										2				5 17				6		Г		У
																					В11 .
												4		2			1		и			9
																			к7
																		и
												8		3				т	8			11
																	7а
																е			ua
														а		м		.
																	добиваться максимального количества
Решение. В данном случае будемт
																	.				элемент a21 1, что облегча-
нулей в первом столбце, посколькумон содержитorg
									с					matem
													й
												е
ет вычисления. Пользуясь свойством 7 определителей, выполним следующие
операции: к первой строке											шдобавим вторую строку, умноженную ни число
2 , к третьей – вторуюы, умноженную на 2, к четвертой – вторую, умножен-
								в													8 . Получаем
ную на 4 , к пятойа– вторую, умноженную на
						р
					д
				е
			ф						0					1		5			0			1
		а
									1					3			4		2			2
		К
									0					1		25		2			7		.
									0			10			15				1			1
									0			21			25			8			5
Далее		раскрываем этот											определитель						по		элементам							первого столбца
(формула (1.9) при j 1 и n 5):
a A a A a A a A a A a A																												1 2 1a M	21
11	11		21		21			31	31					41	41			51	51			21			21			21
0								0						0				0

23

	1	5	0	1		1	1	0	1
	1	25	2	7	5	1	5	2	7		.
	10	15	1	1		10	3	1	1
	21	25	8	5		21	5	8	5

Множитель 5 появился перед определителем в результате вынесения числа 5 из второго столбца. Полученный определитель четвертого порядка

упростим, образовав в первой строке все нули, кроме элемента a11 1. Для

этого первый и третий столбцы оставим без изменения, а из второго и четвертого столбцов вычтем первый. Полученный определитель раскроем по первой

строке.																																					"
																																				У
																																		Г
		1			0					0				0																				Н
																					6				2				8				Из"первой строки
		1	6				2						8
5																5					13				1				11				З
	10			13				1					11																			Увынесем 2 , а из
																															В
																					26				8					Г
																													и				третьей множитель 2
																													16
	21			26			8						16																к
																											и
																										т
							3				1				4								е		а				ua								3	1	4
																						т		м				.
																									org
5 2 2						13				1 11												Из второй строки											20			0		3 3
																					а
																								.
																			matem																	3		1	3
							13				4 8									мвычтем третью																13		4 8
																		й
																е
														ш
													с
											ы
										в
		Из третьего столбца вычтем второй и раскроем																													20				0			3 0
									а
		определительр3 - гопорядкаповторойстроке																																	13			4 12
							д
					е
				ф
			а							2 2			3				3
		К																							36 39 60 3 180 .
	20		3 1									13			12						60

Пример 1.18. Вычислить данные определители, предварительно добившись, чтобы все их элементы, стоящие под главной диагональю, обратились в нуль.

		1	3	2	6				1	2	3	4	5
									1	1	2	3	4
		1	3	5	7
а)						;	б)		1 1 1 2				3		.
		1	3	4	8				1	1	1	1	2
		1	3	4	5
									1	1	1	1	1

24

Решение: а) вычитая из элементов второй, третьей и четвертой строк соответствующие элементы первой строки, добиваемся, что все элементы пер-

вого столбца, лежащие под a11, обращаются в нуль:

					1	3			2		6					1			3				2				6					Из третьейи четвертой
					1	3			5		7					0				6			3				1
					1	3			4		8					0				6			2				2				строк вычитаем
					1	3			4		5					0				6			2			1						вторуюстроку
			1			3			2					6																				1 3									2	6
																																											"
																		Из четвертой																								У
			0			6			3					1																				0				6		Г3				1		.
																строки вычитаем																							Н
			0			0 1								1																				0				"			1			1
																																			У			0
																		третьюстроку
			0			0 1						2																						В			З
																																						0 0						3
																																		0
																																Г
	Величина полученного определителя																															и
																																кравна произведению элементов,
составляющих его главную диагональ:																														и
																													т
																											а
																1 6 е1 3ua 18 ;
																							т			м					.
	б)																				м						org
																						а				.
															ы					matem
	1 2 3 4 5														1				й			3					4					5					1 2						3			4	5
																		е2
	1 1 2 3 4														0		ш					1				1						1				0			1				1		1		1
																с 1
	1 1					1 2 3							в					1			2					2						2				0				0 1					1		1
														0
												а
	1 1 1 1									р					0 1						2					3						3				0				0 1					2		2
									д2
								е							0 1						2					3						4				0				0 1					2		3
	1 1 1 ф1 1
						а
						К
								1			2					3			4				5						1			2					3			4			5
								0 1							1			1				1						0				1			1				1				1
							0 0								1			1				1						0				0 1							1				1		1.
								0 0 0 1														1							0			0 0 1											1
								0 0 0 1														2							0			0 0 0 1

25

Упражнения для самоконтроля

1. Вычислить определители:

а)

1

2

;

б)

cos

sin

;

в)

loga b

loga2 b

;

3

4

sin

cos

logb2 a

logb a

		2			3	4														0				5				6								1			0				a
г)		1 0 6					;						д)					1 0										2		;			е)		a a								0		.
		7			8	9														6				8				0								1			0				a
																																								"
																																							У
																																					Г
2. Решить уравнения:																																				Н
																																			"
				x		x 2															cos x							sin x						З					x2				4 9
а)										0 ;						б)																	У		в)				x				2 3
																															В1;
			5			x 2																sin x						cos x			Г
																														и									1				1 1
																														к
																													и
																												т
3. Решить неравенства:																										е		а		ua
																								т			м .
					3	x 4																					.1orgx 3
																							7x
																				м			а
а)												с							matem														0.
													0	;					б)
				2x		x 1											й										3x				1
															е
								в					ш					определители:
4. Упростить и вычислитьы
		1					а																			1		2 3 4														3 1 1
						2 р		3 4
						д
		0				е		5 9																	1			3 3 4													1 3 1
а)					ф2									;							б)													;					в)
				а		0		3 7																		1 1 7 4																1 1 3
			0К
	2				4		6 1																			1 2 5 9																1 1 1

0 .

1

1

1 ;

3

	2	9	9	4				1	2	3	4	5
								1	0	3	4	5
	2	3	12	8
г)					;	д)		1	2	0	4	5		.
	4	8	3	3				1	2	3	0	4
	1	2	6	4
								1	2	3	4	0

26

Ответы

1. а) 2;

б) 1;

в)

3 ; г) 35 ;

д) 108;

е)

2a2 .

4

2. а) x1 2, x2

5 ;

б)

x k ,

k 0, 1, 2,...;

в) x1 2, x2 3.

3. а) x

1

б) x ; 1

1

3;

2

;

; .

3

4. а) 54 ;

б) 20;

в) 48; г) 5085;

д)

120 .

2. МАТРИЦЫ

"

У

Г

Н

"

2.1. Основные определенияЗ

У

В

Рассмотрим прямоугольную таблицу из m Гn чисел:

и

a

a

к

иa

11

12

т

1n

е

а

ua

a

a

22

. 2n

21

.

(2.1)

т

.org

а

м

matem

am1йa

2

amn

е

ш

Такую таблицу называютсматрицей (точнее числовой матрицей) размера

ы

в

m n . Кроме приведенного обозначения (2.1) для матрицы употребляют еще

следующие обозначенияа:

р

a11

a12

д

a1n

a11

a12 a1n

е

ф

а

a22К

a2n

a21

a22

a2n

a

, i 1,2,...,m,

a21

;

;

ij

j 1,2,...,n.

a

a

a

a

m1

a

m2

a

m1

m2

mn

mn

Часто матрицу обозначают одной буквой,

например,

A. Если хотят ука-

зать размер матрицы, то пишут Am n .

Числа, из которых составлена матрица, называют элементами матрицы. Элементы ai1,ai2 ,...,ain составляют i -ю строку, а элементы a1 j ,a2 j ,...,amj –

j -й столбец.

Матрица, содержащая только одну строку, называется матрицей-

строкой или строчной матрицей: a11 a12 a1n .

27

a11

Матрица вида a21 , состоящая из одного столбца, называется матри-

am1

цей-столбцом или столбцевой матрицей.

Строки и столбцы матрицы называют ее рядами. Под двумя параллельными рядами будем понимать две строки или два столбца матрицы.

Две матрицы называют равными, если они имеют одинаковые размеры и элементы одной матрицы равны соответствующим элементам другой. Таким

образом,

Am n Bp q ,

если

p m, q n и

aij

bij

(i 1,2,...,m,

j 1,2,...,n ).

"

У

Г

Н

Если m n , то матрицу называют прямоугольной.

"

Матрица, у которой число строк равно числу столбцов ( m n ), называ-

З

У

ется квадратной. Порядок квадратной матрицы – это число ее строк (или

столбцов).

Г

и

В

Матрицы

к

a

a

иa

т

11

12

13

a11

a12

а

a11 ,

ua

,

м

a22

a23

a21

е

.

a21

a22

м

т

org

a32

a33

а

.

a31

ы

matem

й

е

являются соответственно матрицами 1-го, 2-го и 3-го порядков.

В квадратной матрицешп-го порядка

aв

с

a

a

a

а

12

1 n 1

1n

р

11

a

a

a

a

2 n

д

21

22

1

2n

е

ф

а

a

a

a

К

a

n n 1

n1

n2

nn

элементы

a11,

a22 , ... ,

ann образуют

главную

диагональ,

а элементы

a1n , a2 n 1 , ... , an1 побочную диагональ.

	Нулевой матрицей называется матрица, все элементы которой нули.
	Будем обозначать ее буквой , т.е.
		0	0		0
		0	0		0
						.
		0	0		0

28

Диагональной матрицей называется квадратная матрица, у которой все элементы, расположенные вне главной диагонали, равны нулю:

	a		0	0		0
		11	a22	0		0
		0
							.
		0	0	0	a
						nn

Единичная матрица – это диагональная матрица, у которой каждый элемент главной диагонали равен единице. Ее обычно обозначают буквой E .

1

0

0

0

"

У

Г

0

1

0

0

Н

E

.

"

З

0

0

1

У

0

В

Г

и

к

n

и

Единичную матрицу порядка n иногда обозначают E .

т

Треугольной матрицей называетсяаквадратная матрица, все элементы

м

е

диагонали, равны нулю.

которой, расположенные по одну сторону от.главнойua

Матрицу вида

м

т

org

а

.

ы

matem

a11

й

13

a1n

a12

е

0

с

a

a

23

2n

ш22

в

а

0

0

0

р

ann

д

е

ф

называют верхней треугольной, а матрицу вида

а

К

a

0

0

0

11

a22

0

0

a21

a

a

a

a

n1

n2

n3

nn

нижней треугольной матрицей.

Матрицу, полученную из данной заменой каждой ее строки соответствующим столбцом (с тем же номером), называют матрицей, транспонированной к данной. Матрицу, транспонированную к матрице A, будем обозна-

чать AT . Таким образом, если

29