fizika-elektr / 2013-6

2.7. Закон Джоуля − Ленца

Если на концах неподвижного проводника имеется разность потенциалов U = (ϕ2 − ϕ1 ), то электрический заряд q , перемещаясь из точки 2 с большим

потенциалом, в точку 1, с меньшим потенциалом теряет часть своей энергии на преодоление сопротивления

dW = dq (ϕ2 −ϕ1 )= dq U .

Заряд можно выразить через силу тока и время

I = dqdt , dq = Idt ,

потери энергии с учётом этого запишется так dW = IUdt .

Вполне резонен вопрос: «Куда девается эта энергия?». В кинетическую энергию она явно не переходит, т.к. никаких движений в макроскопическом варианте не возникает. В неподвижном проводнике движущиеся носители заряда, в соответствие с классической теорией электропроводности, сталкиваются с ионами металла и, отдавая им энергию, повышают тем самым температуру проводника. Это было замечено и экспериментально, что всякий проводник, по которому течёт ток, имеет температуру выше окружающей среды.

Другими словами, носители заряда, получая энергию от электрического поля, часть её расходуют на нагревание проводника, таким образом, работа, производимая при перемещении заряда, имеет вполне определённый тепловой эквивалент

t 2

Q = ∫IUdt .

t1

Если сила тока и разность потенциалом во времени не меняются, то уравнение количества тепла упрощается

	Q = IU t = I2R t =	U2	t .	(2.12)
		R

Уравнение (2.12) выражает собой закон Джоуля – Ленца. Этот закон установлен был в 1841г. Дж. Джоулем и в 1842 г. независимо, Эмилем Христофоровичем Ленцем, профессором Петербургского университета.

Закону можно придать иное математическое выражение, если ввести в рассмотрение параметры сопротивления и плотность тока для проводника конеч-

ной длинны
δQ = I2ρR	dl	dt = ρR j2sdldt ,
	s
Q = ρR j2Vdt ,			(2.13)
где V – объём проводника, ρR – удельное сопротивление.

31

Рассмотрим пример применения закона Джоуля − Ленца при замыкании обкладок конденсатора ёмкостью С, заряженного до разности потенциалов U на сопротивление R. Определим количество выделившегося при этом тепла.

Запишем формулу количества тепла, выделяющееся в проводнике, в следующем виде

Q = t∫∞IUdt = ∞∫i2 (t)Rdt .

	0			0
Подставим зависимость силы тока от времени
	i(t) = ime				−		2t
						RC ,
Q =	U2 ∞∫e−	2t	dt =	U2 RC					=	CU2 .
		RC
	R 0			R			2			2

Можно видеть, что вся электрическая энергия, запасённая в конденсаторе, переходит в тепло. Тепловая мощность (энергия, выделяемая в единицу времени) при этом определится как

N =	Q	= IU = I2R =	U2	.	(2.14)
	t
			R

Определим далее мощность, выделяемую в единице объёма проводника, т.е. плотность теплового потока в проводнике длиной l и площадью поперечного сечения S. Разность потенциалов на концах проводника в уравнении можно выразить через напряжённость поля U = El, а его сопротивление − через удельное сопротивление

R =

ρl

=

l

,

откуда следует, что

S

λS

U2

2

2 λS

2

N =

= E

l

= VλE

.

R

l

Плотность тепловой мощности из уравнения N запишется следующим об-

разом

N

r

r

2

ϖ =

= λE

= j

E .

(2.15)

V

32

Рис. 3.1. Рамка с током в магнитном поле

3. Магнитное поле

3.1. Магнитное поле постоянных токов

Магнитные поля обладают рядом свойств, подтвержденных многочисленными экспериментами:

•Движущиеся ускоренно электрические заряды создают в окружающем пространстве магнитное поле;

•На движущиеся заряды со стороны магнитного поля действует сила, перпендикулярная направлению движения;

•Силовые линии магнитного поля непрерывны и имеют вихревой характер, не имеют, в отличие от силовых линий электрического поля, начала и конца;

•До настоящего времени в природе не обнаружены изолированные магнитные заряды.

Силовую характеристику магнитного поля в силу исторически сложившейся традиции именуют индукцией магнитного поля.

Индукция магнитного поля векторная величина В, значение которой устанавливается, как правило, по поведению магнитной стрелки или миниатюрной пробной катушки с током (рис. 3.1).

Рамка должна быть как можно меньшего размера, чтобы реагировать на магнитное поле в малом объёме. Ток, пропускаемый по измерительному устройству должен создавать собственное магнитное поле не искажающее измеряемое.

Направление вектора магнитной

индукции Вr совпадает с направлением нормали n к плоскости рамки. Направление нормали выбирается по правилу правого винта. Если винт

вращать в направлении тока, то поступательное перемещение винта укажет направление нормали и вектора магнитной индукции.

При отклонении положения рамки на угол α от установившегося положения на её вертикальные стороны будет действовать пара сил, которые обеспечивают возникновение механического момента относительно оси вращения рамки Z

MZ (F1 , F2 )≈ ISsin α ;

Момент будет иметь максимальное значение при sinα = 1, т.е. при α = 90о, т.е. когда плоскость рамки расположена перпендикулярно направлению вектора магнитной индукции.

33

Магнитное поле характеризуют отношением максимального значения момента к произведению силы тока в рамке и её площади

B =	Mmax	;	(3.1)
	IS

Уравнение (3.1) позволяет установить размерность магнитной индукции. За единицу магнитной индукции принята индукция магнитного поля, в котором на контур с силой тока в 1 А действует максимальный вращающий момент 1 Н м, такая единица называется Тесла (Тл)

1Тл = 11АН1мм2 =1 АНм =1 Акгс2 ; Направление магнитных силовых линий в каждой точке пространства, за-

нятого магнитным полем, совпадает с направление вектора магнитной индукции. Силовые линии магнитного поля визуализируют мелкими железными опилками, которые намагничиваясь, начинают ориентироваться вдоль силовых линий (рис. 3.2 − 3.5)

	Рис. 3.3. Круговой виток проводника с
Рис. 3.2. Прямолинейный проводник с током	током

Рис. 3.4. Три витка с током

Рис. 3.5. Катушка с током

34

3.2. Движение электрона в магнитном поле

На основании обобщения многочисленных экспериментальных фактов был получен закон, определяющий количественно величину силы (силы Лоренца),

действующей на заряд, движущийся в магнитном поле
FL = q(vr×B),	(3.2)
где q − электрический заряд, v − вектор скорости заряда,	B − вектор магнит-

ной индукции. Уравнение силы Лоренца можно записать в скалярной форме

r	(3.3)
FL = qvBsin(v;B).

Уравнение (3.2) тоже позволяет определить размерность магнитной индукции, разрешив уравнение относительно В

B = qvFL , [B]= 11КлН 11см = АНс = Тл.

Единица индукции магнитного поля Тесла достаточно большая величина, в лабораторных условиях путём специальных усилий удаётся получить поле с В

8 − 10 Тл.

Из уравнения (3.2) можно видеть, что сила Лоренца всегда направлена перпендикулярно скорости движения частицы, то она не совершает работы, это говорит о неизменности кинетической энергии частицы при её движении в магнитном поле. Сила Лоренца меняет лишь направление вектора скорости, сообщая частице нормальное ускорение. При движении частицы в комбинации электрического и магнитного полей, с их стороны будет проявляться суммарная сила

	r	r	×B)].	(3.4)
	F = qE + q(v ×B)= q[E +	(v
Рассмотри более подробно некоторые меха-
нические аспекты движения заряженной частицы
в магнитном поле. Пусть электрон с зарядом е
влетает в магнитное поле (рис. 3.6) перпендику-
лярно вектору индукции, т.е. vr B , что приве-
дет, в конечном счете, к движению по окружно-
сти фиксированного радиуса R. В этом случае
FL = evB,	r
	sin(v; B)=1 .
Для случая такого движения электрона, како-
вой станет находиться на стационарной круговой
орбите, можно записать второй закон Ньютона
исходя из равенства модулей силы Лоренца и си-
лы, вызванной нормальным ускорением частицы			Рис. 3.6. Движение электрона
me v	2		в однородном магнитном поле
	= evB .
R

Угловая скорость и период обращения электрона, при этом, определятся

как

ω =	v	= eB .	T =	2π	=	2πme	.
	R			ω
		me				eB

35

3.3. Закон Био − Савара − Лапласа

На практике невозможно выделить отдельный участок тока и непосредственно измерить созданное им магнитное поле. Измеряется магнитная индукция, созданная одновременно всеми элементами тока. Закон Био − Савара − Лапласа позволяет, вычислив магнитное поле элементарного тока, получить расчетным путём магнитную индукцию проводника произвольной формы.

Закон формулируется так:

Элемент проводника l, по которому протекает ток силой I, создаёт в вакууме магнитное поле, индукция В которого в некоторой точке обратно пропорциональна квадрату расстояния r от элемента тока то точки на-

блюдения.	В системе СИ закон записывается уравнением
	B =	μ0		I lsin( l; rr )					,	(3.5)
		4π				r2
	где μ0 − магнитная постоянная. Вектор									В пер-
	пендикулярен плоскости, в которой располагают-
	ся элемент тока	l и радиус-вектор r .
	Направление вектора					B определяется прави-
	лом правого винта, оно совпадает с направлением
	вращения головки при его поступательном дви-
	жении по направлению тока в проводнике.
	Применяя правило векторного умножения за-
	кон Био − Савара − Лапласа можно переписать в
Рис. 3.7. Определение B	виде:		μ0I (			l×rr )
	r	=
	B							;		(3.6)
			4π			r3

Поле кругового тока

Вычислим, используя закон Био − Савара − Лапласа поле кругового витка радиусом R с током I. Векторы B всех элементарных токов l направлены перпендикулярно плоскости рисунка (рис. 3.8) от наблюдателя.

Суммарный вектор индукции кругового тока будет совпадать с осью симметрии витка, и направлен тоже за плоскость рисунка, модуль век-

тора индукции Вравен сумме всех В.

Любой элемент тока расположен от центра на одинаковом расстоянии R = r, а их направления с Рис. 3.8. Поле кругового тока направлениями в точку наблюдения составляют

угол α = 90о, sinα = 1.

36

Рис. 3.9. Прямолинейный проводник с током

Используя уравнение закона, получим:				B = μ0I;
B = ∑ Bi =	μ0I2 ∑ li ;		∑ li = 2πR;
i=n		i=n	i=n
i=1	4πR i=1		i=1	2R

Поле прямолинейного проводника с током

Качественная картина магнитного поля в окрестностях прямолинейного проводника приведена на рис. 3.2, сделаем количественные оценки магнитного поля. Выберем в окрестностях проводника (рис. 3.9) произвольную точку А в которой будем определять посредствам закона Био − Савара − Лапласа напряжённость dB от элемента dl

dB = μ0 Isin αdl . 4π r2

Если всю длину проводника разбить на бесконечное множество элементарных участков, то обнаружится, что направление векторов элементарных индукций будет совпадать с направлением касатель-

ных к окружностям, проведенным в соответствующих точках пространства, в плоскостях, ортогональных проводнику. Это даёт основание для получения суммарного значения индукции проинтегрировать уравнение dB

B = μ0I ∞∫sin αdl . 4π −∞ r2

Выразим значение r и sinα через переменную величину l

r =	R2 + l2 ,
	R
sin α =		.
	R2 + l2

Подставим полученные значения r и sinα в подынтегральное выражение уравнения

		μ IR ∞		dl
	B =		40 π −∞∫				,
				(R2 + l2 )3
	μ0IR		l			l=∞		μ0I	.
B =						=
	4π		R2 R2 + l2			l=−∞		2πR

Существенно отметить, что полученное уравнение сходно с уравнением напряжённости электрического поля заряженного проводника

E = 2πετ0R .

Однако, вектор напряжённости электрического Еполя направлен радиально, т.е он перпендикулярен вектору индукции Вв одноимённой точке.

37

Поле проводника произвольной формы

Рассмотрим проводник произвольной формы по которому течёт постоян-

ный ток величиной I (рис.3.10). Выделим прямолинейный участок проводника r

элементарной длиной dl. За время dt через этот участок протекает электрический заряд величиной

q = e ne s dl ,

где nе − концентрация электронов, s − по-

перечное сечение проводника, е − заряд

электрона.

Подставим уравнение заряда в урав-

нение:

r

μ

q(v × r )

;

B =

0

4πr3

× r )

r

μ

en

sdl(v

.

dB =

0

e

r3

Рис. 3.10. Магнитное поле элемента тока

4π

Величину тока в проводнике можно

представить следующим образом

I = enesv ,

что даёт основания записать уравнение dB в виде

r

=

μ0

Idl(dl×rr )

,

dB

4π

r3

Модуль элементарного вектора индукции определится, при этом, как

dB =

μ0 Idlsin(dl×rr ).

4π

r2

Уравнение совпало с экспериментами Био и Савара, которое было сформулировано в виде закона Лапласом. Этот закон, закон Био − Савара − Лапласа определяет величину магнитной индукции в любой точке поля, создаваемого током постоянной величины, протекающим через проводник произвольной формы. Применительно к вектору магнитной индукции справедлив принцип суперпозиции, т.е. сложения элементарных индукций от различных участков проводника заданной длины. Покажем применение закона на проводниках различной формы.

38

3.4. Магнитный поток

Представим себе плоскую площадку площадью S (рис. 3.11), расположенную в однородном магнитном поле с индукцией

B произвольным образом.

Магнитным потоком или потоком век-
тора магнитной индукции через площадку
S называется величина
ΦВ = BScosα = BnS,	(3.6)
где α − угол между вектором индукции и		Рис. 3.11. Магнитный поток
внешней нормалью к рассматриваемой
площадке, Вn − проекция вектора индукции
на направление нормали.

Магнитный поток является скалярной величиной, численно равный полному количеству линий магнитной индукции, пронизывающих данную поверхность.

Так как в уравнение магнитного потока входит cosα, то поток может быть положительным, отрицательным или нулевым, в зависимости от величины угла между вектором индукции и внешней нормалью.

Чаще всего понятие магнитного потока используется при рассмотрении замкнутых проводящих контуров с электрическим током, которые ограничивают рассматриваемые поверхности. Положительное направление нормали n связывают с направлением токов, применяя правило правостороннего буравчика. Если вращать буравчик, штопор, винт (как больше нравится) в направлении течения тока, то поступательное движение образующей укажет направление нормали. Из этого обстоятельства, в частности, следует, что если магнитное поле создаётся током замкнутого контура, то поток собственного магнитного поля через ограничивающую контуром поверхность всегда положителен

В случае неоднородного поля или не плоской поверхности (рис. 3.12) её разбивают на множество элементарных площадок dS так, чтобы в их пределах поверхности можно было считать плоскими, а поле однородным. Поток через элементарную площадку определится как

dΦВ = BndS ,

	а суммарный магнитный поток запишется
	в виде интеграла	Рис. 3.12. Магнитный поток через
	ΦВ = ∫BndS .
		выпуклую поверхность
	S

Если магнитную индукцию выражать в теслах, а площадь в квадратных метрах, то получится единица потока

[Φm ]= Тл м2 = Вб (вебер).

39

3.5. Закон Ампера

Ампер и его многочисленные последователи опытным путём установили, что на проводники с током действуют механические силы, вызванные наличием магнитного поля. Это действие можно описать количественно. Если поперечное сечение проводника S, а его длина в направлении тока l, то электрический заряд, сосредоточенный в элементарном объёме dV = Sdl, будет определяться количеством сосредоточенных в нём носителей заряда, в частности − электронов

dN = ndV = nSdl ,

суммарный электрический заряд которых определится как dQ = qdN = qnSdl,

где q − заряд носителя, n − концентрация носителей. Силу, действующую остов кристаллической решётки в рассматриваемом элементе проводника, можно определить из условий равновесия электрических и магнитных сил

quB = qE, E = Bu ,

где u − скорость движения зарядов в проводнике.

Выразим дрейфовую скорость носителей заряда через плотность тока, текущего по проводнику

u = qnj , E = qnBj .

Искомую элементарную силу, таким образом можно представить следующим образом

dFA = EdQ = qnB j qnSdl = IBdl .

В векторной форме сила, действующая на элементарную длину проводника dl, по которому течёт ток величиной I, определится векторным соотношением

dFA = I(dl×B).

В случае прямолинейного проводника магнитная индукция во всех точках пространства вдоль всей его длины l магнитная индукция будет постоянной

Рис. 3.13. Действие магнитного поля на проводник с током

FA = I(l×B),

или, в соответствие с определением векторного произведения

FA = IlBsin(l;B).

(3.7)

Вектор действующей силы будет перпендикулярен плоскости, в которой располагают-

ся векторы l и B (рис. 3.13). Уравнение (3.7) является математическим выражением закона Ампера.

Закон Ампера применим для вычисления

40