fizika-elektr / 2013-6

Рис. 194. Батарея конденсаторов

193. Определить суммарную ёмкость батареи конденсаторов.

Решение

1.Ввиду симметрии схемы потенциалы точек

Аи В будут одинаковыми ϕА = ϕВ, т.е. UAB = 0, при включении батареи конденсаторов к цепь

конденсатор С2 заряжаться не будет, поэтому его на полном основании можно их схемы исключить.

2. Батарея, таким образом, представляет собой две параллельные цепи, каждая из которых содержит две одинаковые последовательные ёмкости

СΣ = С21 + С21 = С1 ;

194. Определить ёмкость конденсаторной схемы, составленной из одинаковых по ёмкости элементов.

	Решение
1.	В заданной схеме имеются
точки с одинаковыми потенциа-
лами:	ϕA = ϕB ; ϕD = ϕF ;
2.	Если точки равных потен-
циалов соединить, не допуская		Рис. 194. Соединение одинаковых конденсаторов
разрывов и новых узлов, то полу-

чится схема, изображенная в правой части рис. 194.

3.Схема, обведенная пунктиром, рассмотрена в предыдущей задаче, её суммарная емкость равна С.

4.Электрическая ёмкость всей батареи одинаковых конденсаторов определится как:

СΣ = С+ С = 2С;

195. Определить заряд каждого конденсатора и разность потенциалов между точками D и E, если С1 = С2 = С3 = С, а С4 = 4С. К точкам А и В Подводится постоянное напряжение U.

Решение

1.	Определим ёмкость верхней ветви схемы
	С1,2 =	C1C2		=	C	;
		C + C	2		2
	1
2.	Ввиду одинаковости ёмкости заряды кон-							Рис. 195. Определение заряда
денсаторов С1 и С2 будут одинаковыми
							CU
					q1 = q2 = C1,2U =			;
							2
3.	Ёмкость конденсаторов нижней ветви схемы

131

С3,4

=

C3C4

=

4

C;

q3 = q4 = C3,4U =

4

CU;

5

5

C3 +C4

4. Искомая разность потенциалов определится как:

ϕD −ϕE = U1 − U3 = ϕ ;

q

1

U

4

1

4

= −0,3U ;

U1

=

=

; U3

=

U;

ϕ = U

−

2

5

2

C1

5

196. Определить ёмкость батареи конденсаторов соединенных по схеме, приведенной на рис. 196.

Рис. 196. Преобразование конденсаторной схемы

Решение

1.Приведенная схема не обладает в явном виде симметрией и невозможно выделить параллельного и последовательного соединения конденсаторов. Вместе с тем, ёмкости конденсаторов верхней ветви схемы ровно в два раза меньше ёмкостей в нижней ветви.

2.Уберём мысленно из схемы перемыкающий нижнюю и верхнюю ветви конденсатор и проанализируем распределение напряжений на оставшихся элементах.

3.С другой стороны

U1 + U2 = U3 + U4 ; U1 = U3 ,

Что может иметь место только при ϕD = ϕE , т.е. конденсатор-перемычка заряжаться не будет и никакого влияния на схему не оказывает.

4. Определим далее ёмкости верхней и нижней частей схемы

	C1,2 =	3C 6C	= 2C;	C3,4 =	6C 12C	= 4C; CΣ = C1,2 + C3,4 = 6C ;
		3C + 6C			6C +12C

1197. Из проволоки изготовлен куб, в каждое ребро которого вставлен конденсатор с ёмкостью С. К источнику ЭДС куб подключен противоположными вершинами. Определить ёмкость С0 получившейся батареи конденсаторов.

Решение

1. Схема обладает симметрией относи-

Рис.197.1. Ёмкостный куб тельно пространственной одиагонали куба. При повороте куба на 120 параметры схе-

132

мы не меняются, поменяются местами только точки 2,4,5, так же как и точки 3,6,8. Это свойство схемы указывает на то, что

ϕ2 = ϕ4 = ϕ5 ;

ϕ3 = ϕ6 = ϕ8;

2.Равенство потенциалов точек даёт возможность их объединить в одну точку, в этом случае схема может быть представлена тремя блоками параллельных конденсаторов (рис. 197.2).

3.Ёмкость последовательных

блоков будет равна: 3С, 6С и 3С, тогда суммарная ёмкость определится как:

1

=

1

+

1

+

1

;

С0

3С

6C

3C

1

=

1 2 +1+ 2

=

1 5

;

C

6

C 6

C0

Рис. 197.2. Эквивалентная схема

6

C0

=

C =1,2C ;

5

198. Два одинаковых плоских конденсатора соединены параллельно и заряжены до напряжения U0 = 240 В. После отключения от источника тока расстояние между пластинами одного из конденсаторов уменьшают в три раза. Каким станет напряжение на конденсаторах?

Решение

1. Пусть ёмкость каждого конденсатора первоначально была С, тогда суммарная ёмкость двух параллельно включенных конденсаторов будет составлять 2С, а полный заряд батареи:

q1 = 2CU0 ;

2. После сближения пластин в одном из конденсаторов его ёмкость станет равным 3С, а всей батареи 4С. Заряд конденсаторного соединения, при этом, составит:

q2 = 4CU;

3. В соответствие с законом сохранения заряда, заряд конденсаторного соединения вне зависимости от манипуляций с пластинами, остаётся постоян-

ным, т.е. q1 = q2

	2СU0 = 4CU;	U =	U0	=120 B;
			2

199. Конденсатор имеет заряд Q = 2 10 − 3 Кл, разность потенциалов на его обкладках U = 400 В. Какова энергия электрического поля внутри конденсатора?

				Решение
	W =	QU	=	2 10−3 400	= 0,4Дж;
		2		2

133

200. Ёмкость конденсатора С = 6 мкФ, а заряд Q =3 10 − 4 Кл. Определить энергию электрического поля конденсатора.

			Решение
	W =	Q2			9 10−8		7,5мДж;
		2C		12		10−6

201. Плоский воздушный конденсатор, образованный двумя пластинами площадью s = 1 дм2 каждая, заряжен до разности потенциалов U = 60 В. Расстояние между пластинами d = 2 см. Определить энергию конденсатора.

Решение

1. Ёмкость конденсатора:

C = εd0s ;

2. Энергия конденсатора:

W =	CU2	=	ε	sU2		8,85 10−12 10−2 3600	8нДж;
	2		0			4 10−2
			2d

202. Площадь пластин плоского воздушного конденсатора s = 100 см2, расстояние между ними d = 5 мм. До какого напряжения был заряжен конденсатор, если при его разрядке выделилось W = 4,2 10 − 3 Дж энергии?

Решение

1. Ёмкость конденсатора:

C= εd0s ;

2.Напряжение на обкладках конденсатора:

W =	CU2	=	ε	sU2	; U =	2dW		10−2 4,2 10−3		21,8 кВ;
			0
	2					ε0s		8,85 10−12 10−	2
			2d

203. Конденсатор имеет заряд Q = 2 10 − 3 Кл, разность потенциалов на его обкладках U = 400 В. Опередить энергию, запасённую в конденсаторе.

							Решение
	1. Энергия, запасаемая в конденсаторе:
	W =	CU2	; W =	Q2 ; C =			Q2	; W = Q2U2		; 4W2	= Q2U2 ;
		2					2W
				2C					4W
				W =	QU	=	2 10−3 400		= 0,4Дж;
					2			2

204. Конденсатор С = 50 мкФ подключён к источнику с U = 120 В. Какую энергию запасает конденсатор?

134

				Решение
	W =	CU2	=	5 10−5 1202	= 0,36 Дж;
		2		2

205. Ёмкость конденсатора С = 6 мкФ, а заряд Q = 3 10 − 4 Кл. Определить энергию электрического поля конденсатора.

			Решение
	W =	Q2	=		9 10−8		= 7,5мДж;
		2C		12		10−6

206. Плоский воздушный конденсатор, образованный двумя параллельными пластинами площадью S = 1 дм2 каждая, заряжен до разности потенциалов U = 60 В. Расстояние между пластинами d = 2 см. Определить энергию конденсатора.

				Решение
1.	Ёмкость плоского воздушного конденсатора:
	C =	ε S	≈	8,85 10−12 10−2	−	Ф;
		0		2 10−2	≈ 4,4 10 12
		d
2.	Энергия электрического поля конденсатора:
	W =	CU2	≈ 1,94 10−23 360		≈ 3,5 10−21	Дж;
		2		2

207. Площадь пластин плоского воздушного конденсатора S = 100 см2, расстояние между ними d = 5 мм. До какого напряжения был заряжен конденсатор, если при его разрядке выделилось W = 4,2 10 − 3 Дж энергии?

1.	Ёмкость конденсатора:			Решение
		C =	ε S	8,85 10−12 10−2			−
			0 ≈	5 10−3			≈1,77 10 11Ф;
			d
2.	Напряжение зарядки конденсатора:
	W =	CU2	;	U =	2W	≈	2 4,2 10−3	≈ 22кВ;
		2			C		1,77 10−11

208. Какое количество теплоты выделится в проводнике при разрядке через него конденсатора ёмкостью С = 100 мкФ, заряженного до разности потенциалов U = 1,2 кВ?

Решение

1. Если вся энергия электрического поля конденсатора без потерь преобразуется в тепло, за счёт сопротивления проводника, то:

	QT ≈ W =	CU2	=	10−4 1,44 106	≈ 72Дж;
		2		2

135

209. Площадь каждой из пластин плоского конденсатора S = 300 см2, расстояние между пластинами d = 1 мм. Какая разность потенциалов была приложения к пластинам, если при зарядке конденсатора выделилось Q = 0,21 Дж тепловой энергии?

					Решение
1.	Электрическая ёмкость конденсатора:
	С =		ε S		8,85 10−12	3 10−2		≈ 2,7 10		−
			0	≈	10−3					10 Ф;
			d
2.	Напряжение зарядки конденсатора:
	Q ≈ W =	CU2		; U =		2W	≈	0,42			≈ 39кВ;
			2			C			2,7 10−10

210. Плоский воздушный конденсатор заряжен от источника напряжения и отключен от него, после чего расстояние меду пластинами увеличили вдвое. Как изменилась энергия электрического поля конденсатора?

Решение

1. Изменение ёмкости конденсатора при раздвигании пластин:

С =	ε0S		;
1		d1						1
							C2 =		C1;
		ε S						2
C2 =				;
		0
		2d1

2. Изменение энергии конденсатора при раздвигании пластин и при условии сохранения его заряда:

W =	Q2	; W =	Q2	; W = 2W ;
1	2C	2	C	2	1

211. Плоский воздушный конденсатор ёмкостью С = 20 нФ заряжается до разности потенциалов U = 100 В. Какую работу нужно совершить, чтобы увеличить вдвое расстояние между обкладками?

Решение

1. Работа при раздвигании пластин численно будет равна изменению энергии, запасённой в конденсаторе, при условии сохранения электрического заряда:

W = CU2		= 2 10−8 104	=1 10−4 Дж; W = 2W = 2 10−4		Дж;
1	2	2	2	1

A= W2 − W1 =1 10−4 Дж ≡ 0,1мДж;

212.Во сколько раз изменится энергия заряженного конденсатора, если пространство между пластинами конденсатора заполнить маслом с ε = 2,5. Рассмотреть случаи: а) конденсатор отключён от источника напряжения; б) конденсатор остаётся присоединённым к источнику напряжения.

136

Решение

1. При отключённом от источника конденсаторе при заполнении пространства между пластинами диэлектриком заряд сохранится, часть анергии электрического поля потратится на поляризацию диэлектрика

	W =	dQ2	; W =	dQ2	; W =	W	=	W	;
						1		1
		2ε S		2εε S
	1		2		2	ε		2,5
		0		0

2. Если конденсатор присоединён к источнику, то напряжение на его обкладках остаётся неизменным, т.е. поляризация диэлектрика протекает за счёт энергии источника, при этом ёмкость конденсатора увеличится в ε раз:

С =	ε S	;	C		=	εε S	; W	=	C U2		εC U2
	0			2		0			1	; W =	1	; W = εW = 2,5W ;
1	d					d	1		d	2	2	2	1	1

213. Расстояние между пластинами заряженного плоского конденсатора уменьшили в два раза. Во сколько раз при этом изменяется заряд Q, напряжение на обкладках U, напряжённость поля Е и энергия W в случаях, когда конденсатор отключён от источника напряжения и когда остаётся присоединённым к нему?

Решение

1. При отключённом источнике напряжения сохраняется заряд:

Q = const; С

= 2С ;

W =

Q2

=

Q2

=

W

2

;

W

;

W

1

;

1

1

2C1

2

4C1

2

2

2С U2

=

1 C U2

;

U2

=

1

; U = 2U

; E

=

U

; E

=

2U

; E = E

;

1 2

1 1

2

4

1

1

2

2 2

U2

1

2

1

d

2

2d

1 2

1

2. При подключенном источнике сохраняется постоянство разности потенциалов между обкладками:

U = U	2	; C		2	= 2C ; W = 2W ; E = U ; E							2	=	2U	; E			2	= 2E ;
1					1			2	1	1	d			d					1
W =		Q2	; W =			Q2		W	= 2 =	1 Q2	; 4Q2	= Q2 ; Q					= 2Q ;
		2				1	;	2		2
		4C
2					1	2C W				2 Q2	1		2			2			1
		1				1		1		1

214. Пять одинаковых конденсаторов ёмкостью С = 0,2 мкФ каждый соединены последовательно в батарею. При подключении батареи к источнику тока он совершает работу А = 2 10 − 4 Дж. Определить разность потенциалов между обкладками каждого конденсатора.

Решение

1. Ёмкость батареи из n=5 одинаковых последовательно соединенных конденсаторов:

СΣ = Сn ;

2. Произведённая источником работа будет численно равна энергии, запасённой батареей

137

A = W =	CΣUΣ2	; UΣ =			2W =			2nW =		10 2 10−4	=100В;
	2				CΣ			C		2 10−7
3. Напряжение на обкладках одного конденсатора:
		U = U	2	=K= U		5	=	UΣ	= 20 B;
		1						n

215. Определить работу, которую необходимо совершить, чтобы увеличить расстояние между пластинами плоского воздушного конденсатора на расстояние d = 0,4 мм. Площадь каждой пластины S = (2π 104) мм2, заряд каждой пластины Q = 200 нКл.

		Решение
1.	Напряжённость электрического поля в пространстве между пластинами:
		E =	σ	=		Q	;
			ε0		2Sε0
2.	Работа по перемещению заряженной пластины в электрическом поле
	A = QE d = Q2 d ≈	4 10−14				4 10−4		≈1,44 10−5 Дж;
		12,56 10−2				8,85 10−12
	2Sε0

216. Определить заряд конденсатора ёмкостью С = 0,02 мкФ, если напряжённость поля в конденсаторе Е = 320 В/см, а расстояние между пластинами d = 0,5 см. Каким станет напряжение на пластинах, если зазор между ними увеличить в 2 раза. Определить энергию конденсатора в обоих случаях.

Решение

1. Заряд конденсатора:

Q = CU; U = Ed; Q = CEd = 2 10−8 3,2 105 5 10−3 = 3,2 10−6 Кл; 2. Разность потенциалов между пластинами конденсатора:

U1 = Ed =160 B; U2 = T = E2d = 320 B; 3. Энергия конденсатора:

W = Q2		≈ 2,56 10−4 Дж;	W = Q2		≈ 5,12 10−4 Дж;
1	2C		2	C

217. Две пластины площадью S = 200 см2 каждая погружены в масло с диэлектрической проницаемостью ε = 2,2 и подключены к источнику питания напряжением U = 200 В. Как изменится энергия конденсатора, если после его отключения расстояние между пластинами уменьшить от 5 см до 1 см?

		Решение
1. Ёмкость конденсатора:
С	= εε0S	; C	2	= 5εε0S	; C	2	= 5C ;
1	d			d			1

2. Заряд конденсатора после отключения от источника сохранится :

138

			Q		= Q	2		= Q		= C U			1	=	εε0S		U ;
			1								1				d			1
3. Изменение энергии конденсатора при раздвигании пластин:
			Q2		C2U2					εε S U2										−	7 Дж;
		W =			= 1			1	=	0				1	≈1,56 10
		1	2C1		2C1					d			2
W =	W	; W = W −					W		= W			−		1		4		W	≈ 1,25 10			− 7	Дж;
	1							1			1			5	=
2	5				1			5		1						5 1

218. Заряженный шар радиусом r1 = 2 см соединяют проводником с незаряженным шаром, радиус которого r2 = 3 см. После того как шары разъединяют, энергия второго шара оказалась равной W2 = 0,4 Дж. Какой заряд был на первом шаре до соединения?

Решение

1. Электрические ёмкости шаров:
С	= 4πε r ≈ 2,2 10−12	Ф;	C	2	= 4πε r ≈ 3,3 10−12		Ф;
1	0 1				0	2

2. Электрический заряд и потенциал второго шара после его отсоединения от первого шара:

W =

Q2

;

Q

=

2W C

≈1,62 10

−

6 Кл;

2

2

2

2

2C2

2

ϕ2 =

Q2 =

2W2C2

=

2W2 ≈ 4,92 105 B;

C2

C2

C2

3.В соединённом состоянии электрические потенциалы шаров одинаковы,

		ϕ	2	= ϕ*,
				1
при этом, заряд первого шара определяется как:
Q2	=	Q1 ; Q*	= Q2C1 ≈1 10−6 Кл;
C2		1		C2
		C1

4. В соответствии с законом сохранения электрического заряда: Q1 = Q1* + Q2 ≈ 2,62мкКл;

139

5.Постоянный электрический ток

1.Найти скорость упорядоченного движения электронов в проводнике сечением S = 5 мм2 при силе тока I = 10 А, если концентрация электронов проводимости n = 5 1028 м− 3.

				Решение
	I = nevS; v =	I	≈	10	≈ 2,5 10−4 м	;
		neS		5 1028 1,6 10−19 5 10−6
					с

2. По проводнику сечением S = 5 мм2 течёт ток силой I = 9 А. Дрейфовая скорость электронов составляет v = 0,282 мм/с. Какова концентрация свободных носителей заряда в проводнике?

					Решение
	I = nevS; n =	I		≈	9		≈ 3,32 1028	м−3;
		evS			1,6 10−192,82	10−4 6 10−6

3. Определить силу тока в проводнике радиусом r = 1 мм, если концентрация свободных электронов в веществе n =1028 м − 3, средняя скорость направленного движения электронов v = 4,2 10 − 4 м/с.

Решение

I= nevS = nevπr2 ≈1028 1,6 10−19 4,2 10−4 3,14 1 10−6 ≈ 2,1A;

4.Найти скорость упорядоченного движения электронов в медном проводнике сечением S = 25 мм2 при силе тока I = 50 А, считая, что на каждый атом меди приходится один электрон проводимости.

			Решение
	1. Физические параметры меди:
	ρ ≈ 9 103 кг	;	μ = 63,5 10−3	кг	; m = ρV; V =1м3;
				моль
	м3

2. Количество свободные электронов в 1 м3 меди (концентрация свободных

носителей заряда):

m =

n

n = mNA ;

;

μ

NA

μ

3. Дрейфовая скорость электронов:

I = nevS; v =

I

=

Iμ

≈

50 63,5 10−3

≈1,47 10−4 м

;

neS

mNAeS

9

103 6

1023 1,6 10−1925 10−6

с

140