fizika-elektr / 2013-6

	R	0	=	ξl	=	ξm	≈	48 10−8 8,9 10−2	≈ 481 Ом;
				S		ρS2		8,88 103 10−14

4. Сопротивление нагретой до температуры t1 проволоки: R1 = R0 (1+ α T)≈ 481(1+ 2 10−4 100)≈ 490 Ом;

45.Сила тока в вольфрамовой нити накала лампы I = 0,2 А. Диаметр нити d

=0,02 мм, температура в рабочем состоянии t1 = 2000 0C. Определить напряжённость электрического поля в нити.

Решение

1.

Физические параметры вольфрама:

ξ = 5,5 10−8 Ом м;

α = 0,0048К−1; ρ =18,8 103 кг

;

2.

Сечение нити накала и плотность тока:

м3

S = π

d

2

;

4

3.

Сопротивление нити в рабочем состоянии:

R = U

= R0 (1+ α T);

U =

ξl(1+ α T); US = Iξl(1+ α T);

I

I

S

4.

Напряжённость электрического поля в нити накала:

E = U =

Iξ

(1+ α

T)=

4Iξ

(1+ α

T)≈

4 0,2 5,5 10−8

(1+ 4,8 10−3 2 103 )≈ 371

В

;

3,14 4 10−10

м

l

S

πd2

46. Стальной проводник диаметром d = 0,1 мм подключён к источнику постоянного тока. По проводнику течёт ток силой I = 0,4 А. Температура проводника изменяется от 0 0С до 100 0С. На сколько изменится напряжённость электрического поля внутри проводника при его нагревании, если силу тока считать постоянной?

Решение

1.

Физические параметры стали:

ξ =12 10−8 Ом м; α = 6 10−3 К−1;

2.

Сечение нити накала и плотность тока:

S = π

d2

;

4

3.

Сопротивление проводника:

R = U

= R0 (1+ α T);

U

=

ξl(1+ α T); US = Iξl(1+ α T);

I

I

S

4.

Напряжённость электрического поля в проводнике:

E =

U

=

Iξ

=

4Iξ

; E

=

4Iξ

(1+ α T);

l

S

πd2

1

2

πd2

E = E

− E

=

4Iξ

α

T ≈

4 0,4 12 10−8 6 10−3 102

≈ 3,66

В

;

πd2

3,14 1 10−8

м

2

1

151

2. Напряжение источника:

47. Определить температуру вольфрамовой нити лампочки, если при включении в сеть напряжением U = 220 В по ней течёт ток силой I = 0,68 А. Сопротивление нити при t0 = 20 0C равно R0 = 36 Ом.

Решение

1. Характеристики вольфрама:

ξ = 5,5 10−8 Ом м; α = 4,8 10−3 К−1; 2. Сопротивление нити в рабочем состоянии:

U

U

= R0 (1+ α

T); T =

1

U

R1 =

;

−

I

I

IR0

1 ;

α

1

220

0

T ≈

−1

≈1663K;

t =1936

C;

4,8

10−3

0,68 36

48. Вольфрамовая нить накала электролампы имеет длину l и сопротивление R1 при температуре t1. Чему равен диаметр нити?

Решение

R	1	=	4ξl	(1	+ α T);	d =	4ξl(1+ α T);
			πd2				πR1

49. Реостат из стальной проволоки и миллиамперметр включены последовательно. При температуре t0 = 0 0С сопротивление реостата RR = 200 Ом, а миллиамперметра RA = 20 Ом, показание силы тока I0 = 30 мА. Какой станет величина силы тока при нагревании реостата до температуры t1 = 50 0С?

Решение

1. Сопротивление реостата в нагретом состоянии

R*R = RR (1+ α T);

U = I0 (RA + RR );

	3. Сила тока в рабочем состоянии реостата при температуре t1:
	I =	U	=	I0 (RA + RR )		≈ 0,0236 А;
		R*R		RR (1+ α T)
	1

50. На катушку намотан круглый провод диаметром d Масса провода m . На катушку подано напряжение U. Плотность материала проводника ρ, удельное электрическое сопротивление ξ, температурный коэффициент сопротивления α. Определить силу тока, текущего по поводу, если он нагрелся до Т = 393 К.

Решение

1. Длина провода, намотанного на катушку:

	m = ρlS = ρl	πd2	;	l =	4m	;
		4			ρπd2

152

2.	Сопротивление проводника при нагревании:
	R	1		=	16ξm			(1+ α T);
					ρπ2d4
3.	Сила тока, протекающего по проводнику:
	I =			U	=			ρπ2d4U	;
						16ξm(1+ α T)
	1		R1

51. Каково сопротивление реостата и лампочки, если наибольшее значение силы тока в цепи Imax = 2,5 А, а наименьшее − Imin = 1,5 А? Напряжение, подаваемое на схему равно U = 12 В.

Решение

1. В соответствии с законом Ома для участка цепи:

min = Rmin + RL = 112,5 = 8 Ом;

max = Rmax + RL =	12	= 4,8 Ом;	Рис. 51. Реостат и лампочка
	2,5

52. На реостат подаётся напряжение U = 20 В. Подвижный контакт реостата делит его проводник в отношении длин провода 1:3. Какое напряжение показывает вольтметр? В каких положениях контакта вольтметр покажет U1 = 20

В и U2 = 0 В?

Решение

1. Представим реостат состоящим из 4 последовательно соединённых сопротивлений, на каждом из которых падает напряжение:

	U = U = 5 В;
	1	4
2.	На участке реостата ОВ, состоящем из
трёх условных единиц, сопротивления будет
падать UOB = 3U1 = 15 B.			Рис. 52. Делитель напряжения
3.	Вольтметр будет показывать напряже-

ние источника U =20 В в положении движка реостата А, в положении В показания будут нулевыми.

53.Последовательно соединённые реостат

ирезистор R питаются от источника постоянно-

го напряжения. Какое сопротивление R1 реостата надо ввести на участке цепи, чтобы сила тока уменьшилась в n раз по сравнению с силой тока , когда сопротивление реостата было равно нулю?

Рис. 53. Изменение сопротивления

153

Решение

I =

U

;

U = IR;

R

I

IR

R + R1 = nR; R1 = R(n −1);

I

U

=

=

n

n

R

+ R1

;

R + R1

54. Определить эквивалентное сопротивление цепей при условии R1 = R2 = R3 = 1 Ом.

Рис. 54. Сопротивление цепей

Решение

а) R0

= R1 + R2 + R3 = 3 Ом;

б)

1

=

1

+

1

+

1

=

R3 + R2 + R1 ; R0 =

R1R2R3

≈ 0,33 Ом;

R0

R3

R1

R2

R1R2R3

R1 + R2 + R3

в) R0

= R1 +

R2R3

=1+ 1 =1,5 Ом;

R2 + R3

2

г) R0

=

(R1 + R2 )R3

=

2

≈ 0,67 Ом;

R1 + R2 + R3

3

55.Определить эквивалентные сопротивления цепей, если: R1 = 20 Ом, R2

=80 Ом, R3 = 30 Ом, R4 = 70 Ом.

Решение

а) R0

=

R1R2

+

R3R4

=

1600 +

2100 = 37 Ом;

R1 + R2

R3 + R4

100

100

б) R0

=

(R1 + R2 )(R3 + R4 )

=

100 100 = 50 Ом;

R1 + R2 + R3 + R4

200

в) R0

=

R1R2R3

+ R4 =

48000

+ 70

≈ 80Ом π

R1R2 + R2R1 + R3R1

1600 + 2400 +1400

154

Рис. 55. Эквивалентные сопротивления цепей

	г) R0 =	(R1 + R2 )R3	+ R4	=	3000	+ 70 = 93 Ом;
		R1 + R2 + R3			130

56. Определить общее сопротивление цепи R0, если она составлена из двенадцати одинаковых резисторов R = 1 Ом.

Решение

1.В данном случае применять непосредственно уравнения для последовательного и параллельного включения резисторов не представляется возможным, однако симметрия схемы относительно точки О даёт основание считать, что ток через неё не течёт.

2.Точку О можно разорвать, представив её двумя точками О и О*, что даёт возможность выделить параллельные и последовательные включения резисторов:

Рис. 56. Симметричная цепь и способ ее преобразования

3. Общее сопротивление, таким образом, определится как

R0 = 33RR+33RR = 32 R =1,5Ом.

57. Имеется четыре одинаковых резистора сопротивлением R = 1 Ом каждый. Какие магазины сопротивлений можно получить, включая одновременно все резисторы?

155

Решение

1. Пусть все сопротивления включены последовательно друг другу

R01 = R1 + R 2 + R3 + R4 = 4 Ом.

2. При параллельном включении всех сопротивлений

1	=	1	+	1	+	1	+	1	,
R02				R2
		R1				R3		R4

R02 = R4 = 0,25 Ом.

3. Пусть три резистора будут включены параллельно, а один последовательно им

R03 = R + R3 1,33Ом.

4. Представим далее магазин в виде последовательного соединения двух параллельных сопротивлений

R04 = R2 + R2 =1Ом.

5. Рассмотрим вариант параллельного включения двух пар последовательных соединений

R05 = 22RR+22RR = R =1Ом.

6. Включим два сопротивления параллельно и последовательно с ними остальные два сопротивления

R06 = 2R + R2 = 2,5R = 2,5Ом.

7. Пусть три сопротивления будут включены последовательно, а одно параллельно им

R07 = 33RR+RR = 34 R = 0,75Ом.

8. Далее к двум последовательно включенным сопротивлениям подсоединим два параллельных сопротивления

	R08 =	0,5R 2R	= 0,4R = 0,4Ом.
		0,5R + 2R

9. Последний возможный вариант будет представлять собой комбинацию двух параллельных сопротивлений с последующим включением последовательно им одного сопротивления и параллельным включением

	четвёртого		(0,5R + R)R		3 R = 0,6 Ом.
	R09	=		=
			0,5R + 2R
					5

156

58. Какой шунт нужно присоединить к гальванометру, имеющему шкалу на N = 100 делений с ценой деления i = 1 мкА и внутренним сопротивлением rA = 180 Ом, чтобы им можно было измерять ток силой до I = 1 мА?

Решение

1. Определим силу тока, соответствующую отклонению стрелки на полную шкалу

IA = iN =1 10−6 100 =1 10−4 A . Рис. 58. Схема шунта

2. Определим сопротивление шунта с учётом того, что измеряемый ток I разветвляется на токи Iш и IА, которые обратно пропорциональны соответствующим сопротивлениям

R

(I − I

)= I

r , R

=

IA rA

=

10−4 180

= 20Ом.

I − IA

10−3 −10−4

ш

A

A A

ш

59. Вольтметр включён как показано на схеме и показывает UV = 36 В. Определите отношение силы тока, идущего через измерительную катушку вольтметра IV и сопротивление R2 = 6 кОм. Что покажет вольтметр, если сопротивления уменьшить в 1000 раз, т.е. до R1 = 4 Ом и R2 = 6 Ом?

Решение

Рис. 59. Варианты включения вольтметра

1. Определим силу тока через резистор R1

I	=	UV	=	36	= 9 мА.
				4 103
1		R1

2. Падение напряжения на резисторе R2 будет составлять

U2 = U0 − UV = 64 B ,

ток через этот резистор

	I	2	=	U2	=	64	10,7 мА .
				R 2		6 103

3. Сила тока, протекающего через измерительную катушку вольтметра

IV = I2 − I1 =1,7 мА, 4. Определим искомое отношение сил токов

IV	=		1,7	0,159 .
		10,7
I2

5. Определим внутреннее сопротивление вольтметра

RV =	R	1	I	2	=	4 103	25,1кОм
						0,159
		IV

157

6.	Найдём общее сопротивление вольтметра и сопротивления R1*
	R	3	=	R1* R V					4 25		3,45 Ом.
				R1* + R V
								29
7.	Общее сопротивление цепи									= 9,5Ом.
8.	Суммарная сила тока		R0 = R3 + R*2
					U0			100
			I0 =							10,5 A .
								9,5
					R0
9.	Найдём далее падение напряжения на сопротивлении R*2
		U2 = I0R*2 =10,5 6 = 63B .
10. Падение напряжения на вольтметре
	UV		= U0 − U2					=100 − 63 = 37 B .

60. Чему равна разность потенциалов между клеммами Ux в схеме, если сопротивления равны: R1 = 2 Ом, R2 = 8 Ом, R3 = 8 Ом, R4 = 2 Ом, а U0 = 80 В.

Решение

1. Определим общее сопротивление цепи

R0 = ((R1++ R)2 +)(R( 3 ++R 4 )) = 100 = 5Ом.

R1 R 2 R3 R 4 20

2. Ток потребляемой всеми сопротивлениями от источни-

Рис. 60. Цепь с	ка
источником тока	I0	=	U0	=16 A ,
			R0

поскольку сопротивление цепочек R1, R2 и R3,R4 одинаковы, то через них текут

одинаковые по величине токи I1,2 = I3,4 = I0/2 = 8 А.

3. Определим падение напряжения на сопротивлениях R1 и R3

U1 = I1,2 R1 =16 B , U3 = I1,2 R3 = 64 B . 4. Искомая разность потенциалов Ux

Ux = U3 − U1 = 48 B .

61. Какой шунт нужно присоединить к гальванометру, имеющему шкалу на N = 100 делений с ценой деления i = 1 мкА и внутренним сопротивлением r = 180 Ом, чтобы им можно было измерить ток I0 = 1 мА?

		Решение
	1.	Определим предельную силу тока, на которую рас-
	считана измерительная головка прибора
		IG = iN =1 10−6 100 =1 10−4 A .
Рис. 11.31. Шунт	2.	Поскольку шунт и гальванометр включены парал-
	лельно, то на них будет одинаковое падение напряжения, а

для токов можно записать следующие соотношения

I0 = IG + IШ , IШ = I0 − IG =10−3 −10−4 = 9 10−4 А .

3. Определим далее падение напряжения на гальванометре и шунте

158

UG = IG r =10−4 180 = 0,018 B . 4. Сопротивление шунта

R	Ш	=	UG	=	0,018	= 20 Ом.
					9 10−4
			IШ

62. Амперметр с внутренним сопротивлением r = 0,1 Ом предназначен для измерения силы тока до IA = 1 А. Каким образом этим прибором можно измерить силу тока I0 = 100 А?

Решение

	1. Расширение пределов измерения ампер-
	метров достигается включением параллельно
	измерительной головки прибора сопротивления	Рис. 62. Измерение тока
	− шунта Rш, так чтобы измеряемый ток разветв-
	лялся
	I0 = IA + Iш .

2. Представим измеряемый ток в следующем виде

I = nIA ,

где n = I0/IA = 100, в этом случае

Iш = I0 −IA = IA (n −1).

3. Поскольку шунт с амперметром включаются параллельно, то падение напряжения на шунте и амперметре одинаковы IA R A = IшR ш , поэтому

Rш = nr-1 = 099,1 0.001Ом.

63. Три одинаковых графитовых кольца радиусом r = 1 м и диаметром d = 1 см имеют электрический контакт в точках A,B,C,D,F,E. Определить сопротивление фигуры при включении её в точках А и В.

	Решение
	1. В силу одинаково-
сти	геометрических раз-
меров и симметричности
включения точки C,D,E,F
при подключении к ис-
точнику напряжения бу-
дут	иметь одинаковые	Рис. 63. Графитовые кольца

потенциалы, т.е. ϕС = ϕD

= ϕE = ϕF. Это значит, что через элементы кольца C,D,E,F ток течь не будет. Схему можно преобразовать к системе, состоящей из параллельно включенных полуколец: A,D,B; A,F,B; A,C,B; A,FB и A,E,B.

2. Определим сопротивление одного полукольца с учётом того что удельное электрическое сопротивление графита ρ 1 10 − 5 Ом м.

R1 = ρ d4r2 10−5 104 −14 = 0,4 Ом.

159

3. Определим далее сопротивление четырёх параллельно включенных одинаковых колец

R0 = R41 = 0,1Ом .

64. Имеется воздушный конденсатор с плоскими пластинами площадью s =100 см2 и зазором между ними d = 2,5 см. Пространство между пластинами ионизируется рентгеновскими лучами, так что в секунду образуется N = 1010 пар ионов. На пластины конденсатора подаётся постоянное напряжение U0 = 2 кВ. В измерительную схему включены сопротивления R1 = R2 = 1010 Ом. Ток, какой силы потечёт через измерительный прибор, включенный в цепь источника питания?

	Решение
	1. Возникновение носителей заряда вследствие ио-
	низации электрически нейтральных молекул воздуха
	вызовет электрический ток, сила которого будет про-
	порциональна величине заряда, их количеству и объёму
	конденсатора
	iC = NeVC ,
	где е 1,6 10 − 19 Кл − заряд одного иона, N − число пар
	ионов образующихся в одну секунду в единице объёма
	конденсатора.
	2. Выразим напряжение источника U0 в виде суммы
Рис. 64. Образование	падений напряжений на сопротивлениях
пар ионов	U0 = UR1 + UR2 = IR1 R1 + IR2 R2 .

3. Сила тока через сопротивление R1 должна быть равна сумме сил токов через сопротивление R2 и конденсатор, т.е.

IR1 = IR 2 +iC . 4. Образуем систему уравнений

U	0	= I	R1		R	1	+ I	R	2	,
								R2
IR		= IR			+ iC					.
	1			2

Сила тока через микроамперметр будет равна силе тока через сопротивление R1, поэтому выразим из первого уравнения системы (4) силу тока IR2 и подставим во второе уравнение

IR2

=

U0 − IR1 R1

, IR1

=

U0 − IR1 R1

+ iC ,

R 2

R 2

IR1 R2 = U0 − IR1 R1 + iCR2 ,

IR1 (R2 + R1 )= U0 + NeVC ,

IR

= IμA

=

U0 + NeVC

2 103 +1010 1,6 10−19 2,5 10−4

1 10−7 A .

1

R1 + R2

2 1010

160