§4. Наивероятнейшее число появлений события в независимых испытаниях

Число k₀ (наступления события в независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность наступления события равна p) называют наивероятнейшим, если вероятность того, что событие наступит в этих испытаниях k₀ раз превышает (или, по крайней мере, не меньше) вероятности остальных возможных исходов испытаний.

Наивероятнейшее число k₀ определяют из двойного неравенства

np – q  k₀  np + p, (1)

причем:

1. Если число np – q – дробное, то существует одно наивероятнейшее число k₀;

2. Если число np – q – целое, то существует два наивероятнейших числа, а именно: k₀ и k₀ + 1;

3. Если число np – целое, то наивероятнейшее число k₀ = np;

§5. Производящая функция

Рассмотрим испытания, в которых вероятности появления события различны.

Пусть производится n независимых испытаний, причем в первом испытании вероятность появления события А равна р₁; во втором – р₂, .., в n-м испытании – p_n; вероятности не появления события А соответственно равны q₁, q₂, …,q_n; P_n(k) – вероятность появления события А в n испытаниях ровно k раз.

Производящей функцией вероятностей P_n(k) называют функцию, определяемую равенством

_n(z) = (p₁ z + q₁)( p ₂ z + q ₂)…( p _n z + q _n). (2)

Вероятность P_n(k) того, что в n независимых испытаниях, в первом из которых вероятность появления события А равна р₁, во втором р₂ и т.д., Событие А появится ровно k раз, равна коэффициенту при z^k в разложении производящей функции по степеням z. Например, если n = 2, то

₂(z) = (p₁ z + q₁)( p ₂ z + q ₂) = p₁ p₂ z² + (p₁ q₂ + p₂ q₁)z + q₁ q₂.

Здесь коэффициент р₁р₂ при z² равен вероятности P₂(2) того, что событие А появится ровно два раза в двух испытаниях; коэффициент p₁ q₂ + p₂ q₁ при z¹ равен вероятности P₂(1) того, что событие А появится ровно один раз; коэффициент при z⁰, т.е. свободный член q₁q₂ равен вероятности P₂(0) того, что событие А не появится ни одного раза.

Заметим, что если в различных испытаниях появляются различные события (в первом испытании событие А₁, во втором – событие А₂ и т.д.), то изменяется лишь истолкование коэффициентов при различных степенях z, Например, в приведенном выше разложении коэффициент p₁p₂ определяет вероятность появления двух событий А₁ и А₂.

10