BIS3_matem_org_ua

a

a

a

a

a

21

a

11

12

1n

11

m1

a21

a22

a2n

, то

T

a12

a22

am2

A

A

.

a

a

a

a

a

a

m1

m2

mn

1n

2n

mn

Если A – матрица размера m n , то AT имеет размер n m .

Очевидно,

AT T A.

AT A

Квадратную

матрицу

A

называют

симметричной,

если

( a ji aij ) и кососимметричной, если AT

A ( a ji

aij ).

"

У

Г

Н

"

2.2. Линейные операции над матрицами

З

Г

У

(вычитание)

матриц и

Линейными операциями называют сложениеВ

умножение матрицы на число.

и

Am n aij

к

называют матрицу

Суммой двух матриц

иBm n bij

т

того же размера C

е

а

ua

c , элементы которой находятся по правилу

m n

ij

т

м

.

c

a

b

м

org

j 1,2,...,n ,

, i 1,2,...,m,

ij

ij

ij

а

.

ы

matem

й

т.е. при сложении двух матриц складываются их соответствующие элементы.

Записывают

е

ш

C A B.

с

в

Am n aij на число

(или числа на

Произведением матрицы

а

матрицу A

р

b , где b

a . Записывают

) называют матрицу B

m n

е

m n

ij

ij

ij

ф

д

B A.

а

К

Разность матриц A B определяют как сумму матрицы A и матрицы

B , умноженной на число

1 , т.е.

A B A 1 B .

Впредположении, что все указанные ниже операции имеют смысл, а

и – числа, справедливы следующие свойства:

1.	A B B A;	2. A B C A B C ;
3.	A A A;	4.	A A A A ;
5. 1 A A;		6. A A;
7. A B A B ;		8. A A A;
9.	A T AT ;	10.	A B T AT BT .

30

Пример 2.1.	1		2	3		и	2		4	3
	Даны матрицы A						B				.
		1	5	0				2	8	4

Найти а) A B ; б)						2A; в)				B ;				г)		3A 2B ;									д) 4A 3B .
Решение. Применяя правила сложения (вычитания) матриц и умножения
матрицы на число, получим:
а) A						1 2				3		2				4		3										1 2						2 4			3 3
		B
						1 5							2			8		4										1 2						5 8
										0																											0 4
														1		6		0
																				;
														3		13		4
																																			"
		1 2							3			1				2 2 2								3 2											У	4	6
																															Г2
б) 2A 2																											"Н										;
					1 5				0				1			2 5 2								0									2 10
																											2 З										0
																												У
					2 4					3						2		4									В
в) B																										Г3
				1																	к							;
																2		8					и
					2 8						4														4
																			и
																		т
																		а				ua
						1				2 3						м2 4											3				3 6						9
г) 3A 2B 3													2е						.
																		org
													м			т
							1			5 0					а		2 8									4							3 15				0
								ы									.
												matem
	4 8					6						й			4			6 8								9 6							1 14				3
										е3
																																						;
		4 16				8				ш		3	4 15 16													0 8								7 31 8
						в				2 3						2 4								3						4						8 12
д) 4A 3B						а	1
				р4												3
					д		1																										4 20
			е							5 0						2 8										4											0
		ф
6		а					4		6				8 12 12											9								10				4			21
	12К 9
																																							.
							4		6			20 24																					2				4
6 24 12																						0 12																	12
Пример 2.2.						Найти матрицу C 2A BT , если
									1		2		3													1		1
																,		B								0			2				.
						A
									4		5		6
																						2								3
Решение. Согласно определению (см. подраздел 2.1), чтобы получить
транспонированную матрицу BT ,														необходимо в матрице B заменить каждую

31

ее строку соответствующим столбцом (с тем же номером), т.е.

													1		1 T								1				0		2
						BT							0
															2								1				2				.
																														3
Следовательно,											2				3
						2 4 6											1				0						2			1			4 8
C 2A BT																																			.
							8 10 12
																1 2											3			9			8 9
Пример 2.3. Вычислить 3AT 2B , если																																		"
										1																							У
																															Г
																														Н
																														"
					A 2										B 0 1										3
												,																	З5 .
								3																				У
																										В
																								Г
																							и
										4
Решение.																		т				к
																	а			и
T												T									.ua
																м
A 1 2 3						4 ;								м		е	org												2B 0 2						6 10 ;
										3A					3т6				9 12 ;
															а	.
Пример 2.4. Найти A Bmatem, если																					6 10 3												4 15 2 .
3AT 2B 3 6										9 12й 0 2
												е
											ш				T
									с
								ы
							в						1								2					5
					а 4
				р									,				B												.
				A
			д							0
		е											5								7							1
	ф
а
К															A B				4								1			2			5		2		4
Решение. Первый способ:																																							,
																							0													7	6
									4 T																		5			7				1
			2												2 7
откуда A B T																			.
						7					6						6
															4													1 T					2 5 T
Второй способ: A B T AT BT																							4
																									0								7
																												5							1
				4							0				2 7						2							7
																													.
														5									4					6
								1 5								1

32

2.3. Умножение матриц

Матрицу A называют согласованной с матрицей B , если число столбцов матрицы A равно числу строк матрицы B .

Замечание 1. Из согласованности матрицы A с матрицей B не следует согласованность матрицы B с матрицей A.

Замечание 2. Если A и B – квадратные матрицы одинакового размера, то матрица A согласована с матрицей B , а матрица B согласована с A.

Произведение матрицы A на матрицу B определено только в том случае, когда первый сомножитель согласован со вторым, т.е. если

A Am k , а B Bk n .

Произведением матрицы Am k

aij

на матрицу Bk n bij назы-

"

вают матрицу

C

У

m n

c , элементы которой равны сумме попарных произ-

ij

Г

ведений элементов i -й строки матрицы

Н

элементы j -го

A на соответствующие"

З

столбца матрицы B :

У

c

a b

a

b

В

,

(2.2)

a b

ij

i1 1 j

i2 2 j

Гik kj

и

к

i 1,2,...,m

,

и

j 1,2,...,n .

т

а

ua

м

Это определение называют иногда правилом умножения строки на столбец.

Замечание 3. Если матрицу A

т

.

умножить на матрицу B , то отсю-

можное

да не следует,

м

org

, так как из со-

что матрицу B можноа умножить на матрицу A

.

matem

й

гласованности A с B не следует согласованность B с A.

Замечание 4. Если матрицуе

A можно умножить на матрицу B и матри-

цу B можно умножить на матрицусш

A, то, вообще говоря, AB BA.

в

то матрицы A и B называют перестано-

Замечание 5. ЕслиыAB BA ,

а

вочными или коммут тивными.

р

д

Квадратную матрицу всегда можно умножить саму на себя, т.е. возвести

в квадрат. Таким

еобразом, если A – квадратная матрица, то

A

2

ф

3

A

A,

… ,

A

n

A A A A.

аA

A,

A A

К

n раз

Матрицу An называют п-й степенью матрицы A.

При умножении матриц, если только записанные ниже произведения не

лишены смысла, справедливы свойства:		AB не следует, что	A
1.	A , A (однако из равенства
или B );
2.	AE A, EA A;
3.	A B C AC BC , C A B CA CB ;

4.AB C A BC ;

5.AB A B A B , число;

6.AB T BT AT .

33

Пример 2.5. Найти матрицу C AB , если
	1	2	,		1 2	3
A				B		.
	0				2 0
		1				1

Решение. Матрица A2 2													согласована с матрицей B2 3. В результате ум-
ножения	A на		B получится матрица C размера 2 3.																												Применяя формулу
(2.2) для i 1,2 и					j	1,2,3, находим
c11 a11b11 a12b21 1 1 2 2 1 4 3,
c12 a11b12 a12b22 1 2 2 0 2 0 2 ,
c13 a11b13 a12b23 1 3 2 1 3 2 1,
c21 a21b11 a22b21 0 1 1 2 0 2 2 , "
c22 a21b12 a22b22 0 2 1																			0 0,													У
																														Г
																													Н
																											"
c23 a21b13 a22b23 0 3 1 1 0 1 1.
																											З
						3		2			1															У
Имеем С AB																									В
							2	0				.												Г
											1											и
																					к
																				и			с матрицей A, поэтому полу-
Отметим, что матрица B не согласованат
																е		а				ua
																	м
чить в данном случае произведение BA невозможно.
															т						.
Пример 2.6.						Перемножить												org
														атрицы
													м				.
								3				1matem5													1		7
								1					й	0
						A					е2								B						3		4
										ш					и													.
									с
								ы																1			0
							в
							а		случае матрица										A2 3					согласована с матрицей B3 2 ,
Решение. В данномр
					д
				е															A2 3. Поэтому можно получить оба
		ф
а матрица B3 2				согласована с матрицей
	а					AB и D								BA .
произведения:		C		2 2
	К												3 3
Имеем
							1	7				1 1 2							3 0 1												2 4
1 2																											1 7						0	0
			0				3 4
AB													3 1 1						3 5 1								3 7					1 4	5
3	1 5																																	0
						1		0
1 6		0					7 8			0						5		1
	3 3	5																			;
						21 4 0								5 17

34

1 7																			1 1 7 3											1 2 7 1														1 0			7		5
					1			2			0
																	3 1 4 3												3 2 4 1															3 0 4 5
BA 3 4					3			1
											5
																	1 1 0 3											1 2 0 1															1 0 0 5
1 0
1 21 2 7														0 35								22						9				35
3 12 6 4 0 20																						15 10 20 .
1 0								2 0							0 0							1							2 0
Очевидно, что AB BA.
Пример 2.7. Найти произведение C AB , если																																									"
																																							У
																																						Г
																		3				0		7								1					Н
																	4 2															2				"
											A													3			,	B						.		З
																	1					1		2								4			У
																																		В
																																Г
Решение. Матрица														A																	и											. В результате их
																			согласована с матрицей B
															3 3														и									3 1
																												т		к
перемножения получим матрицу C3 1																								:
																											а				ua
																								е
																							т			м			.
																										.org
																						а
				3 0 7 1																	3 1			0 2 7 4											3 0 28											31
												ы									м
AB			4 2 3																		matem															4 4				12						12			.
																		й
																	е
																				1 1 1 2								2 4								1 2				8							9
			1 1 2										4 ш
											в			с
Пример 2.8.										а
									Н йти матрицу AB BA, если
									р								1					2									2			3
							д
						е					A												,			B										.
				ф																											4
																	4 1																		1
			а
		К												A2 2				согласована с матрицей B2 2 и, наоборот, мат-
Решение. Матрица
рица B2 2 согласована с матрицей																								A2 2 . Следовательно,																	оба произведения
AB и BA существуют. Имеем
1					2				2 3									1 2 2										4			1 3 2 1											6					1
AB								4											4 2 1									4																					;
4			1											1																	4 3 1 1												12 13
		2 3 1												2							2 1 3 4										2 2 3 1												10					7
BA	4																																																;
							1 4					1								4 1 1 4 4 2 1 1																									0 9

35

6	1	10		7			4	8
AB BA			0	9				4	.
12	13					12

Пример 2.9. Найти матрицу AB C , если
	0	,	B 1 2 ,	1		1
A				C		.
					2
	2					3

Решение.						Матрица								A2 1 согласована с матрицей																							B1 2				,	поэтому можно
вычислить их произведение, которое будет матрицей размера																																									2 2 . Имеем
								0						2		1								1									0 1				0	2 " 1								1
AB C									1																															У
																																							Г
								2										2														2 1					2
																						3																2					2	3
																																					Н
																																				"
			0			0			1							1			0 1																	З							1			1
																																		0У1
																																		В												.
																																	Г
			2										2									2 2											4										4
					4										3																				3											1
																																и
																														к
																												и
																											т						матриц:
Пример 2.10. Найти указанные степениа
																							е								ua
																				т				м				.
																		м								org												0		a			0	0
												1				2			а					.														0		0			b	0
а)		A2 ,		если									ы				matem													если								0		0			0	0
							A									й,					б)				B3 ,									B											.
														0		е																						0		0			0	c
																1
															ш
											в			с
Решение:									а
								р
							д
						е		2
	2		1		ф								1			2			1					2					1 0							2				2			1 0
а) A						2
				а										0																		0 0														;
			К0			1										1			0 1																		0 1						0	1
														0		a 0 0 0																a 0 0								0 0				ab 0
																0			b 0									0				0 b 0												0
б) найдем сначала B										2				0																										0 0						bc
														0		0			0				c		0							0		0		c				0			0	0		0	.
														0		0 0 0 0																0 0 0								0 0				0 0

Теперь можно вычислить B3 B2 B :

36

			0	0	ab	0		0	a	0	0			0	0	0	abc
			0	0	0			0	0	b	0			0	0	0	0
B	3					bc
			0	0	0	0		0	0	0	c			0	0	0	0	.
			0	0	0	0		0	0	0	0			0	0	0	0

Пример 2.11. Найти AB T , если

A

1

3

B

2

,

.

0

2

4

"

1

3

10

Решение. Первый способ. Найдем AB

2У

Г

.

0

8

2"Н4

T

З

10

вательно,

AB T

10

8 .

У

В

8

Г

и

к

и

T

T

T

Tт

.ua

A . Поскольку B

Второй способ. Известно, что AB а B

м

е

T

т

org

T

T

а

1

3

м

0

.

1

1

2

4 ,

A

с

matem

, имеем

AB

2

4

0

2

й

2

3

е

2 12

ш

0 8 10ы8 .

в

а

р

д

е

ф

2.4. Обратная матрица

а

К

Рассмотрим квадратную матрицу

Следо-

2 T

4

0

2

	a		a			a
		11	12			1n
	a21		a22		a2n
	A							.
			a		a
	a			n2
		n1					nn

Этой матрице можно поставить в соответствие число, которое называют

определителем (детерминантом) матрицы:

37

a11

a12

a1n

det A

a21

a22

a2n

.

an1

an2 ann

Квадратная матрица A называется вырожденной (особенной), если оп-

ределитель этой матрицы равен нулю, т.е. det A 0 .

Если det A 0 ,

то матрицу A называют невырожденной (неособен-

ной).

m n ( m n ) определи-

Замечание. Прямоугольная матрица размера

теля не имеет.

"

1

У

Матрицу A

называют обратной матрице A, еслиГвыполняется усло-

вие

A A 1 A 1A E ,

"Н

З

(2.3)

У

В

Г

и

где E – единичная матрица (см. подраздел 2.1).

к

1

необ-

Справедлива теорема: для существовани я обратной матрицы A

ходимо и достаточно, чтобы матрица

т

невырожденной.

A былаа

ua

1

Для матрицы

т

м .

обратная матрица A

, кото-

A существует единственнаяе

рая вычисляется по формуле

м

org

а

.

A 1

ы

12matem22

n2

,

(2.4)

й

A

A

еA

ш

11

21

n1

с

A

A

A

в

1

а

det A

р

д

A1n

A2n

Ann

е

К

ф

дополнения элементов aij

определителя матрицы A

где Aij – алгебраическиеа

(см. подраздел 1.3).

Таким образом, чтобы найти обратную матрицу A 1 , необходимо составить матрицу из алгебраических дополнений элементов матрицы A, транспонировать ее и разделить на det A.

Справедливы следующие свойства:

1.Если A и B невырожденные матрицы одного порядка, то

AB 1 B 1A 1;

2. A 1 1 A;	3. det A 1	1	;	4. A 1 T AT 1.
		det A

38

Пример 2.12. Найти матрицу A 1 , обратную матрице
																							1						2					0
																						1							1					2
																	A																				.
																							3						0
																																		1
Решение. Вычислим определитель матрицы A, разложив его по элемен-
там первой строки (см. подраздел 1.3):
det A		1			2	0					1 1 1 1										1		2					2 1 1 2															1			2
		1			1	2																																										1 14 15 0,
		3			0	1															0		1																						3	1			"
																																																У
																																														Г
т.е. матрица A невырожденная и обратная матрица A																																													1"Н
																																														существует.
																																												З
																																										У
Чтобы воспользоваться формулой (2.4), найдем алгебраические допол-
нения всех элементов матрицы A.																																								Г
																																					и				В
		1 1		1 2																	1 2				1 2																							1 3			1 1
																																			к
A 1									1;				A 1																			и									A					1										3;
				0		1																						3			т 7 ;																				3				0
11														12															а1							ua						13
																									е
																							т					м				.
		2 1																												org																			2 3
																									2 2
																						а
A21 1					2	0															м							.1							0											1								1	2
									2						с				matem																				1; A23																		6;
														; A22				1
																		й
					0	1											е												3						1																			3	0
		3 1			2	0								ы		ш					3 2							1				0																	3 3				1			2
									4				в																																														3.
A31 1													;	A32				1																			2; A33 1
					1	2						а															1					2																					1			1
									р
						д
			а			е
Матрицу,фсоставленную из полученных алгебраических дополнений, не-
		К																																	A11,A12 ,A13 поставить в первый
обходимо транспонировать (т.е. элементы
столбец, A21,A22 ,A23 во второй и A31,A32 ,A33																																										в третий) и разделить на

det A 15 . В результате получаем:

			1			1	2	4	1 15		2 15	4 15
	A 1
						7	1 2			7 15	1 15	2 15	.
			15
						3	6			1 5	2 5	1 5
								3
	Убедимся, что A A 1						A 1A E .

39