BIS3_matem_org_ua

Будем последовательно, начиная с первого столбца, добиваться, чтобы элементы, стоящие под главной диагональю, обратились в нуль (см. примеры

2.17 – 2.19). Умножим первую строку на 3 , а потом на 5 и прибавим соответственно ко второй и третьей строкам. Получим

~		1	1					5			4						Умножим вторую строку на 2
		0 7				16
A ~										11 ~																								~
	0		14			32				15							и прибавим к третьей строке
										1	1								5					4
							~			0 7						16							11 .										"
								0				0							0					7
																																У
																															Г
																														Н
В системе возникло невозможное равенство 0																													"
																												7		. Следовательно, ис-
																													З
ходная система уравнений несовместна.																											У
																											В
Пример 3.9. Методом Гаусса найти решениеГ																												системы
																									и
											2x					x					x				к
																								и		2,
															1			2					т3
																		е					а		ua
											x				x
																			м2x							1,
												1					2						3.
															м		т						org			7.
											4x1					а2x2							3x3
																				.
											е		matem
Решение. Составим расширеннуюй																						матрицу системы
										ш				2				1							1		2
									с
								ы~
							в			A 1										1			2				1 .
						а
					р									4			2							3
			д																								7
		а	е
Для проведенияф							элементарных преобразований над матрицей удобно,
		К		был равен единице. Этого можно добиться, поменяв места-
чтобы элемент a11

ми первую и вторую строки (это равносильно перестановке уравнений в системе). Получим

~		1	1	2	1		Первую строку умножим последовательно
		2	1	1	2				~
A							~ на 2 и 4 и прибавим ко второй и
		4	2	3	7
							третьей строкам соответственно

	1	1	2	1	Вторую строку умножим			1	1	2	1
~	0	3	5	0	~ на 2 и прибавим		~	0	3	5	0	.
0		6	11	3	к третьей строке		0		0	1	3

70

Этой расширенной матрице соответствует система уравнений

x1 x2 2x3 1,
	3x2 5x3 0,
	x3 3.

Решаем систему последовательно снизу вверх. Из последнего уравнения

имеем x3 3. Подставим x3 3 во второе уравнение:

3x2 5 3 0

3x2 15

x2

5. Из первого уравнения после подстановки в

него x3 3 и x2

5 найдем:

x1 5 2 3 1

x1 2. Таким образом,

система имеет единственное решение: x1

2 , x2

5,

x3 3.

"

Сделаем проверку, подставив в каждое из уравненийУисходной системы

найденные числа:

Г

Н

"

2x1 x2 x3 2

З

2,

2 2,

2 2 5 У3

В

Г

x1 x2 2x3 1

1 1,

2 5

2 3 1,

и

4x

2x

3x

7

к

2 5 3 3 7,

7 7.

и4 2

1

2

3

т

а

.ua

Система решена правильно.

м

е

т

Пример 3.10. Решить систе

а

методом Гаусса.

у уравнений.org

м

й

е

3x2 5x3 7x4 12,

x1

ш

7x

x

0,

с 3xmatem5x

ы

1

2

3

4

в

7x2

x3 3x4 4,

а

5x1

р

д

x2 3x3 5x4 16.

е

7x1

ф

а

Решение. Произведем необходимые преобразования, не прибегая к рас-

К

ширенной матрице. Исключим неизвестную x1 во втором,

третьем и четвер-

том уравнениях. Для этого первое уравнение умножим последовательно на3 , 5 , 7 и сложим со вторым, третьим и четвертым уравнениями соответственно. Получим

x		3x	5x			7x 12,
	1	2		3		4
		4x2 8x3 20x4 36,
		8x2 24x3 32x4 56,
		20x	2	32x		44x 68.
					3	4

71

Упростим систему, разделив второе уравнение на 4, третье – на 8, а четвертое – на 4:

x		3x	5x	7x 12,
	1	2	3	4
		x2 2x3 5x4 9,
		x2 3x3 4x4 7,
		5x2 8x3 11x4 17.

Исключим переменную x2 в третьем и четвертом уравнениях. Для этого

умножим второе уравнение последовательно на

1 и

5 и сложим с

третьим и четвертым соответственно:

"

У

Г

x1 3x2

5x3

7x4

12,

Н

"

x2

2x3

5x4

З9,

x

x

У

В2,

3

4

Г

и

2x3

к14x4 28.

и

т

е

а

ua

3

м

Для исключения переменной x

в четвертом уравнении прибавим к не-

м

.

org

му третье уравнение, умноженное

на

т2:

.

x1

matem

й3x2

5x3 7x4 12,

е

x

2x 5x

9,

ш

2

3

4

с

ы

x3 x4 2,

в

а

р

16x4

32.

д

е

ф

эту систему снизу вверх (см. пример 3.9), полу-

Решая последовательноа

К

x3 0 ,

x2 1,

x1

1. Проверку сделайте самостоятельно.

чим: x4 2 ,

Пример 3.11. Методом Гаусса решить систему уравнений

2x1 x2 x3 3x4 1,

4x

2x

x

x

5,

1

2

3

4

6x1 3x2 x3 x4 9,

2x

x

2x

12x

10.

1

2

3

4

Решение. Составим расширенную матрицу системы

72

		2	1	1	3	1
~		4	2	1	1	5
A		6	3	1	1	9	.
		2	1	2	12	10

Произведем элементарные преобразования над строками этой матрицы. Умножим первую строку последовательно на 2 , 3 , 1 и добавим ко второй, третьей и четвертой строкам соответственно. Получим

												2			1	1							3			1
								~				0			0		1					5				3						"
								A ~				0			0		2				10					6	.			У
																													Г
											0				0		3				15					9		Н
																											"
																										З
																									У
																								В				2			и 3 и сложим
																							Г
Умножим вторую строку последовательно на
																					к
с третьей и четвертой строками соответственнои:
																			и
						2		1			1				3			т
																	а1				ua
																м
						0 0						1 5е					3			.			2		1			1				3	1
	~					0			0			0		м 0			org0					0				0			1			5	3
															т					~													.
	A ~														а
																.
									с
													matem
												й
							0		0		е0				0		0
										ш		уравнения вида 0 0 . В результате получаем
Отбросим два последнихы
								в
систему							а
					р					2x1 x2 x3 3x4 1,
			д
		е															x3 5x4 3.
	ф
а
К
Число неизвестных в этой системе n 4 , а число уравнений k 2 . Сис-
тема имеет бесчисленное										множество						решений,								так			как				k n .		Поскольку
n k 2, то два неизвестных можно задать произвольно, а два ( k																																	2 ) счи-
тать основными. Пусть основными неизвестными будут x1 и x3																																	(минор, со-

ставленный из коэффициентов при этих неизвестных, отличен от нуля, чего нельзя сказать, например, о переменных x1 и x2 ). Тогда свободные перемен-

ные x2 и x4 перенесем в правые части уравнений и получим систему

2x		x	1	x		3x ,
	1	3		2		4
		x3 3 5x4 ,

73

из которой следует, что x	3 5x ,	x	1	1 x	2	3x	3 5x	4
3	4	1	2			4

2 0,5x2 x4 .

Таким образом, решение системы имеет вид:

x1 2 0,5x2 x4 , x2 , x3 3 5x4 , x4 .

Это решение называют общим решением данной системы. Переменные x2 и

x4 могут принимать произвольные значения.
		При конкретных значениях x2 и x4 получаются решения, которые назы-
вают частными. Например, при x2 2 и x4																											1 получим частное решение
x1 2 ,			x2 2 ,			x3 2 ,						x4 1.																											"
																																						У
																																						Г
		Пример 3.12. Решить систему уравнений методом"НГаусса.
												2x 3x									5x								x							З
																																		У3,
																1				2						3						В
																																	4
																	4x						2x							Г							2,
													3x							2												3x
																1										3и								4
																										к
																								и
														x		2x				8тx							x							8,
												1							2		а				3						4
																1				2					3ua								4			0.
												7x					9xм x. 8x
																			е
																		т
																	а
																м															системы.
		Решение. Составим расширенную.матрицуorg
															matem
														й
												е
	2 3 5					1 3						ш																								1		2 8 1			8
		3 4 2									с		Поменяем местами																								3 4 2			3	2
						3 2ы
~									в
A		1	2 8		1			а		8		~	первую и							третью													~				2	3 5		1	3		~
						р
		7 9 1				д				0			строки																								7 9 1 8				0
					е8
				ф
			а
			К																											1							2		8	1	8
	Первую строку умножим последовательно
																														0				2				22 6			26
~		3 , 2 ,			7 и прибавим ко второй,																				~																			~
	на																										0								1			11 3			13
	третьейичетвертой строкам соответственно																													0				5				55		15	56
										1		2						8		1										8							К третьей строке
	Разделимвторую									0		1					11			3								13
~							~																											~			прибавимвторую,							~
												1				11						3
	строку на 2								0																	13											акчетвертой вторую,
										0		5				55				15
																										56											умноженнуюна 5

74

	1	2	8	1	8			1	2	8	1	8
	0	1	11	3
					13			0	1 11
~	0	0	0	0	0		~				3 13 .
								0	0	0	0
	0	0	0	0	9							9

Последняя строка означает, что система содержит уравнение вида 0 9 , следовательно, она несовместна и решения не имеет.

3.4. Критерий совместности

системы линейных уравнений

"

понятие ран-

При решении вопроса о совместности системы используютУ

Г

га матрицы (см. подраздел 2.5).

Н

"

З

Теорема Кронекера – Капелли. Для совместности системы линейных

уравнений необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицыУ

A системы и ранг

ее расширенной матрицы A совпадали:

В

Rg A ГRg A .

и

к

Rg A называют просто

Для совместной системы величину

и

r Rg A

т

утверждения:

рангом системы. В этом случае справедливыа

е

ua

1) число независимых уравнений системым .

равно рангу системы;

т

r n , то система

а

2) если ранг системы равен числу неизвестных, т.е.

имеет единственное решение;

м

.

org

й

е

r n , то система

3) если ранг системы м ньше числа неизвестных, т.е.

ш

является неопределенной, она имеет бесчисленное множество решений ( r не-

с

ы

через n r свободных неизвестных,

известных системы линейно выражаютсяmatem

в

которые можно задавать произвольно).

а

р

Выяснить,

совместна ли система и в случае совместно-

Пример 3.13д.

е

ф

сти найти ее решение.

а

2x1 x2 x3

4x4 x5 3,

К

x2 2x3

x4 5x5 3,

x1

4x

3x

6x

9x

4,

2

3

4

5

3x

2x

3x

3x

6x

5.

1

2

3

4

5

Решение. Составим расширенную матрицу системы.

		2	1	1	4	1	3
~		1	1	2	1	5
							3
A		0	4	3	6	9	4	.
		3	2	3	3	6	5

75

Необходимо найти ранги матриц A и A (см. примеры 2.17 – 2.19).

С помощью элементарных преобразований приводим матрицу A к ступенчатому виду. При этом матрица A также приводится к нужному виду, так как

она является частью расширенной матрицы A .

Для удобства вычислений поменяем местами первую и вторую строки:

1

~ 2

A 03

1 ~ 000

1 ~ 000

1

~000

	1		2				1				5		3						Первую строку умножим последовательно
1			1					4			1
													3			~					на 2 , 3 и прибавим ко второй и																		~
4		3						6		9			4
2			3					3			6		5						четвертой строкам соответственно
																																			"
	1				2			1				5					3																	У
																																	Г
																																Н
	3		3						6		9				3																"
																					~																~
																															З
																								Элементывторойстроки
																														У
	4		3						6		9						4												В		3
																								разделимна
																												Г
	1		3 6								9						4										и
																											к
																										и
	1			2				1				5					3								т
																				е				а			ua
																							.
	4		3						6		9				м4							.org
	1				1				2			3					1т
									ы								а~						прибавим к третьей а к четвертой,															~
														matem
													й
												е											строке прибавим вторую
1			3						6			9					4
											ш
1		2				1 в				с					3
											5										Разделим все элементы третьей строки
1			1					а			3
						р2									1										7 , а затем к четвертой строке
			е
0				д					21								~				на																	~
	ф7 14														0
0	а							4		6											добавим третью, умноженнуюна 2
	К 2												3

1		1	2	1	5	3		1		1	2	1 5		3
	0	1	1	2	3				0	1	1	2	3
						1								1
~	0	0	1	2	3	0		~	0	0	1	2	3	0	.
	0	0	2	4	6				0	0	0	0	0
						3								3

Для			матрицы A максимальный порядок			минора равен 3, причем
M3		1	1	2		Rg A 3.
		0	1	1	1 1 1 1 0 . Следовательно,
		0	0	1

76

Для расширенной матрицы можно составить минор 4-го порядка, напри-

					1				1	2			3
мер,	M4				0				1	1			1						1 1 1 3 3 0 ,																						откуда			следует,					что
					0				0	1			0
					0				0	0		3
Rg A 4.
Получили,								что		Rg A Rg A ,															т.е.					система несовместна и решений не
имеет.
Отметим, что										вывод					о несовместности заданной																											системы			уравнений
																																											"
																																											У
можно было сделать на основании вида преобразованной матрицы A , послед-
няя строка которой отвечает невозможному равенству 0 Г3 .
																																									Н
Пример 3.14.																																									"
										Выяснить вопрос о совместностиЗсистемы и в случае со-
																																							У
вместности найти ее решение.																																						В
																																					Г
													3x										x				2x
																																				7и,
																				1				2					3						к
																																	и
													x								4x				x						т
																																		0,
																		1						2					а
																												3
															2x1								5x2е2x3 ua3,
																								т			м							.
													5x										6x			.3orgx 6.
																				1				а								3
																								м2
												ы												matem
																						й
																			е
														ш									иренную матрицу системы и выполним необ-
Решение. Составим рас
ходимые элементарные преобразованияс																												.
	3				1						в		7																											1			4	1				0
										2а
									р
									д
~		1					4	е 1					0										Поменяемместами																		3		1	2				7
																			~
A						ф																																~											~
		2	а							2		3											первыедвестроки																		2		5	2			3
			К				5
		5		6						3			6																												5	6		3				6
	Первую строку умножим последовательно																																						1			4 1				0
																																							0		13			5		7
~																																					~											~
	на 3 , 2 , 5 и прибавим ко второй,																																					0			3			0	3
	третьейичетвертойстрокам соответственно																																						0		26			8		6

77

Разделим третью строку на 3 и			1	4	1	0
			0	1	0
						1		~
~ поменяемместамисо второйстрокой,		~	0	13	5	7
четвертуюстрокуразделимна 2			0	13	4
						3

Умножимвторуюстроку на 13															1		4			1						0
															0			1			0											Разделим третьюстроку
																										1
~ иприбавимк третьей и														~	0		0				5					20				~		на			5, а четвертуюна 4 ~
четвертойстрокам															0		0				4
																										16											"
																																				У
1 4			1 0																	1 4									1						Г
																																	"0Н
																															З							1 4 1 0
																													У
	0	1	0				Вычтемизчетвертой														0					1
~					~														~								В								~			0 1 0 1 .
	0	0	1	4			строки третью														0					Г					1			4
																										0
																									и
																							к															0 0 1 4
	0	0	1 4																			и0				0 0 0
																				т
																			а					ua
																		м
																					.
																е										4				1
																						1
															т
															а			.								1					0		1 0 является мино-
ром		Очевидно, минор 3-го порядкам M3 org0
		обеих матриц					A и				A ,			тmatem.е. Rg A 3												и				Rg			A 3.					Следовательно,
													й									0				0					1
												е
											ш
										с
									ы
								в
							а																									r 3.					Поскольку число
Rg A Rg A r , система совместна и имеет ранг
						р
неизвестных совпадает с рангом системы ( r 3 и n 3), система имеет един-
				е
				ф
ственное решение. На основании вида последней матрицы выпишем систему,
эквивалентнуюаисходной:
			К									x 4x						x					0,
														1		2				3
															x2							1,
																			x3 4.

Решая эту систему снизу вверх, найдем: x3 4, x2 1, x1 0 . Это и

есть решение заданной системы, что легко проверить подстановкой (см. при-

меры 3.1, 3.2, 3.9).

78

3.5. Системы однородных линейных уравнений

Система линейных уравнений называется однородной, если свободный член в каждом уравнении равен нулю. Однородная система имеет вид

a x a x a x 0,

11 1

12

2

1n n

a21x1 a22 x2 a2n xn 0,

(3.12)

................................................

a x

a x

a x

0.

m1 1

m2 2

mn n

Система (3.12) является частным случаем системы (3.10). Ее матричная

запись имеет вид

"

AX ,

У

Г

где – нулевая матрица-столбец.

"Н

Расширенная матрица

У

A системы отличаетсяЗот матрицы системы A

только столбцом, состоящим из нулей:

В

Г

a

a

a

и

a

a

0

кa

11

12

1n

и

12

1n

т

11

a21

a22

a2n

~

а a21

a22

a2n

0

A

,

ua

,

Aм .

е

т

.org

am2

а

am2 amn

am1

amn

м

am1

0

ы

matem

й

е

ш

r .

Другими словами,

однородная система

поэтому всегда Rg A RgсA

в

уравнений всегда совместна.

Если r n , гдеаn – число неизвестных, то система имеет только нуле-

вое решение:

р

x2 0, ... , xn 0 . Это решение называют тривиаль-

x1 д0,

е

ным.

ф

а

Если

Кr n , то однородная система имеет бесчисленное множество ре-

шений, одно из которых нулевое.

m n , то

Если число уравнений и число неизвестных совпадают, т.е.

однородная система имеет

ненулевые решения при det A 0 ;

только нулевое решение при det A 0 .

Пример 3.15. Решить однородную систему

x1 3x2 x3 0,

2x1 4x2 0,5x1 3x3 0.

79