BIS3_matem_org_ua

		1	2	0 1 15			2 15	4 15
A A 1		1	1	2		7 15	1 15	2 15
		3 0				1 5	2 5	1 5
				1

	1				1 2 0							1 2								4							1		1					14 0										2 2 0							4	4 0
					1	1 2					7				1					2											1 7 6														2 1 12 4							2 6
	15																								15
									3						6																		3 0 3											6 0 6							12
					3 0 1															3																																0 3
														15			0			0											1			0						0
										1					0 15 0																0				1 0							E ;								"
									15
																																																	У
															0		0 15														0																	Г
																																		0 1												Н
																																													"
																																													З
																																												У
										1 15							2 15												4 15												1		В
																																												2 0
						A 1A						7 15							1 15 2 15																						Г			1 2
																																							и1
																																					к
												1 5								2 5															и						3 0 1
																															1 т5
																												е				а
																																						ua
																											т			м					.
	1				1 2					4					1 2					0										.org								12							2 2 0						0 4 4
																											1
																								а								1				2
																					м
															ы					matem
				7		1				2 1							1 2																7		1 6										14 1 0						0 2 2
	15																			й						15
					3	6				3									е												3			6 9											6 6 0 0 12 3
															3 0 1
																	ш
														в		с
												а						0				0										1				0					0
														15
											р1				0 15							0										0				1 0								E .
								д
								е			15				0			0 15														0				0 1
							ф
						а
						К
																																	1				3
				Пример 2.13. Дана матрица A																																				. Найти матрицу A 1 .
																																	4				5
				Решение. Убедимся в том, что матрица A невырожденная, т.е. ее детер-
минант не равен нулю.																			1			3
														det A												5 12 7 0.
																			4		5

Найдем алгебраические дополнения элементов данной матрицы:

A 1 1 1	5 5 ;	A 1 1 2	4 4 ;
11		12

40

		A 1 2 1 3 3;																	A 1 2 2 1 1.
		21																		22
	Следовательно, согласно формуле (2.4)
						A 1 1										5				3												5 7						3 7
																																									.
												7																				4 7					1 7
													4										1
	Для проверки правильности результата вычислим произведения A A 1 и
A 1A:						1 3 5 7														3 7													1 3								5 3
		A A 1
																								1
												4 7																		7				4							4
						4 5													1 7																		5										1
																																													"
																																											У
																																										Г
					1					5 12					3 3													1 7												Н					1 0
																																							0
																																								"									;
								20 20						12 5														7						0										0
					7																																	З7										1
																																					У
																																			В
						5 7					3 7 1 3																							Г			3					1 3
																											1							5
		A 1A																														и
						4 7 1 7										4				5										к											4 5
																											7и 4											1
																										т
																									а
								5 12						15 15															.ua7									0				1 0
				1																				м		1
																									org
																					т																											.
																				а
																		м
				7			4 4						12											.		7 0											7						0 1
																		5
																matem
												1			й
														е			1
	Таким образом,										A A	ш								A E . Это означает, что найденная матри-
													A
	1											с
ца A		является обратнойыдля матрицы A.
											в
									а
								р
						д
					е							2.5. Ранг матрицы.
			ф
		аЭлементарные преобразования матрицы
		К
	Рассмотрим матрицу A размера m n
																a								a													a
																			11						12												1n
												A				a21								a22												a2n
																																								.
																								a												a
																a									m2
																			m1																		mn
	Выделим в этой матрице k строк и k столбцов, где k – число, которое
не больше чисел m и n ,												т.е. k min m,n .																					Определитель													Mk			порядка k ,

41

составленный из элементов, стоящих на пересечении выделенных строк и столбцов, называют минором k -го порядка, порожденным матрицей A.

Очевидно, минорами 1-го порядка являются сами элементы матрицы.

	1	0	1	0
	2	0	4	0		. Каждый
Пример 2.14. Рассмотрим матрицу A
	3	0	6	0

элемент этой матрицы является ее минором 1-го порядка. Выделяя любые две строки и два столбца матрицы, можно составить миноры 2-го порядка. Например, из элементов, стоящих на пересечении первых двух строк и первых двух

1

0

столбцов, составляем минор

M2

, а из элементов, стоящих"

на пересе-

2

0

У

Г

2

4

Н

"

чении 2-й и 3-й строк и 1-го и 3-го столбцов,

З

M2

. Выбрав

минор

У

3

6

В

Г

элементы, стоящие на пересечении трех строк и трех столбцов, например, 2-го,

и0 1 0

к

и

т

а3

0

4 0

. Миноры 4-го и бо-

3-го и 4-го, получим минор 3-го порядка M

е

ua0

6

0

т

м

.

м

org

а

лее высокого порядка для данной атрицы. не существуют.

с

matem

Рангом матрицы

й

число r , которое равно порядку самого

A называюте

старшего отличного от нуляшминора матрицы

A. Применяют обозначения:

r A , Rg A.

ы

в

Из определенияаследует, что

р

Am n имеет ранг, причем

1) любая матрицад

е

ф

0

r A min m,n ;

а

2) r AК 0 тогда и только тогда, когда матрица A – нулевая;

3) для квадратной матрицы п-го порядка r A n тогда и только тогда,

когда матрица A невырожденная ( det A 0 ).

Базисным минором матрицы называют отличный от нуля ее минор, порядок которого равен рангу матрицы.

Для ненулевой матрицы всегда существует базисный минор (вообще говоря, не единственный). Строки и столбцы, на пересечении которых стоят элементы базисного минора, называют базисными.

Замечание. В матрице A всякий отличный от нуля минор порядка r Rg A можно принять в качестве основного, т.е. базисного. Тогда любой

ряд матрицы A, расположенный за пределами базисного минора, представляется как линейная комбинация параллельных рядов, пересекающих этот

42

минор. Такой ряд с помощью элементарных преобразований (см. с. 44) обращается в нулевой.

2.5.1. Методы вычисления ранга матрицы

1. Метод окаймляющих миноров
Минором, окаймляющим минор k -го порядка Mk , называют минор
k 1 -го порядка Mk 1, содержащий в себе Mk .
Справедливо утверждение: если матрица																									A имеет минор k -го порядка
Mk 0 , а все окаймляющие его миноры Mk 1 0,																											то ранг матрицы A ра-
вен k , т.е. r A k .																													A достаточно"
Таким образом, для определения ранга матрицы																																		найти от-
																																У	равны нулю.
личный от нуля минор M , все окаймляющие миноры которогоГ
Тогда ранг матрицы A равен порядку минора M .																													"Н
																										1 З 3						2	5
																										У
																										В
																								Г2			4					3	1
																						и
Пример 2.15. Найти ранг матрицы																										0			2			7
																			A к														11 .
																				и
																		т
															а											7	15					7	2
													е
																						ua
												т		м						.						1	1					5	6
											а			.								(т.е. элементов матрицы) имеют-
Решение. Среди миноров 1-мго порядкаorg
							с				matem
									й											11														r A 1.
								е
ся отличные от нуля, наприм р, элемент																				a			1. Следовательно,
Среди миноров 2-го порядкаш, окаймляющих этот элемент, также есть отлич-
						ы					1		3
					в													4 6 2 0 (остальные окайм-
ный от нуля, например,						M2
				а
			р							2				4
			д
ляющие минорые2-го порядка вычислять уже не следует). Таким образом,
			а																																		2	,
r A 2 . Можнофубедиться, что все миноры 3-го порядка, окаймляющие M
			К
обращаются в нуль. Действительно,
		1 3 2									1	3 5																			1 3			2
	2		4 3	0 ,					2				4 1									0 ,							2			4		3		0 ,
		0 2 7									0	2 11																			7 15		7
		1 3 5									1		3 2																		1 3 5
		2	4 1		0 ,					2				4 3								0 ,									2	4	1	0.
		7 15 2									1			1 5																	1	1 6

Следовательно, ранг матрицы A равен 2: r A 2.

43

		2	4	3	1	0
		1	2	1	4	2
	Пример 2.16. Найти ранг матрицы A	0	1	1	3	1	.
		4	7	4	4	5

Решение. Среди миноров 1-го порядка (элементов матрицы) имеются отличные от нуля, т.е. r A 1. Минор 2-го порядка, расположенный в левом

верхнем углу, равен нулю:										2			4			4 4 0 .										Но матрица имеет другие
										1			2
миноры 2-го порядка,							не					равные нулю, например,																	"M			2			4		3
																												У							2		1
4 6 2 0 . Следовательно, r A																												Г								M2
																																					ми-
																					2 . Возьмем окаймляющий"Н
																											З
						2		4					3													У
																									В
нор 3-го порядка M3						1		2					1
																	. Он отличенГ									от нуля, т.е. r A 3. Вы-
																							и
						0		1					1										к
																						и
																					т
																	е		а				ua
																		м
числив все окаймляющие M3 миноры 4-го порядка, можно убедиться, что все
													т									.
они обращаются в нуль:																			org
													а					.
		2 4						3					м1											2 4				3 0
		0			1			1					matem3											0			1	1	1
											й
		1 2								е			4											1 2				1 2
								1									0			,											0 .
							сш
						ы
		4		в				4					4											4 7				4 5
			а		7
		р
		д
Следовательно, rеA 3.
	ф
а
К
2. Метод элементарных преобразований

Рассмотренный выше метод окаймляющих миноров не всегда удобен, поскольку связан с вычислением значительного числа определителей. Существуют преобразования, которые не изменяют ранга матрицы, но облегчают процедуру его вычисления. Такие преобразования называют элементарными.

Кним относятся:

1)перестановка двух параллельных рядов матрицы (строк или столб-

цов);

2)умножение всех элементов какого-либо ряда на любое число, отличное от нуля;

3)прибавление ко всем элементам какого-либо ряда соответствующих элементов параллельного ряда, умноженных на одно и то же число;

4)транспонирование матрицы.

44

Матрицы A и B называют эквивалентными, если матрица B получена из матрицы A путем элементарных преобразований. Эквивалентность матриц обозначают: A ~ B .

В результате элементарных преобразований над строками любую матрицу можно привести к ступенчатому виду, т.е. сделать так, чтобы все элементы, стоящие под главной диагональю, обратились в нуль. В этом случае вычисление миноров матрицы, а значит, и нахождение ее ранга, упростится. Напом-

ним, что под главной диагональю любой матрицы мы понимаем элементы a11 ,

a22 и т.д.

Если в процессе преобразования возникает нулевая строка, ее можно удалить из матрицы.

																							1	2		3			5
																											"
																											У
Пример 2.17. Найти ранг матрицы A																							3	1		4Г 2				.
																										Н
																							5	3	"			15
																										8
																								З
																							Г	У						11		, ко вто-
Решение. Чтобы сделать нулевыми элементыВ, стоящие под a
																						и
рой строке прибавим первую, умноженную нак 3 , а к третьей первую, ум-
ноженную на 5 . Получим																		а			и
																е				т		ua
															т		м				.
											Вычтем из.orgтретьей
1	2		3			5								а										1			2			3		5
													м
A ~ 0	7	5				ы							matem											~ 0		7			5		17 .
					17					~ й
0	7	7				10					естроки вторую													0			0 2					7
										ш
					в		с
					а
Имеем ступенч тую матрицу. Легко заметить, что эта матрица имеет
миноры не выше т ретьего порядка. Удобнее всего вычислить тот, который со-
			д
держит полученныее				нулевые элементы:
		ф								1			2				3
	а
	К				M3				0			7			5				1 7 2 14 0 ,
									0				0		2
следовательно, r A 3.
																							3	2		1 2
																							2	0		1
Пример 2.18. Найти ранг матрицы A																												1 .
																							0	4		5
																												1

Решение. Для вычислений удобно, чтобы элемент a11 был равен едини-

це. Этого можно добиться, поменяв, например, местами первый и третий столбцы.

45

	1	2	3	2	Ко второй строке прибавим первую,
	1	0	2				~
A ~				1	~ а к третьей первую, умноженную
	5 4		0	1	на 5

		1			2			3			2				Третью строку можно																				1					2	3					2
	0				2			5																									~		0					2	5
~											3 ~				разделить на							3 и прибавить																								3 ~
	0		6				15				9																								0				2		5
															ко второй строке																														3
						1	2	3			2																										1			2	3	2
														Нулевую строку можно удалить ~
		~			0		2	5			3		~																											"
																																													.
					0		0	0			0																										0		У2		5	3
																																						Г
																																				Н
																																		"
																																	З
																																У
Полученная в результате элементарных преобразований матрица имеет
																														В				2
																												Г1
																										и2											2 0. Таким обра-
миноры не более второго порядка, причем M																															0			2
																										к
																									и
зом, r A 2.																								т
																							а			ua
																						м
																									.
																					е						1						2						1		3
																			м	т		.org					4						1					5			6
																			а
																			matem								2							1				1			0
																	й
Пример 2.19. Найти ранг матрицы A																											1					3						4			7		.
																е
															ш
														с
													ы
										р		в		строке прибавим первую,																			умноженную на 4 , из
Решение. Ко второйа
								д
								е
третьей строки вычтем первую, к четвертой строке прибавим первую, умно-
женную на						2ф. Получим
						а
						К
						1		2				1				3
						0	9				9			18					Разделим вторую строку на 9 ,
		A ~																																												~
						0	5				5			10					~	третью на 5 , а													четвертую на
																																										3
						0	3				3				6
1 2 1								3			Вычтем из третьей и четвертой																							1 2							1 3
		0 1 1						2																												0 1					1 2
																																														~
~		0 1 1						2			~ строк вторую строку и																						~			0 0					0 0
		0 1 1						2			удалим нулевые строки																									0 0					0 0

46

				1			2	1	3
	~								.
				0			1	1
									2
Минор 2-го порядка M2			1		2		1 0 . Следовательно, r A 2.
			0		1

2.6. Матричные уравнения

Матричными уравнениями называют уравнения вида

AX B

"

(2.5)

У

Г

или

Н

XA B ,

"

(2.6)

З

У

X –

где A и B заданные матрицы, причем матрицаВA невырожденная , а

Г

и

неизвестная матрица, допускающая произведен е AX либо XA.

к

и

Решением матричного уравнения называют матрицу соответствующего

т

а

размера, которая, будучи подставлена в ур внение, превращает его в тождест-

е

ua

необходимо

во. Чтобы найти решение матричного

муравнения (2.5) или (2.6),

т

.

1

org

слева,

а обе

умножить обе части первого из ниха на обратную матрицу A

1м

.

matem

й

справа. Получим

части второго уравнения – на A

е

ш

1

1

с

A

AX

A

B

(2.5 )

или

в

а

ы

1

1

р

XAA

BA

.

(2.6 )

д

е

A 1A AA 1

E ,

EX X или

XE X , где

E –

Учитыв яф, что

а

, получим формулы для вычисления искомой матрицы X :

единичная матрицаК

для уравнения (2.5)

X A 1B ,

для уравнения (2.6)

(2.7)

X BA 1 .

(2.8)

Пример 2.20. Решить матричное уравнение AX B , если

3

4

2

9

A

,

B

.

1

1

1

3

Решение. Найдем определитель матрицы A:

47

X A 1B .

det A		3	4		3 1 4 1 1.
		1	1

Так как det A 0 , матрица A – невырожденная, и следовательно, решение уравнения AX B существует и определяется формулой (2.7)

Найдем матрицу A 1 , обратную матрице A (см. подраздел 2.4):
	1		A	A
A 1			11	21		,
			A	A
	det A
			12	22

где Aij – алгебраические дополнения соответствующих элементов матрицы A.
																																					"
	A 1							1 1													A 1						2	1								У
												1 1,																		4		4 ,
		11																			21											Н
																																"		Г
	A 1 1 2 1 1,																				A 1 2 2
																															З3		3.
		12																			22								У
																												В
		1					1					4				1					4					Г													1
	A																									и										X A				B
Имеем																					.				и								,
																								Следовательнок
							1												1				т
														3							3
																					е	а				ua
																					м				.			1 9
	1				4																.org											4							2 3
							2						9					1 т2				4		1											3
																				а																					.
																			м
1				3					1 3										matem					1				1 9 3 3										1 0
																		й
																е
															ш		3
							X							с2
Таким образом,													в
														ы		0			. Сделаем проверку, подставив найденную
														1
										а
								р
матрицу X							д
			в исхо ное уравнение:
				а		е								2		3				6	4				9 0							2 9
AX					ф3 4
																																					B .
			К		1 1								1 0												3 0							1 3
																				2 1

Получили AX B . Уравнение решено правильно.

Пример 2.21. Решить матричное уравнение AX B , если

2		3 2	4			1		2	3
	2	1	3		,		1	0	1
A						B				.
	1	3 2	3				2	1 0

Решение. Найдем определитель матрицы A:

48

det A		2			3 2					4																													3		4													3
			2				1						3											2 1 3 2																																3	1
																																							2															2
			1			3 2							3
					3		2		3						3									3	2 6 12																						9			4 9 9								1	.
4 1 1					2										2																																2											2
Таким образом,			det A 1									0,													матрица													A –				невырожденная.															Уравнение
									2
AX B имеет решение X A 1B .																																																						"
Найдем обратную матрицу
																													A								A					A											У
																																																			Г
																								1							11							21						31						Н
								A 1																																							"
																													A								A					A .
														det A																12								22						32З
																													A								A						У
																																										ВA
																															13							23		Г				33
																																						и							элементов матрицы A.
																																				и
Вычислим необходимые алгебраические дополненияк
																																			т
			A 1																														а
																																		3 .ua ,
										1 1														1			3				м							9						3
				11																				м					е				org
																											т3											2						2
																3 2
								ы																	а						.
																								matem
																			й						3
												е2																	6 3 3,
			A12 1 ш1 2
							в		с									1							3
					а													2											1
					р		1 1 3																									3					1 2,
			Aд
			е
		ф		13														1							3 2
а
К			A21 1								2 1									3 2												4											9												3	,
																								3 2										3									2					6							2
			A22 1								2 2													2					4						6 4 2 ,
																								1							3
			A23 1								2 3											2							3 2													3						3						3	,
																								1							3 2																							2
																																																2

49