§4. Комбинаторные правила вычисления вероятностей

Рассмотрим правила и формулы комбинаторики, позволяющие подсчитать возможные исходы опыта и указать те из них, которые благоприятствуют событию А.

Если опыт состоит в выборе m элементов из n без возвращения и без упорядочивания (без расположения элементов в определенном порядке), то результатом опыта следует считать комбинации (множества) из m элементов, имеющие различный состав. Получаемые комбинации элементов носят название сочетания из n элементов по m, а общее число таких комбинаций подсчитывается по формуле

(2)

где n! = 1  2  3  4  …  (n – 1)  n.

Событию А благоприятствуют только те исходы, когда один снимок принадлежит множеству Е₂, а остальные два – Е₁. Всего таких исходов подсчитываем по формуле

m₁ =

Согласно формуле (1) находим

P(A) =

Событию В благоприятствуют только те снимки, которые принадлежат множеству Е и поэтому

m₂ =

Таким образом

P(B) =

Если опыт состоит в выборе m элементов без возвращения, но упорядочением их по мере выбора в последовательную цепочку, то различными исходами опыта будут комбинации из упорядоченных элементов, отличающихся друг от друга либо набором элементов, либо порядком их следования. Получаемые комбинации элементов называются размещениями из n элементов по m, а их общее число определяется по формуле

(3)

где m! – количество перестановок (Р_m).

Схем выбора, приводящая к сочетаниям с повторениям, заключается в следующем: опыт состоит в выборе с возвращением m элементов множества Е = {e₁, e₂ , e_{3 ,}…,e_n}, но без последующего упорядочения. Различными исходами такого опыта будут возможные комбинации из m элементов, отличающиеся составом. Однако, в отличие, от сочетаний эти комбинации могут содержать повторяющиеся элементы. Например, при m = 4 комбинации {e₁, e₁, e₂ , e₁} и {e₂ , e₁, e₁, e₁} неразличимы, а зато комбинация {e₁, e₁, e₃, e₁}, будет новой отличной от двух первых.

Общее число сочетаний с повторениями подсчитывают по формуле:

§5. Геометрическое определение вероятности

Приведенное в §3 определение вероятности события получило название классического. Оно дает возможность рассматривать лишь события, которые распадаются на конечное число равновероятных случаев. А как быть в случае с бесконечным множеством исходов испытания? Классическое определение вероятности на этот вопрос ответа не дает. Поэтому обратимся к другому подходу к формулированию понятия вероятности случайного события.

С этой целью рассмотрим геометрическую модель введенных ранее понятий. Пространство событий (S, IM) отождествим с множеством  точек единичного квадрата, понимая под  также и достоверное событие. Любую фигуру A   назовем событием. Под невозможным событием будем понимать любое множество плоской меры нуль, лежащее в .

Под мерой плоского множества будем понимать площадь фигуры, которую образуют точки множества. Например, гладкая кривая имеет площадь, равную нулю, а значит и меру, равную нулю.

Рассматривая фигуру в  как множество точек, введем в  обычные теоретико-множественные операции. В частности, под событием , противоположнымА, будем понимать дополнение А до , т.е. = – А и т.д.

Определение. Назовем вероятностью события А площадь фигуры А:

Р(А) = пл. А.

При этом будут выполняться следующие свойства:

1. Р() = 1;

2. Р() = 0;

3. 0  Р(А)  1 (площадь любой фигуры, целиком принадлежащей квадрату, не может превосходить его площадь);

4. Р(А + В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ);

5. Р() = 1 – Р(А).

Свойство 4 называют теоремой сложения для совместных событий. Убедимся в справедливости этой теоремы, исходя из геометрических соображений (см. рис. ниже).

Пусть А и В – две пересекающиеся фигуры, все точки которых принадлежат квадрату. Тогда площадь фигуры А + В будет равна сумме площадей фигур А и В минус площадь их общей части (иначе площадь пересечения фигур А и В будет сложена дважды: как площадь части фигуры А и одновременно, как площадь части фигуры В).