fizika-elektr / 2013-6

k

2

F =

q2

;

ε r2

ε r2

1 1,24 10−2

ε1 r1

F = F ;

1 =

;

ε =

≈

≈ 4,96;

2 2

2 2

k q2

ε1r12

r12

2,5 10−3

F =

;

1 2

1

ε

2

r2

2

16. На двух одинаковых каплях воды находится по одному избыточному электрону. Определить массу капли, если сила Кулона уравновешивается силой их гравитационного взаимодействия.

Решение

G

m2

= k

q2

;

Gm

2

2

; m =

ke2

≈

9 109 (1,6 10−19 )2

≈1,858 10

−9

кг;

r2

r2

= ke

G

6,67 10−11

17. Два одинаковых положительно заряженных шара имеют одинаковые массы m1 = m2 = 0,23 кг и находятся на расстоянии, значительно превосходящем их радиусы. Заряд одного из шаров равен q1 = 4 10 − 11 Кл. Найти заряд другого шара q2, если сила Кулона скомпенсирована силой гравитационного взаимодействия.

Решение

m2

q q

Gm2

6,67 10−11 5,29 10−2

−

G

= k

1 2

;

q

2

=

≈

≈ 9,8 10 12 Кл;

r2

kq

9 109 4 10−11

r2

1

18. Два положительных заряда q и 2q находятся на расстоянии r = 10 − 2 м и взаимодействуют с силой FK = 7,2 10 − 4 Н. Каково значение каждого заряда?

				Решение
F = k	q 2q	;	q =	Fr2	≈	7,2 10−4 10−4	≈ 2 10	−9	Кл;
	r2			2k		2 9 109

q1= 2 нКл; q2 = 2q1 = 4 нКл;

19. Три точечных заряда, расположенных на расстояниях r12, r13 и r23 взаимодействуют в вакууме с силами F12, F13 и F23 соответственно. Найти через заданные величины выражение для третьего заряда q3.

Решение

1. Уравнение сил взаимодействия:

(1) F

= k q1q2

;

(2)

F

= k q1q3

; (3)

F

= k q2q3

;

12

r2

13

r

2

23

r2

12

13

23

2. Поделим первое уравнение на второе:

F

q q r2

F q r

2

12

=

1 2 13 ; F q r2

= F q r2

; q

2

=

12 3 12 ;

F

q q r2

12 3 12

13 2 13

F r2

13

1

3 12

13 13

71

3. Подставим значение q2 в третье уравнение:
	kq			F q r	2
		3		12 3 12					kq2F r2
				F r2									2		2	2		2
F =				13 13			; F =		3 12 12			; F F r		r		= kq	F r		;
				r2
23					23				r2 r2 F			23 13 13 23				3	12 12
				23					23 13		13
							q3 =	r13r23			F23F13 ;
									r12		kF12

20. Определить модуль и направление силы, действующей на заряд q1 = 4 нКл, помещённый посередине между двумя точеными зарядами q2 = 30 нКл и q3 = − 50 нКл, если они находятся в вакууме на расстоянии r23 = 0,6 м.

Решение

1. Силы, действующие со стороны зарядов q2 и q3 на зазяд q1:

F = k	q q				≈	9 109 4 10−9 10	−8			−5	H;
		1 2				0,09	≈ 2 10
12		r2
		12
F = k		q q		3	≈	9 109 4 10−9 3 10−8	≈1,2 10	−	5 H;
		1				0,09
13		r	2
		13

2. Модуль результирующей силы: r

| FΣ |= F12 + F13 = 3,2 10−5 H.

3.Вектор результирующей силы направлен в сторону заряда q2.

21.В точках А и В, расстояние между которыми r = 0,2 м помещены электрические заряды q1 = 100 нКл и q2 = 200 нКл. Определить модуль и направле-

ние силы, действующей со стороны этих зарядов на заряд q3 = − 1 мкКл, помещённый в воздушной среде в середине отрезка АВ.

Решение

1. Модуль силы, действующей на третий заряд, в виду его знака определится в виде разности:

F = F12 + F13; F = F13 − F12;

r

4q2q3

4q1q3

4kq3

(q

)≈

4 9 10

9

1

10

−6

F

= k

− k

=

2

−q

10−7 ≈ 0,09 H;

r2

r2

r2

1

0,04

2.Вектор результирующей силы будет направлен в сторону заряда q2.

22.Два точечных электрических заряда q1 =60 нКл и q2 = 0,24 мкКл находятся в трансформаторном масле (ε ≈ 2,1) на расстоянии r = 16 см друг от друга. Где между ними следует поместить третий заряд, чтобы под действием электрических сил он находился в состоянии равновесия? Как зависит состояние равновесия третьего заряда от его знака?

72

Решение

1. Уравнения действующих на заряд

q3 сил:

F = k q1q3

; F

= k

q2q3

;

(r − rx )2

13

rx2

23

F13 = F23;

k

q q

= k

q q

)

;

r

(r −r

1

2

3

2

3

Рис. 22. Равновесие заряда q3

2

x

x

r

0,16

q1

=

q2

;

(r − r

)2 = q2 r2

;

r

=

≈

≈ 0,053м;

(r − rx )2

rx2

x

q1

x

x

q2

24 10−8

1+

1+

q1

6 10−8

2. Равновесие будет устойчивым при наличии посередине положительного заряда, т.к. смещение q3 приводит к возникновению возвращающей силы.

23.Маленький шарик массой m = 0,3 г подвешен на тонкой шёлковой нити

иимеет заряд q1 = 3 10 − 7 Кл. Каким станет натяжение нити, если снизу к заряду q1 поднести на расстояние r = 0,3 м другой шарик с одноимённым электрическим зарядом q2 = 50 нКл?

Решение

1. В отсутствии второго заряженного тела натяжение нити по модулю равно веру шарика:

T1 = mg;

2. Наличие второго, одноимённо заряженного шарика, приведёт к уменьшению натяжения нити на величину силы Кулона:

T

= T

− F

= mg − k

q q

= 3 10

−

4

9,8 −9 109

3 10−7 5 10−8

≈1,44 10

−

3 H;

1 2

0,09

2

1

K

r2

24. На изолирующей нити в воздухе висит шарик массой m = 9 10 − 4 кг, заряд которого q = 49 нКл. Снизу к нему поднесли другой заряженный шарик на расстоянии r = 0,1 м. Какой величины и знака должен быть поднесённый заряд, чтобы нить не испытывала натяжения?

Решение

1. Натяжение нити будет равным нулю в случае равенства модулей сил тяжести и Кулона:

mg = k	qq	x ; q	x	=	mgr2	≈	9 10−4 9,8 0,01	≈ 2	10	−	7 Кл;
	r2				kq		9 109 49 10−9

2. Заряд qx должен быть положительным, чтобы вызывать силу отталкивания.

73

25. Маленький шарик массой m = 3 10 − 4 кг подвешен на тонкой шёлковой нити и имеет заряд q1 = 3 10 − 7 Кл. На какое расстояние rx следует поднести шарик с зарядом q2 = 50 нКл, чтобы натяжение нити стало: а) вдвое меньше; б) вдвое больше?

Решение

1. Чтобы натяжение уменьшить вдвое подносимый заряд должен быть положительным:

	1	mg = k	q q	;		r =	2kq q	≈	2 9 109 3 10−7 5 10−8		≈ 3 см;
			1 2				1 2
	2		r2				mg		3 10−4	9,8
						x
			x

2. Натяжение нити увеличится вдвое, если поднести отрицательно заряженный шарик:

	mg = k	q q	;		r =	kq q	≈	9 109 3 10−7 5 10−8	≈ 2,1 см;
		1 2				1 2
		r2				mg		3 10−4 9,8
					x
		x

26. В точках А и В, отстоящих друг от друга на расстоянии L = 2 м, в вакууме находятся одноимённые заряды q1 =q2 = 10 нКл каждый. Какая сила действует на заряд q3 = − 1 нКл, помещённый в точку С, лежащую на расстоянии х = 1 м от основания перпендикуляра, восстановленного из середины отрезка АВ?

Решение

1. Треугольники			ACD и CDB равно-
бедренные и прямоугольные, поэтому:
	F13		=		23	;
				F

r

= k

q1q3

= k

q1q3

;

F

13

(r

2)2

2r2

r

Рис. 26. Результирующая сила

1 10

−8

1 10

−9

F13

≈ 9 109

≈ 4,5 10−8 H;

2

2. Результирующая сила, действующая на заряд q3:

F= (F13 )2 + (F23 )2 = F13 2 ≈ 6,37 H;

27.Электрическое поле образовано

двумя зарядами q1 = 5 10 − 5 Кл и q2 = − 5 10 −5 Кл, расположенными на расстоянии L = 0,1 м друг от друга в точках А и В. Какая сила будет действовать на капельку, находящуюся на расстоянии r = 5 см от основания перпендикуляра, восставленного из середины отрезка АВ? Заряд капельки равен заряду 10 электронов. Какое первоначальное ускорение получит капелька при массе m

=4 10 − 8 кг?

Рис. 27. Ускорение капельки

74

Решение

1. Треугольники

ACD и CDB равнобедренные и прямоугольные, поэто-

му:

F

=

; r = 0,05 м; q3 ≈ 10e ≈ 1,6 10 − 18 Кл;

F

13

23

r

= k

q1q3

= k

q1q3

;

F

(r 2)2

13

2r2

r

≈ 9 109 5 10

−4

1,6

10

−18

≈1,44 10−9 H;

F

13

2 2,5 10−3

2. Результирующая сила, действующая на заряд q3:

F= (F13 )2 + (F23 )2 = F13 2 ≈ 2 10−9 H;

3.Начальное ускорение капельки:

	ar		=		F	≈	2	10−9	≈ 5,2 10−2	м	;
				m			4	10−8		с2

28. Заряды +q, −q и q0 расположены в вершинах равностороннего треугольника со стороной а. Какова величина силы действующей на заряд q0?

Решение

1. Так как |+q| = |−q| и заряды располо-

жены на одинаковом расстоянии а от заряда

q0, то:

F1

=

F2

;

r

= k

qq0

;

r

= k

qq0

;

F

F

1

a2

2

a2

2. Модуль силы,

действующей на заряд Рис. 28. Равносторонний треугольник

q0 с учётом того, что (F ;F ) =1200

:

1

2

r

=

F2

+ F2

+ 2FF cos1200 ;

F

1

2

1

2

r

=

2

−F

2

= F =

1

q

q0

F

2F

;

1

1

1

4πε0

a2

29. Три одинаковых одноимённых заряда величиной +q расположены в вершинах равностороннего треугольника. Какой заряд надо поместить в центре треугольника, чтобы результирующая сила, действующая на каждый заряд, была равна нулю?

Решение

1. Определим условия, при котором на отрицательный заряд − qx, помещён-

75

Рис. 29. Центральный заряд

расположенный в тоске С:

r

f0 = f12 + f22 + 2f1f2 cos600 ;

ный в центре равностороннего треугольника на пересечении высот (медиан, биссектрис) сумма сил Кулона со стороны остальных трёх зарядов будет равна нулю: в этом случае векторы действующих на центральный заряд будут составлять угол 1200, т.е. сумма векторов любого модуля будет равна нулю

F1 + F2 + F3 = 0;

2. Величину отрицательного заряда qx определим из условия равенства нулю суммы сил кулона, действующих на заряды, расположенные в вершинах правильного треугольника. Например, на заряд

fr

=

fr

=

f

;

fr

= f 3 = k q2

3;

1

2

0

a2

fr

=

f

;

3k q2

= k

qqx

= k

qqx

= k

3qqx

;

− q

= q 3

;

0

x

a2

r2

3

2

a2

x

3

a

3

30. В центре квадрата, в вершинах которого находятся заряды +q, помещён отрицательный заряд. Какой должна быть величина этого заряда, чтобы система находилась в равновесии?

Решение

1.

Условие равновесия

заданной

системы

электрических

зарядов на

примере заряда q3, на который дейст-

вуют четыре силы Кулона, при этом:

s

=

r

; 2r = a 2; r =

a 2

F

F

;

14

23

2

r

2

= F2 + F2 = F 2 = 2k q

;

F

0

14

23

a2

r

q2

q2

q2

F13

= k

= k

= k

;

(2r)2

(a 2)2

2a2

r

r

r

Рис. 30. Заряд в центре квадрата

F0

+ F13

=

Fx

;

q2

q2

qq

x

2qq

x

k

2

+ k

= k

= k

;

a2

2a2

r2

a2

2q + q

= 2qx ;

−qx =

1 q(

2 + 0,5)≈ 0,955q;

2

2

76

31. Четыре равных по величине заряда находятся в вершинах квадрата. Как будут вести себя заряды, будучи предоставленными, самим себе: сближаться, отдаляться или находится в равновесии?

Решение

1. Выделим один из зарядов, например,

q3 и рассмотрим действующую

на него

r

r

r

систему сил Кулона {F23;F34 ;F13}:

r

r

r

F23

=

F34

=

F0

= F23

+ F34 ;

F

;

r

= F2 + F2 = F 2 = k 2 q

2

;

F

0

a2

r

= k

q2

= k

q2

F13

;

(a 2)2

2a2

Рис. 31. Поведение зарядов

F0

>

F13

зарядысближаются;

32. К шёлковым нитям длиной l = 0,2 м, точки подвеса которых находятся на одном уровне на расстоянии х = 0,1 м друг от друга, подвешены два маленьких шарика массой m = 50 мг каждый. При сообщении шарикам равных по модулю и противоположных по знаку зарядов, шарики сблизились на расстояние r = 2 см. Определить заряды, сообщённые шарикам.

Решение

1. Притяжение шариков будет происходить под действием силы Кулона, причём условие равновесия заряженных шариков будет иметь место при условии:

F0 = FK ,

где F0 − равнодействующая силы тяжести mg и натяжения нити подвеса T .

2.

Угол отклонения нити от равновесно-

го положения ϕ определим из прямоуголь-

ного треугольника

OAB:

ϕ = arcsin x

≈ arcsin

0,04

≈11,50

;

l

0,2

Рис. 32. Шарики на нитях

3.

Натяжение нити:

mg

T cosϕ = mg;

T =

.

cosϕ

4.

Модуль результирующей силы F0:

Tsin ϕ = F ;

F = mgtgϕ = k

q2

; q

=

mgtgϕr2

;

x

k

0

0

r2

x

77

q	x	=	5 10−5	9,8 0,2 4 10−4	≈ 2,1нКл;
				9 109

33. Два шарика массой по m = 2,5 10 − 4 кг подвешены в одной точке на диэлектрических нитях длиной l = 1 м. После того, как шарикам сообщили одинаковые по модулю и знаку заряды они разошлись на r = 0,06 м. Определить модуль зарядов шариков.

Решение

1. Отталкивание шариков будет происходить под действием силы Кулона, причём условие равновесия заряженных шариков будет иметь место при условии:

F0 = FK ,

где F0 − равнодействующая силы тяжести mg

инатяжения нити подвеса T .

2.Угол отклонения нити от равновесного

положения ϕ определим из прямоугольного треугольника:

ϕ = arcsin

≈ arcsin

0,04

≈11,50

;

l

0,2

3. Натяжение нити:

mg

Рис. 33. Расхождение шариков

T cosϕ = mg;

T =

.

cosϕ

4. Модуль результирующей силы F0:

Tsin ϕ = F ;

F

= mgtgϕ = k

q2

;

q

=

mgtgϕr2

;

x

k

0

0

r2

x

q

x

=

2,5 104 9,8 0,015 3,6 10−3

≈ 3,8нКл; ;

9 109

34. Два маленьких шарика одинакового радиуса и массы подвешены в одной точке на диэлектрических нитях равной длины l. Когда шарикам сообщи-

ли одинаковые одноимённые заряды q, нити разошлись, образовав угол ϕ = 600. Найти массу шарика.

Решение

1.Так как угол расхождения нитей равен ϕ = 600, то расстояние между центрами шариков будет равно длине подвеса: r = l.

2.Условие равновесия шарика:

Tsin

ϕ

= F ;

F = mgtg

ϕ

= k

q2

;

m =

kq2

;

2

2

r2

ϕ

0

0

2

gtg

r

2

78

35. Два шарика массой по m = 1,5 10 − 3 кг каждый, подвешенные в одной точке на шёлковых нитях, после получения одинаковых по величине отрицательных зарядов разошлись на r = 0,1 м, так что нити образовали угол α = 360. Определить количество электронов, полученных каждым шариком.

Решение

1. Условие равновесия шарика после получения заряда:

Tsin

α

= F ;

F

= mgtg

α

= k

q2

;

q =

1

mgtg16

0

r

2

;

2

2

r2

k

0

0

− q =

1,5 10−3 9,8 0,325 0,01

≈ −7,2 10

−8

Кл.

9 109

2. Количество электронов, соответствующее полученному значению отрицательного заряда:

q		7,2 10−8	11
Ne ≈ e	≈		≈ 4,55 10 ;
		1,6 10−19

36. Два одинаковых шарика массой m = 2 10 − 5 кг каждый подвешены в воздухе на невесомых нерастяжимых нитях длиной l = 0,2 м, закреплённых сверху в одной точке. Один из шариков отводится в сторону и ему сообщается некоторый заряд и шарик отпускается. После соприкосновения с другим шариком нити разошлись, образовав угол α = 600. Определить заряд сообщённый первому шарику.

Решение

1. Так-так угол расхождения нитей равен 600, то:

r = l; ϕ = α2 = 300 ;

2. При соприкосновении шариков заряд поровну распределяется между ними, поэтому условие равновесия разошедшихся шариков будет иметь вид:

mgtgϕ = k	q2		; q =	mgtgϕ4r2	≈	2 105 9,8 0,577 4 0,04	≈ 4,47	10	−8	Кл.
	4r	2		k		9 109

37. Два шарика одинаковой массы и радиуса с одинаковыми зарядами, подвешенные в одной точке на нитях равной длины, опускают в жидкий диэлектрик с диэлектрической проницаемостью ε и плотностью ρ2. Какова должна быть плотность материала шариков ρ1, чтобы угол расхождения нитей не изменился при перемещении системы зарядов из воздуха в диэлектрик?

Решение

1. Силы Кулона, действующие в воздухе и диэлектрике:

FK1	2
	= k q2 ;				FК1
	r					= ε;
	= k q2				FК2
F			;
K 2	ε r	2

79

2. В жидком диэлектрике помимо силы тяжести и натяжения нити к шарикам будет приложена сила Архимеда, которая в воздухе много меньше силы тяжести. Условия механического равновесия шарика в этом случае представятся следующим образом:

F01	= ρ1gVtgϕ;				F	=	ρ	;
F = (ρ gV −ρ gV)tgϕ;					F		ρ −ρ
					01		1
02	1	2			02		1	2

3. Поскольку равновесие шариков характеризуется равенством модулей равнодействующей механических сил и силы Кулона, то:

F01	= FK1;		ρ	= ε; ρ1 =	ρ	ε	;
			1		2
			ρ1 −ρ2		ε +1
F02 = FK 2 ;

38. Два шарика из одного материала одинаковых радиусов подвешены в одной точке на нитях одинаковой длины. Когда шарики заряжают одноимёнными зарядами, нити расходятся на некоторый угол. Какой должна быть диэлектрическая проницаемость диэлектрика, чтобы при погружении в него системы электрических зарядов угол расхождения нитей не изменился? Плотность материала шариков в три раза больше, чем плотность жидкого диэлек-

трика ρ1 = 3ρ2.

Решение

1. Силы Кулона, действующие в воздухе и диэлектрике:

FK1	2
	= k q2 ;				FК1
	r					= ε;
	= k q2				FК2
F			;
K 2	ε r	2

2. В жидком диэлектрике помимо силы тяжести и натяжения нити к шарикам будет приложена сила Архимеда, которая в воздухе много меньше силы тяжести. Условия механического равновесия шарика в этом случае представят-

ся следующим образом:
F01	= ρ1gVtgϕ;					F			1			3
							=				=		;
		ρ				01
										1
F02	= ρ1gV −	1	gV tgϕ;			F02	1		−			2
		3								3

3. Поскольку равновесие шариков характеризуется равенством модулей равнодействующей механических сил и силы Кулона, то:

F01	= FK1;		3	= ε;	ε =1,5;
F02			2
	= FK 2 ;

39. Две маленькие бусинки массами m1 и m2 подвешены на невесомой нити на расстоянии r друг от друга. Каждой бусинке сообщены одинаковые по модулю, но разные по знаку заряды +q и −q. Определить натяжение нити в точке подвеса.

Решение

1. Силы Кулона, приложенные к шарикам, в данном случае будут совпадать по направлению с векторами соответствующих сил тяжести, поэтому модуль

80