BIS3_matem_org_ua

			A31 1										3 1				3 2												4						9		4					1		,
																							1						3						2							2
			A32 1 3 2																		2				4					6 8 2 ,
																						2					3
			A33 1 3 3																2						3 2							2 3 1.
																						2								1
Получаем						3 2								3 2											1 2												3			3					"1
	A 1 2								3												2						2										6			4				У
																																										Г			4	.
																																								Н
											2				3 2															1									"					2
																																					4 З			3
																																						У
																																				В
																						3				3									Г					3
																																1и				1 2
								1																									к
																															и
Следовательно, X A																						6				4										1		0
										B																				т4										1
															4											3		а
																														.2ua2 1 0
																											м
																									е
																								т				org
																							а
																											.
	3 3 2								6 0 1													м			9								0						8						7		12
																													3
	4 3 4								8 0						2matem12														3				0					11				10				15
															й
														е																							18							16			22 .
6 4 8 12												ш			4									18 4 0
										0
											с
									ы
							в
						а								2										3 2 4														8				7				12
					р
				д
			е
		ф				AX									2											1						3					18			16						22
Сделаем проверку:
	а
	К														1									3 2												11			10						15
																																3
16 27 44									14 24 40																			24 33 60																	1	2	3
	16 18 33										14 16 30																			24 22 45															1	0				B.
																																															1
	8 27 33										7 24 30																			12 33 45															2
																																														1 0
Получили AX B . Уравнение решено правильно.
																																							2			1						3
Пример 2.22. Решить матричное уравнение																																													X				.
																																							3			5
																																																1

50

Решение.					Имеем уравнение																				AX B , где																						2				1		и		3
																																								A														B	.
																																															3				5
																																						2		1															1
Вычислим определитель матрицы A:																												det A																10 3									13. Матрица
A невырожденная,											так как det A 0 . Решение																											3			5
																																					данного уравнения определя-
ется формулой X A 1B .																		Найдем обратную матрицу
																				1							A							A
														A 1														11								21		.
																			det A								A							A
																												12							22																"
	A				1			1 1																				A 1											2 1		1								У
													5 5 ,																																			1,
	11																													21																Н
																																										"						Г
	A 1								1 2																		A 1												2 2			З
														3 3 ,																												2				2 .
																																							В
	12																												22
																																						Г		У
											5				1																					и
				1																														т		к
Имеем	A 1															. Следовательнои,
								3							2
			13																									е			а					ua
																										т				м					.
																				3		м								org																	16
														5 1																			15 1																				16 13
		1					1																	а																		1
X A			B																							1				.																								.
					13 3												2			1	matem											9 2									13 7											7 13
																										13
																				й
																			е
																		ш
																с
														16 13
Таким образом,														в
					X										ы				. Сделаем проверку, подставив найденную мат-
															7 13
												а
											р
							д
рицу X в исходное уравнение:
						е								16 13									1 2											1 16												1 39							3
			2 ф 1
AX			а																																																			B .
		К					5							7 13								13						3							5									13
			3																																			7												13				1
Получили AX B . Уравнение решено правильно.
Пример 2.23. Решить матричное уравнение XA B , если
																			3			4							B							2			9
														A										,																.
																			1			1														1			3
Решение.							Матрица													A					невырожденная																			и						имеет				обратную
1			4									(см. пример 2.20). Уравнение																														XA B имеет решение,
A 1
	1		3

51

которое определяется формулой (2.8) X BA 1 . Получаем

X BA 1	2				9				1						4							2 9				8 27						7	19
																																	.
			1		3					1 3												1 3					4 9
																																2 5
Сделаем проверку, подставив найденную матрицу X в исходное урав-
нение.
7	19			3					4					21 19									28 19						2 9
XA																																B .
	5					1			1							6 5								8 5						1 3
2
Получили XA B , т.е. уравнение решено правильно.																														"
																													Г				2.20 и 2.23
Замечание. Из сопоставления результатов решения примеровУ
видно, что при одинаковых заданных матрицах																											"
																									A и B			Нуравнения AX B и
XA B имеют разные решения.																										З
																										У
																								Г
Пример 2.24. Решить матричное уравнениеВXA B , если
																							и
																							к
								2		3				1								и
																					т
			A 1							2					2			,	а				ua					2 .
																						B 4 5
																	м
													м			е						.
								3		4									org
														т5
														а
						ы											.
Решение. Матрица													matem
						A		имеетй						определитель
									е
			2			3		ш
							с 1
det A			1	в					2			20 4 18 6 16 15 1 0,
					2
			а
			р
	д				4			5
	е		3
а																												а решение уравнения
т.е. матрица Aф– невырожденная и имеет обратную,
К																							1		. Найдем обратную матрицу
XA B определяется формулой (2.8)																X BA
										1					A11							A21			A31
					A 1										A							A A					.
																12							22			32
										det A						A						A			A
																	13						23			33
Вычислим необходимые алгебраические дополнения элементов матрицы A
(см. пример 2.21 и подраздел 2.4):
	A11 18,									A21 11,												A31 8 ,
	A12 11,									A22 7 ,												A32 5 ,

52

A13 2 ,	A23 1,			A33 1.
Таким образом,	18		11	8
A 1		11	7	5
					.
		2	1
				1

																												18						11								8
Следовательно,					X BA 1 4																	5								11			7							5
																										2
																													2						1
																																										1
72 55 4																							32 25 2 21																			"				9 .
													44 35 2																												У
																																									11
																																							Г
																																						Н
																											2			3				1	"
																																	З
							XA 21																										У
Проверка:																		11				9					1			2		В 2
																											3			Г			5
																													и4
																												к
																										и
42 11 27										63 22 36																т		22 45 4														5 2 B .
																						21а
																						е						ua
																					т		м				.
																				м					org
Пример 2.25. Решить матричноеа																								уравнение ABX C D , если
												ы											.
																			matem
																		й
1			1													е					1								5					8												2	3
A							, B																,		C												,				D							.
	0 2													ш				2 0												4				6											4		2
													с
										в
Решение.								а							AB F , C D G																	.	Тогда исходное уравнение
			Обозн чим
						р
запишется в виде				д					G . Найдем матрицу F и ее определитель.
				FX
			е
		ф			1				1								3 1								3 2							1 0												5		1
	а
	К																																														.
F AB
				0													2 0																0				0									0
											2														0 4																	4
det F			5				1					0					4 4 0														матрица F – невырожденная,
		4							0
т.е. решение уравнения имеет вид X F 1G (см. (2.5),																																					(2.5 ) и (2.7)).
Найдем матрицу F 1 (см. пример 2.20)																													и матрицу G C D (см. под-
раздел 2.2):																		F			F											0		1
											1
			F 1																11			21			1												.
																		F			F											4		5
										det F																			4
																		12				22

53

5		8			2	3		5		2	8 3		7		5
G C D																.
	4	6			4	2			4	4	6 2			0	4

Далее перемножим полученные матрицы в нужном порядке:

X F 1G 1	0		1 7			5		1		0	4			0	1
																.
4		4	5		0	4		4		28	0			7	0

Для проверки подставим найденное решение в левую часть исходного уравнения и получим тождество ABX C D (проделайте это самостоятельно).

"

У

Пример 2.26. Решить матричное уравнение AXB C

, если

2

1

3

4

Г

A

,

B

,

C

1"Н

8

.

0

5

З

7

5

2

У4

В

Г

и

Решение. Так же как в случае уравнений вида (2.5) и (2.6), уберем мно-

к

и

жители A и B из левой части равенства. Для этого умножим обе части урав-

1

1

A 1 , а справа –

т

B 1 и воспользуемся тем,

.ua

нения слева на матрицу

наматрицу

м

что A A E , BB

е

org

X (подраздел 2.3). Имеем

E (подразделт2.4) и

EXE

а

.

1

с

matem

1

1

1

AXB C A

AX BB

A

CB

EXE A

CB

.

е

й

ш

X

E

E

Следовательно, решениеыуравнения AXB C следует искать по формуле

в

1

1

а

X

A

.

(2.9)

р

CB

д

е

Очевидно,

ф

полученный результат справедлив только в том случае, если мат-

а

К

следовательно, имеют обратные. Проверим,

рицы A и B невырожденные,

выполняется ли это условие для заданных матриц A и B ,

для чего вычислим

их определители.

det A

2

1

10 0 10 0 ,

det B

3

4

6 20 26 0,

0

5

5

2

т.е. обе матрицы невырожденные. Находим A 1

и B 1 (см. пример 2.20).

1

A

A

1

5

1

A 1

11

21

,

A

A

10

0

2

det A

12

22

54

																	1								B						B																	1					2			4
									B 1																	11						21																											.
																det B									B						B																					5				3
																																														26
																										12						22
По формуле (2.9) получаем решение:
					X A 1CB 1																		1			1					5								1 1														8				2 4
																																														4							7			5				3
																					10 26										0 2
																																																			2 40					4 24
																																																			8 35
																																																							16 21
					1			5		1		38													28																1					190 43												140 5
																																																											"
								0		2								43										5										260															0 86								0 10
				260																																																						У
																																																									Г
																																																								Н
																																																						"
																1			147												135																							З				27 52
																																																	147 260
								X																																													У									.
														260											86									10																									1 26
																																																			43 130
																																																			В
																																																	Г
	Проверим результат подстановкой X																																													и
																																												вкзаданное уравнение.
																																											и
																																									т
																																							а							ua
														1																					м
																				2					1 147																				135								3					4
						AXB																										е											.
													260							0						5						т				86													10							5		2
																															а
																												м
																		.org
																		ы									matem
																									й294 86										270 10
																							ш																				50
																								е0 430
																				с
					1	380									в280										3							4												1				38							28				3				4
														а
			260					430			р							50								5						2											26								43							5			5		2
										д
									е
	1							ф							152										56										1									26									208								1		8
					114а140
							К																																																										C .
	26				129 25											172									10										26								104											182							4	7
	Получили тождество AXB C , т.е. решение найдено правильно.
																Упражнения для самоконтроля
	1.				Даны матрицы																			1							2						,				B							1 0										и					0			2
																			A																																									C						.
																										3					4																				2 3												3
																																																																		4
Найти: 2 A, 3B, 3A 2B C , A2																															B2 ,									A B A B .

55

																						1				2		3									2		0
2. Вычислить AB и																																B					3		4		.
								BA, если A																				,
																						4			1
																												5									5	1
																			2
3. Найти AB и BA, если A 3 ,																								B 1						2			3 .
																			4
												4			2				1									2				0					2
4. Даны матрицы							A					3		2					0 и B									5		7					2 .
										0					1 2												1					0				"1
Найти : а) A2 B2				2 AB ;							б)		AB T AT BT .																					У
																																	Г
																																Н
													2				3													"
																												З					2
5. Найти матрицу 2 A A														A , если A														1
																												У							.
																																	2
																											В3
																										Г
											0			0			1								и
																								к						1
											1			1 2									и 1														4
																					т
							A				2			2			3е			а			.ua										и C					1
6. Даны матрицы																				B							2		2										.
																			,
																		м
											3			3		т			.org
																	4										1			1
															а
														м
										T				matem
Вычислить: а)	ABC ; б)							C				еB		A .
									ш																					2			1				1
								с								2			3
							ы
						в						A													и B			1					0				2 найти обрат-
7. Для данных матриц																4			7
					а
				р																										3			1
		д																																			2
		е
ные A 1 и B 1ф.
а
К																						4			0		5
8. Доказать, что матрица													A 1						18						1			24			является обратной для
																				3					0			4
	4		0				5
	0		1			6
матрицы A								.
	3		0				4
												1		1											1					2
9. Даны матрицы							A											и		B
																																.
												2			3												4	3
Найти: а) AB 1 A 1B 1;												б)		A 1B 1 B 1A.

56

10. Вычислить r A , если:
1		1			3										3								1		2													3		1	4
	3							б) A									6 2								4
а) A 2					1 ;																					;						в) A							2		10	;
3		2		1										12									4		8													6
		1	2			2				3														2	1							4					3		1
г) A		3 1					2			1		;		д)		A								3	5 1 0														2 .
																							2
		7 0					2			5															1 1 2 1
																								1	2							3 1							0
																																						"
												1						2									1										У			2	3
11. Даны матрицы								A																										2 Г
																							, B											Н			и C					.
														3				4														"								1	2
																									1						З			0
Найти неизвестную матрицу X из уравнений:																										В
																													У
а) AX B ;					б) XB C ;									в)		AXB C ; гГ) ABX C A A B .
																									и
																								к
														1				2						и										1
																							3т
12. Даны матрицы A													1									а											2			. Решить матричные
																		0м5						.uaи B
																		е
																	т		.org
															а
														2			3						4										5
								ы						м
														matem
уравнения:	а)		AX B					;		б)			й					T		.
												еXA B
											ш
							в		с
															Ответы
						а
					р
				д		4								3					0																		5		8
		2е						;		3B
1. 2 A ф																						;		3A 2B C																;
		а
					8										6 9
		6																																			8		14
	К
A2 B2							6					6		;	A B A B																10							2
																																							.
								13																														5
												1					2							4	6						35
			11				5
											BA					13						10			11			.
2. AB								;
			36			9
																	1						11		10
		2					4					6
				3		6						9			BA 4 .
3. AB													;
			4				8			12

57

						10	33		2
4. а) A2 B2						13 31			9		;
				2 AB
						10	14
									15
						11	3			3
б) AB T AT BT							8		8
					20						.
						3		9
										3
5. 2 A A	2		3		30	28
			A					.
					42	44

									5																															"
																																							У
								15																															Г
6. а) ABC												;			б)		CT BT AT												5					15
								25																													25"Н35 .
																																					З
																																				У
								35																											В
																														2				Г			2
																																	и1
		1			7 2							3 2								1												к
7. A																		B													и			1		3			.
															;															т4
																												а
																														1.ua1
						2							1											е												1
																										м
																						т						org
																			м
																	1			а					0.
												ы								0
																		matem
		1						1									й
8. A A AA E																е													.
																	0 1 0
															ш		0			0
											в			с											1
																	8						25							2 25
9. а) AB 1 аA 1B 1																																				;
							р																25								8 25
					д												12
					е								1										0 0
	б)				ф1	1			B						A
			Aа B																											.
			К																				0					0
			r A 3;											r A																					г) r A 3;						д) r A 4.
10. а)											б)						1;					в)				r A 2;
11.	а)				1					4									б)					X						3 2						7 2
				X										;																									;
												3																					1
					1																																	2
	в)							2								5					;						г)								3 5				7 10
				X																										X											.
						7 4								17 4																									21 20
																																		9 10
						33 4
12.	а)						11 2							; б)					X 1 2														1 2			1 .
				X
							5 4

58

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ

УРАВНЕНИЙ

3.1. Матричная запись системы линейных уравнений

Линейной системой m уравнений с n неизвестными x1,x2 ,...,xn назы-

вают систему вида

a x a x

a x b ,

11 1

12

2

1n

n

1

a21x1 a22 x2 a2n xn b2

,

(3.1)

................................................

"

am2 x2

amn xn bm .

У

am1x1

Г

Н

Здесь aij , bi (i 1,2,...,m ,

j 1,2,...,n ) – числа.

"

З

У

Матрица

В

a

a

a

Г

11

12

к

и1n

a

a

и

a

A

21

22

т

2n

,

(3.2)

а

ua

м

е

.

т

a

м

org

a

aа

m1

m2

.

mn

ы

matem

й

при неизвестных,

называется матрицей

составленная из коэффициентове

с

системы или основной матрицейш

системы, а матрица

в

a

a

b

а

a

11

12

1n

1

р

a21

a22

a2n

b2

д~

,

(3.3)

е A

ф

а

a

a

b

К

a

m1

m2

mn

m

которая получается из матрицы A приписыванием столбца из свободных чле-

нов, называется расширенной матрицей системы.

Чтобы записать систему (3.1) в матричной форме, наряду с матрицей системы A введем матрицы-столбцы

x				b
	1				1
x2				b2
X			и	B		.
x				b
	n				m

59