fizika-elektr / 2013-6

164. Плоский конденсатор, между обкладками которого находится слюдяная пластинка (ε = 6), присоединен к аккумулятору. Заряд конденсатора Q1 = 14 мкКл. Какой заряд пройдёт через аккумулятор при внезапном удалении пластинки?

Решение

С

=

εε0s ;

C1

Q = C U;

Q1

1

1

d

= ε;

1

1

Q2 =

Q = Q1

−

1,17 10

−5

ε0s

C

ε

;

1

ε

Кл;

C2

Q2 =

C2

=

;

1

U;

d

ε

165. Конденсатор после зарядки отключён от источника. Как изменится ёмкость конденсатора, напряжение на его пластинах и напряжённость поля между ними, если воздушный промежуток между пластинами заполнить диэлектриком, проницаемость которого ε = 4?

Решение

1. Изменение ёмкости конденсатора:
С	= ε0s ;
1		d			C2	= ε; С2	= 4С1;
		εε	s		C
C2	=
		0			1
		d		;

2. Изменение напряжения на пластинах:

Q = const;					C1U1 = C2U2 ;						U1 = 4U2 ;
3. Изменение напряжённость поля:
E = U1
1	d;				E			U
						2	=		2	; E1	= εE2 = 4E2 ;
	U				E			U
E2 =		2				1			1
	d;

166. Площадь каждой пластины плоского конденсатора s = 6 10 −3 м2, заряд конденсатора составляет Q = 1 нКл, разность потенциалов U = 90 В. Определить расстояние между пластинами.

Решение

1. Ёмкость конденсатора:

Q = CU; C =

Q

;

ε

s

=

Q

; d =

ε

sU

8,85 10−12 6 10−3 90

4,78

10

−

3 м;

0

0

U

U

1 10−9

d

Q

167. Каким должно быть расстояние между обкладками плоского конденсатора, ёмкость которого равна: а) ёмкости последовательно соединённых n = 20 одинаковых конденсаторов, расстояние между обкладками которых равно d0; б) ёмкости n = 20 таких же параллельно соединённых конденсаторов.

121

Решение

1. При последовательном соединении конденсаторов:

С = С0 ; ε0s = ε0s ; d = nd0 = 20d0 ; n d nd0

	2. При параллельном соединении конденсаторов:
	C = nC0 ;	ε0s	= nε0s ; d =	d0	;
				20
		d	d0

168. Имеются два конденсатора ёмкостью С1 = 2 мкФ и С2 = 4 мкФ. Определить их общую ёмкость при параллельном и последовательном соединениях.

Решение

1.	При последовательном соединении:
	1			=	1	+	1		=	С + С			;	С		=	С С		2		=	2 10−6		4 10−6	1,33мкФ;
										1		2			0		1						10−6
		С			С		С										С + С					6
			0					2		С С	2									2
					1					1							1
2.	При параллельном соединении:
													С0	= С1 + С2				= 6мкФ;

169. Имеется три конденсатора ёмкостью С1 = 20 мкФ, С2 = 50 мкФ и С3 = 70 мкФ. Определить эквивалентную ёмкость при параллельном и последовательном соединении этих конденсаторов.

												Решение
1.	Параллельное соединение:
									С0 = С1 + С2 + С3 =140мкФ;
2.	Последовательное соединение:
	1		=	1	+	1	+	1	=	1	+	1	+	1	0,0843	1	; С0 11,72мкФ;
		С0						С3				50		70		мкФ
				С1		С2			20

170. Имеются конденсаторы С1 = 4 мкФ, С2 = 5 мкФ, С3 = 10 мкФ, С4 = 20 мкФ. Найти общую ёмкость при их параллельном и последовательном соединении.

Решение

1.

Последовательное соединение:

1

=

1

+

1

+

1

+

1

;

1

= 1

+ 1

+

1

+

1

; C0

=

20

1,7 мкФ;

С0

12

С0

С1

С2

С3

С4

4

5

10 20

2.

Параллельное соединение:

С0

= С1 + С2 + С3 + С4

= 39мкФ;

171. В каких пределах изменяется ёмкость, если С1 = 100 пФ, а переменная ёмкость изменяется в пределах С2 = 400 − 900 пФ?

122

Решение

1. Конденсаторы включены последова-

тельно, следовательно:

1

=

1

+

1

=

С1 + С2

; С

0

=

С1С2

;

Рис. 171. Последовательное

С1 + С2

С0

С1

С2

С1С2

C1C2(min)

100 400

включение конденсаторов

C0(min) =

80пФ;

C1 + C2(min)

500

C0(max) =

C1C2(max)

100 900

90пФ;

C1

+ C2(max)

1000

172. В каких пределах изменяется ёмкость, если С1 = 400 пФ, а переменная ёмкость изменяется в пределах С2 = 100 − 800 пФ?

Решение

1. Конденсаторы включены параллельно, поэтому:

С0(min) = C1 + C2(min) = 500пФ;

С0(max) = C1 + C2(max) =1200пФ;

Рис. 172. Параллельное включение

173. Два конденсатора соединены последовательно в батарею, на которую подан заряд Q = 500 нКл. Ёмкость конденсаторов С1 = 20 пФ, С2 = 80 пФ. Какова общая ёмкость конденсаторов и напряжение на каждом из них?

Решение

1. Общая ёмкость конденсаторов:

С0 = СС1 1+СС2 2 16пФ; 2. Напряжение на батарее:

Q = C	U	;	U		=	Q	=	5 10−7	3,1 104 B;
								16 10−12
0	0			0		C0

3. Напряжение на каждом из конденсаторов:

U =	Q	=	5 10−7	= 25кВ;	U		= U		− U 6,25кВ;
	C		20 10−12
1						2		0	1
	1

174. Два конденсатора С1 = 2 мкФ и С2 = 4 мкФ соединены последовательно и подключены к источнику напряжения U = 120 В. Найти напряжение на каждом конденсаторе.

С1С2

Решение

Q

С

=

1,33мФ; Q = C

U =1,6 10−4 Кл;

U

=

80В;

U

= 40B;

С + С

C

0

0

1

2

1

2

1

123

175. Два одинаковых воздушных конденсатора соединены последовательно и подключены к источнику напряжения. Во сколько раз изменится разность потенциалов на одном из конденсаторов, если второй погрузить в жидкость с диэлектрической проницаемостью ε = 2?

Решение

1.

Общая ёмкость конденсаторов:

C01 =

C2

= 0,5C;

C02

=

C εC

=

ε

C 0,667C;

2C

C + εC

1+ ε

2.

В соответствие с законом сохранения заряда:

Q = C01U1;

U

=

C

0,667

1,334;

1

02

U2

0,5

Q = C02U2 ;

C01

176. Два одинаковых плоских воздушных конденсатора соединены между собой последовательно и подключены к источнику напряжения. Между пластинами одного из них вводится пластина с диэлектрической проницаемостью ε. Во сколько раз изменится напряжённость поля в этом конденсаторе?

Решение

1. Общая ёмкость конденсаторов:

C01 =

C2

=

0,5C; C02 =

C εC

=

ε

C;

2C

C

+ εC

1+ ε

2. Напряжённость поля в конденсаторах:

E =

U1 ; E

= U2

;

E1

=

U1

;

1

d

2

εd

E2

εU2

3. Отношение напряжений на конденсаторах:

Q = C01U1;

Q = 0,5CU ;

(1+ ε)U

1

1

ε

1 =

; 2εU2 = (1+ ε)U1;

Q = C02U2 ;

Q =

CU

2 ;

2εU2

1

+ ε

U2

=

1+ ε;

E2 =

2ε

=

2

; E

=

2

E ; ε >1; E > E

;

ε(1+ ε)

1+ ε

1

+ ε

U

2ε

E

2

1

1 2

1

1

177. Два плоских конденсатора ёмкостью С1 = С2 = 10 пФ соединены последовательно. На сколько изменится ёмкость батареи, если пространство между пластинами одного из них заполнить диэлектриком с проницаемостью

ε=2?

Решение

С

=

С

= 5аФ; C

ε

C 6,67пФ;

С = С

− С

1,67пФ;

01

2

02 1+

ε

02

01

124

178. Батарею общей ёмкостью С0 = 100 мкФ, состоящую из трёх параллельно соединённых конденсаторов подключили к сети с напряжением U = 250 В. На обкладках одного из конденсаторов С1 появился заряд Q1 = 10 мКл. Определить ёмкость и заряд каждого из других конденсаторов, если С2 = С3?

Решение

1.	Ёмкость конденсатора С1:						10−2
					С =	Q		= 40мкФ;
						1 =
					1	U	250
2.	Емкость конденсаторов С2 и С3:											С2,3
	С	2,3	= C	0	− C = 60мкФ; С			2	= С	3	=		= 30мкФ;
					1						2

3. Заряд на конденсаторах С2 и С3:

Q2 = Q3 = C2U = 3 10−5 250 7,5мКл;

179. Два конденсатора С1 = 30 пФ и С2 = 70 пФ соединили параллельно и подключили к источнику напряжения U = 100 В. Какое напряжение и какой заряд будут иметь место на каждом из них?

Решение

1. Напряжение на параллельных конденсаторах будет, по определению, одинаковым:

		U1 = U2	=100 B;
2. Заряды конденсаторов:
Q	= C U = 3 10−11	100 = 3 нКл;	Q	2	= C	U = 7 10−11 100 = 7 нКл;
1	1				2

180. Конденсатор ёмкостью С1 = 3 мкФ заряжен до разности потенциалов U1 = 300 В, конденсатор ёмкостью С2 = 2 мкФ заряжен до − U2 = 200 В. После зарядки конденсаторы включили параллельно одноимёнными полюсами. Какая разность потенциалов установилась на конденсаторах после их соединения?

Решение

1.	Общий заряд конденсаторов:
Q	= C U	= 9 10−4 Кл; Q					2	= C			U		2	= 4 10−4					Кл; Q				0	= Q		+ Q	2	=13 10−4	Кл;
1	1	1								2															1
2.	Напряжение на клеммах батареи:
		Q		= C	U	; U			=	Q		0		=		Q	0			=	13 10−4				= 260 B;
										C					C	+ C						5 10−6
			0	0	0			0										2
												0			1

181. Два конденсатора заряжены до напряжений U1 = 600 В и U2 = 200 В, а затем соединены параллельно. Определить разность потенциалов между обкладками конденсаторов, если ёмкость первого конденсатора в ζ = 3 раза больше ёмкости второго конденсатора.

125

	Решение
Q1 = CU1;	Q2 = 3CU2 ; Q0	= Q1 + Q2 = C(U1 + 3U2 ) = C0U0 ;
C0	= C + 3C = 4C;	U0 =	U1 + 3U2	= 300 B;
		4

182. Воздушный конденсатор ёмкостью С1 = 2 мкФ заряжают до напряжения U1 = 110 В. Отключив далее его от сети замыкают на незаряженный конденсатор, который заряжается от первого до U2 = 44 В. Найти ёмкость второго конденсатора.

Решение

1. Заряд батареи при параллельном включении конденсаторов будет равен заряду первого заряженного первоначально конденсатора:

Q = C1U1;	C1U1 = C2U2 ; C2 =	C U	=	2 10−6 110	= 5 мкФ;
		1 1		44
Q = C2U2 ;		U2

183.Два конденсатора с ёмкостями С1 = 20 пФ и С2 = 30 пФ, с зарядами Q1

=30 нКл и Q2 = 10 нКл соединяются параллельно разноимёнными обкладками. Определить напряжение на батарее и заряд на каждом конденсаторе.

Решение

1.

Суммарный заряд и общая ёмкость после соединения конденсаторов:

Q0 = Q1 − Q2

= 20нКл;

С0 = С1 + С2 = 50пФ;

2.

Напряжение на обкладках батареи и на каждом конденсаторе:

U = U

= U

=

Q

0

=

20 10−9

= 400 B;

50 10−12

1

2

0

C0

3.

Заряды на конденсаторах:

Q

= U C = 400 20 10−12

= 8 нКл;

1

0

1

Q

2

= U

C = 400

30 10−12

=12 нКл;

0

1

184. Электрический пробой диэлектрика наступает при напряжённости поля Em = 1800 В/мм. Две ёмкости С1 = 600 пФ и С2 = 1500 пФ ис изоляционным слоем из этого диэлектрика толщиной d = 2 мм соединены последовательно. При каком минимальном напряжении будет пробита эта система?

Решение

1. Напряжение пробоя диэлектрика:

E = Ud ; Um = Emd;

2. Конденсаторы включены последовательно, поэтому через них протекает при зарядке одинаковый заряд, а падение напряжения на батарее равно сумме падений напряжения на каждом из конденсаторов

С1U1 = C2U2 ; U1 > U2 ; Umax = Ux − U2 ;

126

U1

=

C2 ;

U C = U

C

;

U1

= C2 = 2,5;

U = 2,5U

2

U2

C1

1

1

2

2

U2

C1

1

Emd = 2,5U2 ;

U2

=

Emd

1440

B;

Um

= Emd +

Emd

= Emd(1+ 0,4)= 5040 B;

2,5

2,5

185.

Определить

ёмкость

соединения

конденсаторов (рис.185), если С1 = 70 мкФ,

С2 = 120 мкФ, С3 = 80 мкФ.

Решение

С2,3 = C2 + C3 = 200 мкФ;

C0

=

C1C2,3

=

70 200

51,8 мкФ;

Рис. 185. Соединение конденсаторов

C1 + C2,3

270

186. Имеется три конденсатора ёмкостью С = 12 мкФ, рассчитанные каждый на напряжение U = 600 В. Какие с их помощью ёмкости можно получить и каково допустимое напряжение в каждом случае?

Решение

1.	Использование одной ёмкости позво-
ляет получить параметры, заданные по ус-
ловию задачи
	С1 =12мкФ;	U1 = 600 В;
2.	Последовательное включение двух
конденсаторов
	С2 = С = 6мкФ;	U2 = 2U =1200 B ;
	2
3.	Параллельное включение двух ёмко-		Рис. 186. Соединение трёх емкостей
стей		С3 = 2С = 24мкФ; U3	= 600 B;

4.Последовательное включение трёх ёмкостей

С4 = С3 = 4мкФ; U4 = 3U =1800 B;

5.Параллельное включение трёх одинаковых ёмкостей

С5 = 3С = 36мкФ; U5 = U = 600 B;

6. Две емкости включены последовательно, а третья − параллельно им

С6	=	С	+С =1,5С =18мкФ; U6 = U = 600 B;
		2

7. Две ёмкости включены параллельно, а третья − последовательно с ними

	1	=	1	+	1	;	C7	=	2	C =8мкФ; U	7 = 900 B;
			2С		С				3
	С7

127

187. Плоский конденсатор разрезают на n = 4 равные части вдоль плоскостей, перпендикулярных обкладкам. Полученные таким образом n конденсаторов соединяют последовательно. Чему равна ёмкость полученной батареи, если ёмкость исходного конденсатора была равной С0 = 16 мкФ?

Решение

1. При разрезании пластин плоского конденсатора на четыре равные по площади части получится четыре одинаковых по емкости конденсатора, потому что ёмкость плоского воздушного конденсатора определяется как:

С = εd0s ;

Расстояние после разрезания между пластинами остаётся прежним, а площадь каждой новой пластины уменьшается в n раз

С1 = Сn0 ;

2. При последовательном соединении n конденсаторов результирующая емкость батареи определится как:

СΣ = Сn1 = Cn20 =1мкФ ;

188.Два плоских конденсатора, ёмкостью С каждый, соединили параллельно. В одну из плоских ёмкостей вставили диэлектрическую пластину с

проницаемостью ε, заполнившую весь объём между пластинами. Какой ёмкости и как нужно подключить третий конденсатор, чтобы ёмкость батареи стала равной 3С?

Решение

1. После заполнения диэлектриком одного из конденсаторов, ёмкость параллельного соединения станет равной

СΣ = С+ εС;

2.

Рассмотрим вариант параллельного включения некой ёмкости Сx

3С= С(1+ε)+Сx ; Cx = 3C −C(1−ε)= C(2 −ε);

Такой вариант включения возможен при ε < 2.

3.

При ε > 2 третью ёмкость следует подключать последовательно

1

=

1

+

1

;

1

= CΣ +Cx ; 3C =

CΣCx

;

3С

СΣ

Сх

3C CΣCx

CΣ + Cx

3ССΣ +3ССx

= CΣCx ;

CΣCx

−3CCx

= 3CCΣ; Cx (CΣ −3C)= 3CCΣ ;

3CCΣ

3CC(1+ε)

3C2 (1+ε)

ε +1

Cx =

=

= C(ε −2)

= 3C

;

CΣ −3C

C(1+ε)−3C

ε−2

189. Разность потенциалов между точками А и В равна U. Ёмкость конденсаторов С1, С2, С3 известна. Определить заряды конденсаторов q1, q2,q3 и разность потенциалов между точками А и D.

128

Решение

1. Определим общую ёмкость заданного соедине-

ния конденсаторов

C1(C2 + C3 )

1

=

1

+

1

;

C0

=

;

С

С

С

+

С

0

2

C + C

2

+ C

3

1

1

1

2. Конденсаторы С2 и С3

соединены параллельно,

Рис. 189. Соединение

поэтому разности потенциалов на их обкладках одина-

конденсаторов

ковы

= U* ,

при этом

U2 = U3

q2 = C2U*; q3 = C3U* ;

3. Полный заряд на параллельно включенных конденсаторах определится как:

q* = q2 + q3	= (C2	+ C3 )U*; U* =	q2 + q3	;
			C2 + C3

4. Конденсатор С1 подключен последовательно, причём точка D является общей, поэтому

q1 = q1* = q2 + q3 ;

5. Уравнения разности потенциалов на заданных точках схемы

UAD

=

q1

; UDB

= U* =

q2 + q3

; UAB = U = UAD + UDB

=

q1

+

q2 + q3

;

C1

C2 + C3

C1

C2 + C3

1

1

q1

UC1(C2 + C3 )

;

U = q1

+

=

; q1

=

C

+ C

C

2

C

0

C + C

2

+ C

3

1

3

1

6. Определим разность потенциалов UDB

UDB

= U −

q1

= U −

U(C3 + C3 )

=

UC1

;

C

C + C

2

+ C

3

C + C

2

+ C

3

1

1

1

7. Заряды параллельных конденсаторов

q2 = UDBC2 =

C1C2U

;

C + C

2

+ C

3

1

q3 = UDBC3 =

UC1C3

;

C + C

2

+ C

3

1

190. Определить ёмкость батареи конденса-

торов, если С1 = 4 мкФ, С2 = 10 мкФ, С3 = 2 мкФ.

Решение

1. Схему можно представить как три последо-

вательно

соединенных конденсатора

ёмкостями

2С1, С2 и (С1+С3), т.е. 8 мкФ, 10 мкФ и 6 мкФ. В

этом случае

Рис. 190. Ёмкость батареи

1

=

1

+

1

+

1

0,125 + 0,1+ 0,167 0,392 ;

С0

8

10

6

С0 =

1

2,551мкФ;

0,392

129

191. Во сколько раз изменится емкость плоского конденсатора, если между обкладками расположить две тонкие металлические пластины? Если соединить их проводником?

	Решение
	1. При внесении в конденсатор двух
	проводящих пластин образуется три оди-
	наковые емкости, соединенные последова-
	тельно, каждый полученный таким обра-
Рис. 191. Пластины в конденсаторе	зом конденсатор, в случае расположения
	его в воздухе (ε = 1) будет обладать элек-
трической емкостью

С1 = 3εd0s = 3C0 ,

где С0 − емкость конденсатора без вставок. Емкость трех последовательно включенных одинаковых конденсаторов составит

	1	=	1	+	1	+	1	; C =	3C0	= C0 ,
	С		С		С		С		3
			1		1		1

т.е. внесенные металлические (проводящие) пластины емкости конденсатора не поменяют.

2. Соединение пластин безъемкостным проводником приведет к тому что батарею можно представить в виде двух последовательно соединенных конденсаторов емкостью С1 каждый

С* = С21 =1,5С0 ;

192. Конденсатор состоит из трех тонких металлических обкладок площадью s = 4 см2, пространство между которыми заполнено слюдой толщиной d = 0,2 мм. Крайние обкладки соединены между собой. Какую емкость имеет такой конденсатор?

Решение

1. Пластины 1-2 и 2-3 образуют два конденсатора равной ёмкости

C0 = εεd0s ,

где ε − диэлектрическая проницаемость слюды, d − расстояние между обкладками.

2. Конденсаторы в данном случае соедине-

ны параллельно, т.к. на их обкладках, в случае Рис. 192. Слюдяная ёмкость подключения к источнику ЭДС, будут одина-

ковые потенциалы ϕ1 = ϕ3, в этой связи

	С	Σ	= 2С	0	=	2εε0s		2 7 9 10−12 4 10−4	252мкФ;
						d		2 10−4

130