fizika-elektr / 2013-6

Решение

1. Величина ЭДС индукции между концами крыльевого оперения:

εi = B	S	= B	l	x	= Blv =	5 10−5 58 2230	≈1,8В;
	t			t		3,6

2. Использовать величину ЭДС индукции для измерения скорости самолёта не представляется возможным, т.к. при подключении измерительного прибора, например, вольтметра, получается контур с фиксированной площадью, который пронизывает стационарный магнитный поток, ЭДС индукции будет равна нулю. Для появления ЭДС должна меняться какая-то величина, например вертикальная составляющая магнитного поля при изменении угла между плоскостью крыла и вертикальной составляющей магнитного поля Земли, при совершении виражей с наклоном крыльев к плоскости горизонта.

87. Чему равна индукция
однородного магнитного поля,
если при вращении в нём
прямолинейного проводника
длиной l	вокруг одного из его
концов с угловой скоростью ω
на концах	стержня возникает
разность	потенциалов U?
Плоскость	вращения провод-
ника перпендикулярна вектору		Рис. 87. Вращение стержня
индукции магнитного поля.

Решение

1.В соответствие с теоремой Леонарда Эйлера угловая скорость всех точек стержня одинакова, а линейная скорость зависит от их положения.

2.Точка стержня, совпадающая с осью вращения Z, имеет нулевую скорость, концевая точка имеет скорость v = ωl, поэтому в качестве расчетной

необходимо выбрать скорость < v >= ωl2 .

3. ЭДС индукции между концами вращающегося стержня:
ε	i	= U = B	S	= B	l x	= Bl < v >= Blωl; B =		2U	;
			t					ωl2
					t		2
88. Прямолинейный проводник длиной l							= 1,4 м находится в однородном

магнитном поле с индукцией В = 74 мТл. Определить разность потенциалов на концах проводника при его вращении в плоскости, перпендикулярной силовым линиям, с угловой скоростью ω = 75 рад/с. для случаев прохождения оси вращения: а) через середину проводника; б) через один из концов проводника; в) на расстоянии х = ¼ l от одного из концов проводника.

221

Решение

а) При вращении проводника −

стержня вокруг оси, проходящей

через его середину, ЭДС индукции

будет равна нулю, потому что:

εi = U = B

S

= B

l x

= Bl < v >;

t

t

< v >=

ωl

− ωl

= 0;

4

4

б) ЭДС индукции между конца-

ми вращающегося вокруг одного из

торцов стержня:

εi = U = B

S = B

l x

= Bl < v >;

t

t

Рис. 88. Вращение проводника

U = B

ωl2

=

74 10−3 1,96 75

≈ 5,5B;

2

2

в) При вращении проводника вокруг оси, проходящей на расстоянии х = 1/4 l от правого торца стержня:

< v >=	1	3		−	1		=	ωl	; U = B	ωl2	≈ 2,76B;
	2	ωl	4		4			4		4

89. Проводник длиной l = 1 м равномерно вращается в горизонтальной

плоскости с частотой ω = 10 с− 1. Ось вращения проходит через конец стержня. Вертикальная составляющая магнитного поля Земли В = 50 мкТл. Определить разность потенциалов между концами проводника.

				Решение
εi = U = B	S	= B	l x	= Bl < v >= B	ωl2	=	10 1 5 10−5	= 2,5 10	−4	В;
	t		t		2		2

90. Горизонтальный металлический стержень длиной l = 0,5 м вращается вокруг вертикальной оси в магнитном поле Земли, проходящей через один из его концов. Период вращения стержня Т = 0,5 с. Определить εi?

Решение

ω =	2π	;	εi = U =	Bπl2	=	5 10−4 3,14 0,25	= 7,85 10−4 B;
	T			T		0,5

91.Электромагнит с индуктивностью L = 5 Гн подключен к источнику тока с

ε= 110 В. Определить ЭДС, измеряемую идеальным вольтметром при размыкании цепи, если сила тока убывает со скоростью di/dt = 8 А/с.

222

Решение

1. Будем считать, что включённое в цепь сопротивление R характеризует сопротивление цепи, внутреннее сопротивление источника и активное сопротивление катушки L. Закон Ома в этом случае примет вид:

ε + εsi = iR ,

где ε − ЭДС источника, εsi − ЭДС самоиндукции, i − мгновенное значение величины тока, который является функцией времени.

2. Подставим в закон Ома уравнение ЭДС самоиндукции: U − L dtdi = ε.

7. По условию задачи R → 0, поэтому из закона Ома следует: U = ε + εsi = ε − L dtdi =110 + 40 =150B;

92. В катушке с активным сопротивлением R = 5 Ом течёт ток силой I = 17 А. Индуктивность катушки L = 50 мГн. Каким будет напряжение на зажимах катушки, если ток в ней начнёт линейно убывать со скоростью di/dt = 1000 А/с?

IR + L di	Решение
	= U; U = 85 + 5 10−2 103 =135 B;
dt

93. Катушку с активным сопротивлением R = 10 Ом и индуктивностью L = 3 Гн подсоединили к идеальному источнику тока с ЭДС ε = 150 В и пренебрежимо малым сопротивлением. Через какое время сила тока в катушке станет рав-

ным i(t) = 5 А?

Решение

1. Зависимость силы тока от времени при замыкании цепи с индуктивностью:

ε

−

L

t

i(t)R

−

L

t

i(t)R

L

i(t) =

1

− e

R ;

1

−

= e

R

;

ln 1

−

= −

t;

R

ε

ε

R

−

R

−

i(t)R

= t;

t = −

10

5 10

=1,33c;

L

ln 1

ε

3

ln 1−

150

223

12.Энергия электромагнитного поля

94.Определить энергию магнитного поля катушки, если её индуктивность L

=0,2 Гн, а сила тока I = 12 А?

Решение

1.При рассмотрении вопросов, связанных с энергией магнитного поля,уместно провести некоторые аналогии с механикой. Напомним, что в механике наличие сил, как правило, свидетельствует о возможности совершения работы, которая количественно эквивалентна изменению энергетического состояния рассматриваемой системы.

2.При рассмотрении особенностей взаимодействия магнитного поля с проводниками тоже обнаружились силы, способные совершать работу, из чего следует, что магнитное поле обладает энергией. Возвратимся к уравнению закона Ома при наличии в цепи индуктивности. Умножим правую и левую его часть на произведение idt

L di	+ iR = ε εidt = i2Rdt +iLdi .
dt

3.Левая часть уравнения характеризует работу, производимую источником тока за время dt. Первое слагаемое правой части уравнения i2Rdt тоже выражает работу, трансформируемую в нагревание проводника, естественно, что по правилам размерности, второе слагаемое Lidi тоже должно иметь размерность работы или работы, т.е. измеряться в джоулях.

4.Действительно, величина Lidi количественно характеризует работу, производимую источником тока против ЭДС самоиндукции, о чём свидетельствует наличие в этом произведении индуктивности катушки. Очевидно, предположить, что совершаемую против ЭДС самоиндукции работу можно рассматривать как электромагнитную энергию, концентрируемую в катушке.

5.Если ток в цепи возрастает от нуля до некоторого значения I, то полная энергия накапливаемая магнитным полем за время dt определится в виде интеграла

Wm = L∫I idi =	LI2	=	0,2 144	=14,4Дж .
0	2		2

95. Найти магнитную энергию W, запасаемую в соленоиде когда по обмотке течёт ток силой I = 10 А, который обуславливает магнитный поток Ф = 1 Вб.

Решение

1. Энергия, запасаемая магнитным полем определяется уравнением

W = LI22 .

224

2.Выразим далее величину магнитного потока через индуктивность соленоида и силу протекающего по катушке тока

Φ= LI, L = ΦI .

3.Подставим значение магнитного потока в уравнение энергии

W = ΦI2 = ΦI = 5Дж . 2I 2

96. Соленоид содержит N = 103 витков провода, по которому течёт постоянный ток силой I = 1 А. Магнитный поток через поперечное сечение соленоида составляет Ф = 0,1 Вб. Определить энергию магнитного поля W.

Решение

1. Каждый виток катушки соленоида будет вносить свой вклад в энергетику магнитного поля, численно определяемый уравнением

W = ΦI2 = ΦI . 2I 2

2. Энергия, вызванная всеми N витками, запишется следующим очевидным образом

W= N Φ2I =103 0,12 1 = 50 Дж.

97.Индуктивность в виде железного кольца и N = 200 витков, провода, намотанного в один слой. При силе тока I = 2,5 А магнитный поток в железе составляет Ф =0,5 мВб. Определить энергию магнитного поля W.

Решение

1. В соответствие с уравнением энергии магнитного поля:

	W = N	ΦI	=	200 5 104 2,5	= 0,125Дж.
		2		2

98. На цилиндр из немагнитного материала длиной l =1 м и площадью поперечного сечения s = 10 − 3 м2 намотан провод, так что на каждом сантиметре длины уместилось 10 витков в один слой. Определить энергию магнитного поля W, при пропускании по обмотке постоянного тока I = 2 A.

Решение

1. Определим индуктивность катушки

L = μ0n2V ,

где n = 103 м− 1 − приведённое число витков, μ0 = 4π 10 − 7 Ф/м − магнитная постоянная, V = sl − объём соленоида.

2. Запишем уравнение магнитной энергии, запасаемой в соленоиде

225

W =	LI2	=	μ	n2slI2		12,56 10−7 106 10−3 1 22	2,5мВб.
	2		0	2		2

99. Обмотка электромагнита с индуктивностью L = 1 Гн и активным сопротивлением R = 10 Ом подключена к источнику постоянного напряжения. Найти время, в течение которого в обмотке выделится количество тепла, численно равное энергии магнитного поля, сосредоточенного в сердечнике.

Решение

1. Количество тепла, выделяемое при прохождении электрического тока по проводнику, определяется уравнением

Q = I2Rt ,

где t − время, в течение которого выделяется тепло, I − сила тока.

2. Энергия магнитного поля в цепи, содержащей индуктивность, определится уравнением

W = LI22 .

3. Приравняем уравнения, поскольку по условию количество выделившегося тепла численно равно величине энергии поля

LI22 = I2Rt, t = 2LR = 201 = 50мс.

100. Соленоид длиной l = 1 м с площадью поперечного сечения s = 10 − 3 м2 обладает индуктивностью L = 0,1 Гн. Объёмная плотность энергии магнитного поля при этом составляет ϖ = 0,1 Дж/м3. Ток, какой силы протекает по обмотке соленоида?

Решение

1. Объём соленоида V = ls входит в уравнение плотности энергии магнитного поля

ϖ= W = LI2 , ls sl

откуда

	I =	2ϖsl	=	2 0,1 10−3 1	45мА.
		L		0,1

101. Соленоид содержит N = 103 витков провода, по которому течёт постоянный ток силой I = 1 А. Магнитный поток через поперечное сечение соленоида составляет Ф = 0,1 Вб. Определить энергию магнитного поля W.

Решение

1. Каждый виток катушки соленоида будет вносить свой вклад в энергетику магнитного поля, численно определяемый уравнением (3) предыдущей задачи.

226

Энергия, вызванная всеми N витками, запишется следующим очевидным образом

W= N Φ2I =103 0,12 1 = 50 Дж.

102.Индуктивность в виде железного кольца и N = 200 витков, провода, намотанного в один слой. При силе тока I = 2,5 А магнитный поток в железе составляет Ф =0,5 мВб. Определить энергию магнитного поля W.

Решение

1. В соответствие с уравнением энергии поля предыдущего примера

	W = N	ΦI	=	200 5 104 2,5	= 0,125Дж.
		2		2

103. На цилиндр из немагнитного материала длиной l =1 м и площадью поперечного сечения s = 10 − 3 м2 намотан провод, так что на каждом сантиметре длины уместилось 10 витков в один слой. Определить энергию магнитного поля W, при пропускании по обмотке постоянного тока I = 2 A.

Решение

1. Определим индуктивность катушки

L = μ0n2V ,

где n = 103 м− 1 − приведённое число витков, μ0 = 4π 10 − 7 Ф/м − магнитная постоянная, V = sl − объём соленоида.

2. Запишем уравнение магнитной энергии, запасаемой в соленоиде

W =	LI2	=	μ	n2slI2		12,56 10−7 106 10−3 1 22	2,5мВб.
	2		0	2		2

104. Соленоид имеет стальной железный сердечник, по обмотке которого пропускается постоянный ток силой I = 1 А. На каждом сантиметре длины цилиндрической катушки умещается 5 витков провода. Найти объёмную плотность энергии магнитного поля в сердечнике.

Решение

1. Определим напряжённость магнитного поля

H= nI = 500 1 = 5 102 А/ м.

2.По приведенной зависимости B = f(H), найдём величину магнитной индукции

B1,1Тл.

3.Объёмная плотность энергии магнитно-

го поля в железном сердечнике определится уравнением

227

	ϖ =	BH =	500 1,1	220	МДж .
			2 12,56 10−7
		2μ0			м3

105. Известно, что в железном образце при создании поля с магнитной индукцией В = 1,3 Тл объёмная плотность энергии составляет ϖ = 200 Дж/м3. Найти магнитную проницаемость железа.

Решение

1.По графику В = f(H) предыдущей задачи найдём, что напряжённость поля

вобразце составляет Н 1750 А/м.

2.Используя далее уравнение взаимосвязи индукции и напряжённости магнитного поля, определим проницаемость железа

	B = μμ	H, μ =	B	=		1,3	591.
			μ0H		12,56 10−7 1750
	0

106. Индукция магнитного поля в стальном образце равна В = 1 Тл. Определить объёмную плотность энергии магнитного поля в образце.

Решение

1. По приведённому графику зависимости индукции магнитного поля от напряжённости определим величину Н = 850 А/м.

2. Определим объёмную плотность энергии магнитного поля

	ϖ =	BH =	850 1,0	338	МДж .
			2 12,56 10−7
		2μ0			м3

107. Обмотка электромагнита с индуктивностью L = 1 Гн и активным сопротивлением R = 10 Ом подключена к источнику постоянного напряжения. Найти время, в течение которого в обмотке выделится количество тепла, численно равное энергии магнитного поля, сосредоточенного в сердечнике.

Решение

1. Количество тепла, выделяемое при прохождении электрического тока по проводнику, определяется уравнением

Q = I2Rt ,

где t − время, в течение которого выделяется тепло, I − сила тока.

2. Энергия магнитного поля в цепи, содержащей индуктивность, определится уравнением

W = LI22 .

228

3. Приравняем уравнения, поскольку по условию количество выделившегося тепла численно равно величине энергии поля

LI22 = I2Rt, t = 2LR = 201 = 50мс.

108. Соленоид длиной l = 1 м с площадью поперечного сечения s = 10 − 3 м2 обладает индуктивностью L = 0,1 Гн. Объёмная плотность энергии магнитного поля при этом составляет ϖ = 0,1 Дж/м3. Ток, какой силы протекает по обмотке соленоида?

Решение

1. Объём соленоида V = ls входит в уравнение плотности энергии магнитного поля

ϖ= W = LI2 , ls sl

откуда

	I =	2ϖsl	=	2 0,1 10−3 1	45мА.
		L		0,1

109. По катушке тороида с воздушным сердечником течёт ток силой I = 10 А. Объёмная плотность энергии магнитного поля составляет − ϖ 30 Дж/м3. Определить приведённое число витков n, обеспечивающих заданный режим.

Решение

1. Плотность энергии магнитного поля тороида может быть определена уравнением:

ϖ = B2 , 2μ0

где В − индукция магнитного поля, μ0 = 4π 10 − 7 Гн/м − магнитная постоянная. 2. Индукция магнитного поля тороида:

B = μ0 Nl I ,

где N − число витков катушки, l − длина катушки.

3. Подставим значение величины магнитной индукции из уравнения В в уравнение ϖ с учётом того, что (N/l) = n

	ϖ =	μ2I2n2	=	μ	I2n2	, n =	2ϖ	=		2 30	691м−1 .
		0		0
					2		μ0I2		12,56 10−7 100
		2μ0

229