fizika-elektr / 2013-6

Решение

1. Работа по перемещению зарядов численно равна изменению из потенциальной энергии:

	q2	q2	r	− r
Π1 = k	; Π2 = k	; A = ΔΠ = Π2 − Π1 = kq2	1	2	;
				r1r2
	r1	r2

A= 9 109 10−12 0,45− 0,162 Дж;

2,5 10 2

102.Заряды q1 = 1,5 10 − 7 Кл и q2 = 3 10 − 9 Кл Находятся на расстоянии r1 = 0,1 м друг от друга. Какую работу совершат силы поля, если второй заряд удалится от первого на расстояние r2 = 10 м?

Решение

q1q2

q1q2

1

1

−9

Π1 = k

r

; Π2 = k

; A = Π1 − Π2

= kq1q2

−

≈ 4 10

Дж;

r + r

r

r + r

1

1 2

1

1 2

103. На расстоянии r1 = 0,08 м от поверхности металлического шара радиусом R = 2 см с постоянной плотностью заряда σ = 4 10 − 6 Кл/м2 находится точечный заряд q = 10 − 9 Кл. Определить работу электрического поля при перемещении заряда на расстояние r1 = 0,18 м от поверхности шара.

Решение

1. Заряд шара:

Q= σ4πR2 = 4 10−6 12,56 4 10−4 2 10−8 Кл;

2.Так как заряд проводящего шара эквивалентен соответствующему точечному заряду, помещённому в его центре, то введём обозначения:

x1 = R + r1 = 0,1м; x2 = R + r2 = 0,2м; 3. Работа по перемещению заряда q в поле шара:

		1		1			9		−9		−8		−7
A = Π1 − Π2	= kqQ		−			9 10		10		2 10		5 9 10		Дж;
	x1			x2

104. Какую работу надо совершить, чтобы перенести точечный заряд q = 20 нКл из бесконечности в точку, находящуюся на расстоянии r = 0,28 м от поверхности проводящего шара радиусом R = 2 см, если шар заряжен до потенциала ϕ = 300 В? Шар и заряд находятся в воздухе.

					Решение
1.	Заряд шара:	Q			ϕR	300 0,02
	ϕ = k		;	Q =			6,7 10−10 Кл;
		R			k	9 109
2.	Работа при перенесении заряда из ∞ в точку с координатой R + r

101

1

1

kQq

9 109 6,7 10−10 2 10−8

−7

A = Π1

−Π∞ = kQq

−

=

R + r

0,3

4 10

Дж;

R + r

∞

105. Какую разность потенциалов должен пройти электрон, чтобы из состояния покоя достичь скорости v2 = 8 106 м/с?

Решение

1. В соответствии с теоремой об изменении кинетической энергии электро-

на:

m	v2	−	m v2		= ΔΠ = e ϕ; v = 0;			m	v2	= e ϕ
e	2		e 1 = A					e	2
2			2	1→2		1		2
			ϕ ≡ U = mev22		≈	9,1 10−31 64 1012	182 B;
				2e		3,2 10−19

106.Протон, летящий по направлению к ядру атома гелия имеет скорость v

=104 м/с в той точке электрического поля ядра, где его напряжённость составляет Е = 104 В/м. На какое расстояние протон может приблизиться к ядру?

Решение

1. В соответствии с законом сохранения энергии: протон приблизится к положительно заряженному ядру гелия на расстояние rx, при котором его кинетическая энергия Kp станет равна потенциальной энергии Пр взаимодействия с

ядром, имеющего заряд |Q| = 2e:

36 109 (1,6 10−19 )2

2e2

=

mpv2

2

= r m

2

r =

4e2

5,52 10

−9

k

;

4ke

v

;

м;

r

2

m

v2

1,67 10−27 108

x p

x

x

p

107. Электрон летит на положительный ион, заряд которого по модулю равен трём зарядам электрона. В начальный момент времени на большом удалении от иона электрон имел скорость v = 105 м/с. На какое минимальное расстояние электрон может приблизиться к иону?

Решение

k

3e2

= mev2

;

6ke2 = r m

v2 ;

r =

4e2

54 109 (1,6 10−19 )2

152 нм;

r

m

v2

9,1 10−31 1010

2

x e

x

x

p

108. Расстояние между параллельными пластинами конденсатора d = 5 см. Напряжённость электрического поля Е = 6 104 В/м. Электрон летит вдоль одной из силовых линий поля от одной пластины к другой. Какую скорость приобретёт электрон, если вначале движения от имел нулевую скорость?

102

			Решение
		ϕ ≡ U = Ed;			m	v2	= eU = eEd;
					e
				2
v =	2eEd		3,2 10−19	6 104 5 10−2				3,25 10	7	м	;
	me		9,1 10=31							с

109. Шарик массой m = 10 − 3 кг несущий на себе заряд q = 10 − 5 Кл перемещается из точки с потенциалом ϕ1 = 2600 В в точку с потенциалом ϕ2 = 100 В. Определить начальную скорость шарика, если во второй точке он приобрёл скорость v2 = 10 м/с.

Решение

mv2

−

mv2

)= q

ϕ;

v

=

v2

−

2q

ϕ

;

2

1 = q(ϕ − ϕ

2

2

1

2

1

2

m

v

10

2

−

2 10−5

2,5 103

7

м

;

10−3

с

1

110. Электрон, попадая в однородное электрическое поле в вакууме, движется в направлении силовой линии поля с напряжённостью Е = 90 В/м. Через какое время τ скорость электрона станет равной нулю, если начальная скорость электрона v1 = 1,8 106 м/с?

Решение

1. Закон сохранения энергии для равнозамедленно (до полной остановки) движущегося электрона:

m v2	= eEx; x =	m v2	;
e 1		e 1
2		2eE

2.

Кинематические уравнения равнозамедленного движения электрона:

0

= v

−aτ;

v1

a = τ

;

2x

m v

9,1 10−31 1,8 108

1

aτ2

τ =

=

1,13 10

−

7 c;

x = v

τ −

;

v1

v1

e 1

1,6 10

−19

90

x =

eE

1

2

2τ

;

3. Этот результат можно получить, не прибегая к кинематическим соотношениям, достаточно применить теорему об изменении импульса силы:

m v − m	v	2	= F τ; v	2	= 0; m v = eEτ; τ =	mev1	;
e 1 e			K		e 1	eE

111. Электрон, при скорости v1 = 1,8 104 м/с влетает в однородное электрическое поле в вакууме с напряжённостью Е = 3 10 − 3 В/м и движется против направления силовых линий. Каковы будут скорость и ускорение электрона, когда он пройдёт расстояние х = 7,1 10 − 2 м? Сколько времени потребуется электрону для достижения такой скорости?

103

Решение

1. Конечная скорость электрона v2 на основании теоремы об изменении кинетической энергии:

m

v2

−

m v2

= eEx;

v

=

v2

+

2Eex

;

e

2

e 1

2

2

2

1

me

8

3,2 10−19 3 10−3 7,1 10−2

4 м

v2

3,24 10

+

9,1 10−31

2 10

с

;

2. Ускорение электрона из второго закона Ньютона:

r

r

eE

1,6 10−19 3 10−3

8 м

F = mea;

eE

= mea;

a = me

9,1 10−31

5,3 10

;

с2

3. Время разгона электрона τ:

v

= v

+ aτ;

τ =

v

2

− v

2 103

3,77 мкс;

1

a

5,3 108

2

1

112. В однородном электрическом поле напряжённостью Е = 6 В/м электрон из состояния покоя приобрёл кинетическую энергию К = 4,8 10 − 19 Дж. Найти ускорение а, полученное электроном, разность потенциалов между конечной и начальной точками движения U, скорость v2 которую приобрёл электрон за время своего движения.

Решение

1.

Конечная скорость электрона:

K =

m

v2

=

2K

9,6 10−19

1 106

м

;

e

2 ; v

2

me

9,1 10−31

с

2

2.

Ускорение электрона:

eE

1,6 10−19 6

12

м

a = me

9,1 10−31

1 10

;

с2

3.

Разность потенциалов между начальной и конечной точками движения

электрона:

K = eU;

U =

K

4,8 10−19

3 B;

e

1,6 10−19

113. Какое расстояние должно быть между двумя плоскими пластинами, чтобы при разности потенциалов U = 500 В напряжённость поля составила Е = 2 103 В/м? Какая сила будет действовать на пылинку с зарядом q = 2 10 − 8 Кл в этом поле? С каким ускорением станет двигаться пылинка массой m = 10 − 9 кг?

		Решение
1.	Расстояние между пластинами:
	E = U ;	d = U =	500	= 0,25 м;
			2 103
	d	E
2.	Сила Кулона, действующая на пылинку:

104

FK = qE = 2 10−8 2 103 = 4 10−5 H; 3. Ускорение пылинки:

	F = ma;	a =	F	=	4 10−5	= 4 105	м	;
			K
					10−9		с2
	K		m

114. Между двумя разноимённо заряженными пластинами образовано однородное электрическое поле напряжённостью Е = 2,5 104 В/м. Какое напряжение приложено к пластинам, если они расположены на расстоянии d = 4 см? С какой силой поле действует на помещённый в него заряд q = 6 10 − 6 Кл?

Решение

1. Напряжение между пластинами:

U= Ed = 2,5 104 4 10−2 =103 В;

2.Сила Кулона, действующая на заряд q:

FK = qE = 6 10−6 2,5 104 = 0,15 H;

115. Расстояние между двумя горизонтально расположенными пластинами d = 2 см. Найти разность потенциалов между пластинами, если протон, пройдя под действием силы электрического поля расстояние s = 3 мм, приобрёл ско-

рость v = 1,5 104 м/с

Решение

m

v2

m

v2

m

v2d

p

= qpEs;

E =

p

; U = Ed =

p

;

2

2qps

2qps

U

1,67 10−27

2,25 108 2 10−2

7,82 B;

3,2

10−19

3 10−3

116. Электрон влетает в однородное электрическое поле между двумя заряженными параллельными пластинами в направлении линий напряжённости и на участке s = 2 см уменьшает скорость с v1 = 2 106 м/с до v2 = 0. Определить разность потенциалов между пластинами при расстоянии между ними d = 6 см.

Решение

m v2	= eEs; E =		m v2		m v2d	;
e 1			e 1 ; U = Ed =		e 1
2			2es		2es
U		9,1 10−31 4 1012 6 10−2		34 B;
		3,2 10−19 2 10−2

117. Электрон влетает в однородное электрическое поле, и на участке пути s = 2 см его скорость возрастает с v1 = 3 103 м/с до v2 = 104 м/с. Найти напряжённость поля Е.

105

Решение

mev22	− mev12	= eEs;		m	(v2	− v2 ) == 2eEs;			E = me (v22 − v12 );
2	2			e	2	1					2es
			9,1 10−31(108			−9 106 )
	E =						1,3	10	−2	В	;
			3,2	10−19 2 10−2						м

118. Между параллельными горизонтальными пластинами с разностью потенциалов U = 700 В висит капелька масла радиусом R = 1,5 10 − 6 м. Расстояние между пластинами d = 4 10 − 3 м, плотность масла ρ = 800 кг/м3. Определить заряд капли.

Решение

1. Напряжённость электрического поля между пластинами: E = Ud ;

2. Сила Кулона в данном случае направлена вертикально вверх, противоположно силе тяжести, поэтому условие равновесия капли в проекции на вертикальную ось, без учёта действия силы Архимеда, запишется следующим образом:

	r						3	d
mgr	+ F	= 0; ρg 4 πR3 = QE =	QU ;	Q ≈		4ρgR			;
	K	3	d				U
	Q ≈	4 800 9,8 3,37 10−18	4 10−3	≈ 6 10	−19		Кл;
		700

119. На концах диэлектрической тонкой соломинки длиной l = 5 10 − 3 м прикреплены два шарика, несущие разноимённые электрические заряды равные по модулю |q| = 10 − 8 Кл. Соломинка расположена между двумя параллельными разноимённо заряженными пластинами и ориентирована вдоль силовых линий поля. Расстояние между пластинами d = 0,1 м. При какой наименьшей разности потенциалов U соломинка разорвётся, если она выдерживает максимальную силу растяжения Fm = 10 − 2 Н?

Решение

1. Рассмотрим сечение соломинки, перпендикулярное направлению внешнего поля, созданного параллельными пластинами. К сечению будут приложены две силы: сила взаимодействия между шариками F1 и сила Кулона, обусловленная действием на заряды шариков со стороны внешнего поля F2. Условие разрыва соломинки в проекции на направление силовых линий внешнего поля запишется следующим образом:

U

q

2

Umin

kq

2

d

kq

2

q − k

≥ Fm ;

q = Fm +

;

Umin =

d

l

2

d

l

2

q

Fm +

l

2

;

0,1

−2

9 109 10−16

5

Umin ≈

+

≈ 4,6

10 B;

−8

−6

10

10

25

10

106

120. Металлический шарик радиусом R1 = 5 см заряжен до потенциала ϕ1 = 150 В. Чему равна напряжённость поля шара в точке, удалённой от его поверхности на расстояние r1 = 10 см? Какой станет напряжённость поля в этой точке, если шарик соединить со вторым незаряженным металлическим шариком радиусом R2 = 10 см, а затем второй шарик удалить на большое расстояние?

Решение

1. Первоначальный заряд шарика:
ϕ = k Q1		; Q = ϕ1R1		;
1	R1	1	k

2. Напряжённость поля шара в точке, удалённой от его поверхности на расстояние r1:

E = k

Q1

=

ϕ1R1

150 0,05

333

В

;

(R

2,25 10−2

м

1

1

+ r )2

(R

1

+ r )2

1

1

3. При соединении двух шариков заряд распределится по их суммарной поверхности с плотностью σ

σ =

Q1

=

ϕ1R1

4πk(R12 + R22 )

;

s1 + s2

4. Заряд, оставшийся на первом шарике после разъединения:

*

ϕ R

1

4πR2

ϕ R3

150 1,25 10−4

−

1

1

1

1

10

Q1

= σs1 =

4πk(R12 + R22 )

=

≈1,67 10

Кл;

k(R12 + R22 )

9 109 1,25 10−2

5. Напряжённость поля первого шара на расстоянии r1 после удаления второго шара на ∞:

	E* = k	Q*	= 9 109	1,67 10−10	66,7	В	;
		1
		(R + r )2		2,25 10−2		м
	1
		1

121. Сколько избыточных электронов должно быть на пылинке массой m = 1,5 10 − 11 кг, помещённой в поле плоского конденсатора, чтобы она находилась в равновесии? Напряжение на пластинах U = 500 В, расстояние между пласти-

нами d = 5 10 − 3 м.

Решение

1. Условие равновесия заряженной пылинки в электростатическом поле:

mgr	r	= 0;			mg = eN	E = eN	U	; N		= mgd	;
	+ F
	K				e		e d		e	eU
		N	e		1,5 10−11 9,8 5 10−3			9,2 103;
					1,6 10−19 500

122. Пылинка массой m взвешена в воздухе между, расположенными ра расстоянии d пластинами конденсатора. После того, как пластинку облучили ультрафиолетом, она потеряв часть заряда, начала падать. Какой заряд q потеряла пылинка, если для восстановления равновесия потребовалось увеличить разность потенциалом между пластинами с U идо U+ U?

107

			Решение
1. Заряд пылинки:			mg = q U ;	q = mgd ;
			d		U
2. Условие равновесия пылинки при потере заряда							q и увеличении разно-
сти потенциалов между пластинами на U:
mg =	U + U	(q −	q);	mgd = Uq + Uq − U q −					U q;
	d
mgd − Uq − Uq = − q(U +				U); q	1			1
					= mgd		−			;
								U +
					U				U

123. В плоском конденсаторе, помещённом в вакууме, взвешена капелька ртути. Расстояние между пластинами d = 10 − 2 м, разность потенциалов между пластинами U = 1000 В. Внезапно разность потенциалов уменьшается на U = 5 В. Через какое время капелька достигнет нижней обкладки конденсатора, ес-

ли первоначально она покоилась посередине конденсатора?
				Решение
1. Заряд капли:			U Q;		Q = mgd
	mg =					;
			d		U
2. Силы Кулона, действующие на каплю:
F	= Q U	;				Q
1	d				F = F1 − F2 =		U;
	= Q U −		U			d
F				;
2		d

3.

Ускорение капли при уменьшении разности потенциалов:

F = ma;

Q

U = ma;

mg U = ma; a = g

U ;

d

U

U

4.

Время падения капли:

d

=

aτ2

;

τ =

d

=

dU

10−2 103

0,451c ;

2

2

a

g

U

9,8 5

124. Отрицательно заряженная пылинка массой m = 10 − 8 кг находится в равновесии в однородном электростатическом поле плоского конденсатора с разностью потенциалов между пластинами U1 = 6 кВ при расстоянии d = 6 см. Какое надо приложить напряжение U2 к пластинам, чтобы пылинка осталась в равновесии, потеряв Ne = 4000 электронов?

Решение

	1. Начальный заряд пылинки
		U			mgd		10−11 9,8 6 10−2	−
	mg =	1	Q ;	Q =				9,8 10 16 Кл;
					U		6 103
		d	1	1
					1

108

2. Заряд пылинки после потери электронов:
Q	2	= Q	− eN			e	= 9,8 10−16 −1,6 10−9 4 103 3,4 10−16 Кл;
		1
3. Разность потенциалов U2, необходимая для равновесия пылинки с заря-
дом Q2:
			U	2	=		mgd		10−11 9,8 6 10−2	17,3 кВ;
							Q2		3,4 10−11

125. Между двумя пластинами, расположенными горизонтально в вакууме на расстоянии d друг от друга движется отрицательно заряженная сферическая капля масла радиусом R << d с ускорением а, направленным вертикально вниз. Сколько «избыточных» электронов имеет капля, если разность потенциалов между пластинами U, а плотность масла ρ?

Решение
1. Масса капли:	4
m = ρV; V =		πR3;
	3

2. Уравнение движения капли в проекцию на вертикальную ось:

mg − F = ma;	ρgV −	U N		e = ρVa;	ρgV −ρVa =		U N		e;
K		d	e				d	e
ρV(g − a)d = UNee; Ne =				ρVd(g − a) =		4πρR3d(g − a);
				Ue		Ue

126. Между горизонтально расположенными пластинами плоского конденсатора с высоты H над нижней пластиной свободно падает металлический шарик массой m. На какую высоту h после абсолютно упругого удара о нижнюю пластину подскочит шарик, если в момент удара он получает заряд q? Разность потенциалов между пластинами равна U, расстояние между ними d.

Решение

1. Уравнение закона сохранения энергии шарика с учётом работы силы Кулона на перемещении h:

mgH + Ud qh = mgh; mgHd = h(mgd − qU);

	h =	mghd	;
		mgd − qU		Рис. 126. Высота отскока

127. Электрон влетает со скоростью v0 в пространство между пластинами плоского конденсатора под углом α к их плоскости через отверстие в нижней пластине. Расстояние между пластинами d, разность потенциалов U. По какой траектории будет двигаться электрон? На какое минимальное расстояние он приблизится к верхней пластине?

109

	Решение
	1.Движение электрона относитель-
	но вертикальной оси из начальной
	точки О в точку С − равнозамедлен-
	ное, с некоторым ускорением ar , на-
	правленным вертикально вниз. В на-
	чальный момент времени при t = 0
	имеем:
	х0 = 0, у0 = 0,
	v0x = v0 cosα,
Рис. 127. Полёт электрона	v0y = v0 sinα,
	ax = 0, ay = − а.

2. Для проекций скорости в любой момент времени движения можно записать следующие уравнения

vx (t)= v0 cosα,vy (t)= v0 sin α − at.

3. Модуль вектора скорости определится как:

vr = v02 cos2 α +(v0 sin α −gt)2 = v02 cos2 α +(v02 sin2 α −2v0 sin αgt +g2t2 ),

4. Уравнения движения электрона запишем, используя особенности равно-

мерного перемещения точки по горизонтали и равноускоренного по вертикали
x(t)= v0t cosα,
y(t)= v0t sin α − at2 .
	2

5. Время подъёма тела в верхнюю точку траектории С определим, при ус-

	ловии: vy = 0		v0 sin α
	v0 sin α −atC = 0,	tC =		.
			a
	6. Определим далее полное время полёта
	τ = 2tC =	2v0 sin α .
		a

7. Максимальная высота подъёма определится путём подстановки времени

движения в уравнение вертикальной координаты

y

≡ h

= v

sin α

v

0

sin α

−

a v2 sin2

α

,

max

m

0

0

a

2

a2

hm =

v2 sin2 α

.

0

2a

8. Уравнение траектории получается при исключении времени из уравне-

ний движения:						x
				t =				,
						v0 cosα
y = v	0	sin α	x	− g	x2			= xtgα −	g	x2 .
			v0 cosα						2v02 cos2 α
				2 v02 cos2 α

110