BIS3_matem_org_ua

Решение. Число уравнений совпадает с числом неизвестных, поэтому вычислим определитель матрицы A системы

det A

1

3

1

2

4

0

12 20 18 10 .

5

0

3

Поскольку система однородная и

det A 0 ,

то такая система имеет

только нулевое (тривиальное) решение: x1 0,

x2 0, x3

0.

Пример 3.16. Решить однородную систему

"

x1 2x2 x3 0,

У

3x

8x

4x

0,

Н

1

2

3

"

2x1 6x2 5x3

0.

З

У

В

Г

1

и

1

2

к

Решение. Матрица системы

A

и

4

имеет det A 0 (про-

3т

8

а

.ua

м2

6

5

е

т

org

а

верьте это самостоятельно). Таким образом, число уравнений равно числу не-

.

известных ( n 3), но определительм системы равен нулю. В этом случае сис-

с

matem

й

е

тема имеет бесчисленное множ ство решений.

Очевидно, Rg A r ш2 ,

так как у матрицы A существуют отличные от

нуля миноры 2-го порядкаы(см. подраздел 2.5). Возьмем, например, определи-

в

1

2

а

тель, составленный из коэффициентов при неизвестных x

и x в первых двух

р

1 2

д

е

3

8

0 . Этот минор можно выбрать в качестве

ф

уравнениях системы:

а

К

A представляется линейной комби-

базисного. Тогда третья строка матрицы

нацией первых двух (действительно, можно заметить, что третье уравнение системы получается вычитанием первого уравнения из второго). Такую строку элементарными преобразованиями можно сделать нулевой и вычеркнуть. Таким образом, рассматриваем систему

x1 2x2 x3 0,

3x1 8x2 4x3 0,

у которой Rg A r 2 , а число неизвестных n 3. В этом случае две переменные (например, x1 и x2 ) считаем основными, а одну ( n r 1) переменную, т.е. x3 , свободной. Для удобства обозначаем x3 c и переносим в пра-

80

вые части уравнений. Получаем

x

2x

c,

1

2

3x1 8x2 4c.

Решить такую систему можно по формулам Крамера:

1

2

8 6

2 ,

c 2

16c ,

2

1

c

7c ;

3 8

1

4c 8

3 4c

x

1

16c

8c ,

x

2

7c ,

x c ,

1

2

2

2

3

"

где c принимает произвольные значения.

У

Г

Н

"

Пример 3.17. Решить систему

З

У

2x

x

x

x

В

0,

1

2

3

Г4

4x

и

0.

2x xк 3x

1

2

и

4

3

т

а

ua

м2

1

1

1

т

.

Решение. Матрица системы A е

org

имеет Rg A r 2 ,

м

1

3

а

4

2

4

1

.

matem

й

так как среди ее миноров второго порядка есть отличный от нуля, например,

минор

2

1

0 .

с

е

неизвестных

n 4 .

Поскольку r n ,

Количествош

ы

в

а

однородная система имеет бесчисленное множество решений, одно из которых

д

ненулевые решения, выберем в качестве двух ( r 2 )

нулевое. Чтобы найтир

основных переменных

x1 и x3 (заметим, что сделать основными переменные

ф

а

К

так как коэффициенты при них образуют равный нулю опре-

x1 и x2 нельзя,

делитель). Тогда две

( n r 2 )

свободные

переменные

– это

x2 c1 и

x4 c2 . Исходная система приобретает вид

2x1 x3 c1 c2 ,

4x1 x3 2c1 3c2

и может быть решена по формулам Крамера.

		2	1		6 ,	1		c1 c2		1		3c1 2c2 ,
		4	1					2c 3c		1
								1	2

81

				2	c1 c2			10c	; x				3c 2c	2 ,	x		3		10c		5c
	3			4	2c 3c						1		1						2		2 .
								2	1				6		3				6		3
					1	2

Таким образом, решение системы имеет вид:

x 3c1 2c2 ,										x c ,						x 5c2 , x c																	( c ,c R ).
1					6					2				1				3					3			4		2					1		2
Пример 3.18. Найти решение системы
										3x				4x				x					2x			3x						0,
												1				2				3					4			5				0,"
										5x				7x				x					3x			4x
												1				2				3					4			5					У
										4x1 5x2 2x3 x4																5x5					Г
																																0,
																														Н
										7x 10x x 6x																		"			0.
																												5x
												1						2				3				4	У
																												З5
																										В			в ней из первой строки
Решение. Запишем матрицу A системы и вычтемГ
третью, чтобы образовать элемент a11																		1							и
																								(кдля удобства дальнейших вычис-
																							и
лений). Все преобразования матрицы будемтзаписывать справа (внизу) от нее,
обозначив i -ю строку через li .																	е			а				ua
															т				м .
		3		4			1		2	3									.1org 1							1			1				2
														а
														м
														matem
												й								5 7							1 3						4
		5 7 1 3 4е
A										ш					~					4					5 2 1								5					~
		4 5 2 1с5
									ы																											5l
		7		10			1	в		5										7				10			1	6					5	l	2
									6		l			l																				l				1
							а																													4l
						р						1		3																					3			1
					д																													l4 7l1
				е
			ф				1 1						2								1					1			1				1				2
	1а 1
	К						4 8						6												0		1 2						4
		0 2																																			3		~
~		0			1		2 5													~					0		1 2						5
													3																								3
		0			3		6 13						9												0		3 6 13												l2
															l	2			2																		9 l3
																																						l4	3l2
	1			1				1 1						2										1		1			1				1			2
		0			1			2 4																	0	1 2
~														3							~												4 3
		0 0							0 1					0											0	0			0				1			0		.
		0 0							0 1					0	1 l1										0	0			0 0							0
															l4 l3

82

Очевидно, что Rg A r 3, число неизвестных n 5, т.е. однородная система имеет бесчисленное множество решений. В качестве основных переменных можно выбрать x1, x2 и x4 , так как определитель, составленный из коэффициентов при этих неизвестных, не обращается в нуль. Тогда две сво-

бодные переменные ( n r 2 ) – это x3 c1																						и x5 c2 .
	Исходная система уравнений эквивалентна системе
x		x		x	x			2x		0,									x				x			x			c 2c ,
1			2	3		4			5													1		2			4			1		2
		x2 2x3 4x4						3x5 0,							или								x2 4x4 2c1 3c2 ,
							x4 0																			x4 0.
																														"
	Полученную систему решаем снизу вверх:																											У
																												Г
		x 0, x				2c 3c ,								x c					2c													5c .
																							2c Н3c						3c
		4			2			1		2				1			1					2				1 " 2				1			2
																										З
																								У
																							В
	Следовательно, общее решение системы можно записать так:
		x 3c 5c , x								2c 3c ,													Г			x 0,				x c ,
																			x иc ,
		1		1			2		2			1				2			3		к		1			4				5	2
																			и
																			т
где c1,c2 R , т.е. любые действительныеачисла.
																е						ua
															т		м		.
														м				org
														а			.
									ы				matem
											й
							Упражнения для самоконтроля
										е
										ш				: а) по формулам Крамера;
	Решить системы уравненийс
								в						б) матричным способом.
							а
		x1 3x2					р												3x1 x2 3,
						8д,
					е											2.			x			x		0.
1. x 2фx						7.
			1 а		2																1		2
				К
		2x		3x	x 4,														x				2x		x			8,
			1		2		3												1				2			3
3.		x1	2x2 2x3 5,													4.			2x1 3x2 3x3 5,
		3x1 4x2 5x3 2.																	3x1 4x2 5x3 10.
		2x		3x		x 6 0,													x			3x				6		0,
			1		2		3		5	0,											2			3		x		5,
5.		3x		4x			3x										6.		x				2x
			1		2		3													1				2		3
		x1 x2 x3 2 0.																	3x1 4x2 2x3 13.

83

Исследовать системы уравнений и в случае совместности решить их методом Гаусса.

7.	2x									3x x 5,																			8.				x				2x					x			5,
					1						2						3																		1					2			3
	4x1 6x2 3x3 3.																																x1 x2 x3 1.
		x x									1,																							x1 2x2 3x3 6,
				1						2					5,																			2x					3x				x					0,
9.		2x1 3x2																										10.									1				2				3
		4x 5x													7.																			3x1 2x2 4x3 5,
						1					2																							x			x				3x					3.
																																		1					2				3				"
																																													У
		x					x				x						2x			1,														2x					x				Г
																																										Нx				4,
					1					2					3				4																		1			2		"		3
11.				x			x								2x x					2,								12.						3x						З			2x					11,
																																								4x
					1					2							3		4																	1			У			2					3
																																						В					4x 11.
			5x 5x 8x 7x 3.																															3xГ 2x
						1						2					3				4													и							2						3
																																				1
																																	к
																															и
		x1 5x2 x3 8,																												т				2x1					3x2 x3 2,
																												а
																											м							ua
13.			2x						4x							3x		8,								е						.			3x				x			3x						1,
																												14.
						1			x		2						3							м	т		.org										1			2					3			4.
		3x										3x 2.																						5x					2x				2x
		x						2x								3x		x			1,			а
																								matem													1					2					3
						1					2						3						й
																						е					x					x					2x					3x						5,
																					ш
																					с									1					2					4					5
						1					2						3			ы4														4x2 x3 5x4 4x5 1,
										x									в		2,						2x1
		2x													x а2x
								1			2						р			4
15.					4x1												д								16. x1 3x2														5x4				2x5 3,
											3x2 е5x3 2x4 4,																3x1 7x2 3x3 9x4 2x5 14,
													ф
		7x									4аx 7x 5x 7.
								1		К				2				3			4													8x2 4x3 2x4 7x5 10.
																											2x1
			Решить однородные системы уравнений.
			x						2x				2		3x					0,															x				x			x					0,
						1											3		0,																		1			2				3				0,
17.			2x							3x 4x																				18.					3x x								x
									1						2			3																					1			2			3
			3x1 4x2 5x3 0.																																2x1 3x2 x3 0.

84

	2x				x		3x		0,		3x			x 2x				x		0,
			1			2		3	0,			1			2	3			4	0,
19.	3x				2x			x		20.	x		x x x
			1				2	3				1			2	3		4
	x1 4x2 7x3 0.										5x1 x2 x4 0.
	2x				3x			2x 0,			2x				x	x	3x				0,
			1	x		2		3					1		2	3			4
21.	3x						x 0,			22.	x		x 3x				x			0,
		x	1		2			3				1			2	3			4			0,
			x x 0,									4x			x	7x			5x
		1			2			3					1		2	3				4
	5x			x			x 0				5x				x	5x		7x				0.
			1		2			3					1		2	3				4

1.x1

4.x1

6.x1

8.x1

10. x1

13. x1

15.x1

16.x1

18. x1

"

Ответы

У

Г

Н

1,

x2 3.

2. x1

x2 3 4 .

"

3. x1

x2 x3 1.

З

У

1,

x 2,

x 3.

В

1, x 1.

5. x 2, x

2

3

1

Г2

3

и

к

и

15c

7

3,

x2 0,

x3 2.

7. x1

т18

,

x2 c,

x3

.

а

.ua10

5

м

е

т

org

а

.

7 c

4 2c

м

, x

ы

,

matem

9.

x 2, x

3.

3

2

3

е

3

1

2

ш

x2

x3

с

x1 3,

x2

x3

1.

в11. Несовместна.

12.

1.

а

р

2

д

3

1,

е

14.

Несовместна.

x

1,

x 2.

ф

а

7 c

1 ,

x3 5 c 1 ,

x4 0 .

c,Кx2

2,

x2 3, x3 1,

x4

0,

x5 2.

17. x1

c,

x2

2c, x3 c .

x2 x3

0.

19.

x1 5c,

x2

11c,

x3

7c .

20.	x		1 c ,		x			5 c c			,		x	c ,	x	c .		21.	x	x	x	0.
	1		4 1		2			4 1	2				3	1	4		2		1	2	3
22.	x		4	c	c	2	,	x		1		c		5c ,		x	c ,	x	c .
	1		3	1				2		3			2	1		3	1	4		2

85

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.Головина Л.И. Линейная алгебра и некоторые ее приложения. М.:

Наука, 1971. 285 с.

2.Добротин Д.Л. Основы линейной алгебры и аналитической геометрии.

Л.: ЛГУ, 1977. 120 с.

3.Синайский Е.С., Новикова Л.В., Заславская Л.И. Высшая математика:

Учеб. пособие: В 2 ч. Д.: НГУ, 2004. Ч. 1. 399 с.

4.Беллман Р. Введение в теорию матриц. М.: Наука, 1969. 496 с.

5.Солодовников А.С., Торопова Г.А. Линейная алгебра с элементами

аналитической геометрии. М.: Высш. шк., 1987. 253 с.

6. Ефимов Н.В. Квадратичные формы и матрицы. М.: Наука, 1972.

"

160 с.

У

Г

7.

Сушко С.О., Сторчай В.Ф.,

Фомичова Л.Я.,

Н

Шпорта А.Г. Лінійна

"

алгебра у прикладах та задачах. Д.: НГУ, 2005. 123 с.

З

8.

У

– Минск.:

Вышейш.

Апатенок Р.Ф. Элементы линейной алгебры.

школа, 1977. – 256 с.

Г

и

В

Харьков:

9. Каплан И.А. Практические занятия по высшей математике.

ХГУ, 1970. 576 с.

к

и

1970. 176 с.

е

т

.ua

10. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. М.: Наука,

т

м

11.

м

org

алгебре.

Фадеев Д.К., Соминский аИ.С. Сборник задач по высшей

ы

.

matem

М.: Наука, 1977. 249 с.

й

е

ш

в

с

а

р

д

е

ф

а

К

86

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ

Алгебраическое дополнение 16

Определитель 2-го порядка 5

Критерий совместности системы 75

3-го порядка 6

матрицы 37

Линейные операции над

системы уравнений 61

матрицами 30

Порядок квадратной матрицы 28

Матрица 5, 27

определителя 5, 19

вырожденная 38

Равенство матриц 28

диагональная 29

единичная 29

Ранг матрицы 41, 42

квадратная 28

"

У

кососимметричная 30

Разность матриц 30

Г

уравнения 47

нулевая 28

Решение матричногоН

"

З

системы линейных уравнений 60

обратная 37, 38

У

прямоугольная 28

тривиальное 79

В

Г

расширенная 59

и

Системы линейных уравнений 59

к

симметричная 30

невырожденные 61

и

т

системы уравнений 59

неопределенные 60

е

а

согласованная 33

м . несовместные 60

т

org

ua

столбец 28

а

однородные 79

ы

.

строка 27

matem

определенные 60

м

транспонированная 29

й

равносильные 60

е

треугольная 29

ш

совместные 60

с

Матрицы перестановочныев

33

Сумма матриц 30

размер 27

а

Теорема Кронекера – Капели 75

р

д

е

о разложении определителя 17

эквивалентные 45

Матричная з письф

системы

Умножение матриц 33

а

линейных уравненийК

59, 60

на число 30

Матричные уравнения 47

Формулы Крамера 61

Метод Гаусса 68

Элементарные преобразования

матричный 65

матрицы 41

окаймляющих миноров 43

системы уравнений 60

элементарных преобразований 44

Элементы матрицы 5, 27

Минор базисный 42

определителя 5

матрицы 42

окаймляющий 43

элемента определителя 16

87

Навчальне видання

Бібліотека іноземного студента

Новікова Людмила Василівна Сінайський Євгеній Самуїлович Бугрим Ольга Володимирівна Заславська Людмила Іванівна

"

У

МАТЕМАТИКА

Г

Н

"

З

У

В

Частина 3

Г

и

тк

Елементи

е

а

ua

лінійноїмалгебри.

а

посібник

Навчальнийт

м

ы

(Російською.orgмовою)

matem

й

е

ш

с

вРедактор Ю.В. Рачковська

а

р

д

е

ф

а

Підписано до друку 14.05.08. Формат 30х42/4.

К

Папір офсет. Ризографія. Ум. друк. арк. 4,5.
Обл.-вид. арк. 4,5. Тираж 250 прим. Зам. №	.

Підготовлено до друку та видрукувано у Національному гірничому університеті.

Свідоцтво про внесення до Державного реєстру ДК № 1842.

49005, м. Дніпропетровськ, просп. К.Маркса, 19.