fizika-elektr / 2013-6

Электромагнитные явления

9.Индукция магнитного поля. Сила Ампера

1.Найти величину максимального момента сил, действующих на рамку с током силой I = 2 А, если площадь рамки составляет s = 100 см2, а индукция магнитного поля В = 0,05 Тл.

Решение

1. Важное прикладное значение имеет анализ механических сил, действующих на внесённый в магнитное поле замкнутый контур с током. Во многих технических

устройствах осуществляется	преобразова-
ние энергии магнитного поля в кинетиче-
скую энергию вращения.	Рис. 1. Контур в магнитном поле

2. Рассмотрим контур в виде прямо-

угольной рамки, по которой течёт постоянный ток величиной I, рамка помеще-

на в однородное магнитное поле с индукцией B (рис. 1).

3. Силы, действующие на стороны а, в соответствие с законом Ампера будут стремиться растянуть или сжать рамку в вертикальных направлениях. Силы, действующие на стороны b, стремятся вращать рамку вокруг вертикальной оси z, т.к. по сути это типичная пара сил с моментом Mz (F1 , F2 ). Если магнит-

ный момент контура pm = IS считать постоянным, то элементарная механиче-

ская работа, производимая силами Ампера при повороте контура на угол dα, определится как:

δA = Mz (F1, F2 )dα.

4. Поскольку магнитный поток, проходящий через площадь контура s равен

ΦВ = SBcosα ,

то его изменение при повороте контура на уголdα запишется следующим образом:

dΦВ = SBsin αdα .

5. Используя уравнение магнитного потока последнее уравнение можно переписать так:

Mz (F1 , F2 )dα = ISBsin αdα ,

откуда:

Mz (F1 , F2 )= ISBsin α = pm Bsin α ,

или в векторной форме:

Mz (F1, F2 )= (prm ×B).

6. Таким образом:

191

Mz(max) (F1,F2 )= ISB = 2 5 10−2 10−2 =10−3 Н м;

2. Найти максимальный момент пары сил, действующих на рамку с током силой I = 5 А, если длина рамки а = 20 см, а ширина b = 10 см. Индукция магнитного поля В = 0,2 Тл. Определить направление вращения рамки.

Рис. 2. Направление вращения

Решение

1. Площадь контура, образованного рамкой: s = ab ;

2. Момент сил, действующий на рамку:

Mz(max) (F1,F2 )= ISB;

Mz(max) (F1,F2 )= 5 0,2 0,1 0,2 = 2 10−2 Н м;

3. Направление сил Ампера определяется правилом векторного произведения или по правилу левой руки: если левую руку расположить так, чтобы раскрытую ладонь «пронизывал» вектор магнитной индукции, а четыре вытянутых пальца совпадали с направление тока в проводнике, то отведенный в сторону большой палец укажет направление силы Ампера.

3. Определить индукцию магнитного поля, если максимальный вращающий момент сил, действующих на рамку, площадью s = 1 см2, Mz (F1;F2 ) = 5 10 − 4 Н м при силе тока I = 1 А. На рамке намотано n = 100 витков провода.

Решение

r

r

Mz(max) (F1;F2 )

5

10

−4

M

(F ,F )= nISB;

B =

=

= 5 10−2 Тл;

nIS

100

1 10−4

z(max)

1

2

4. По n = 50 виткам плоской рамки площадью S = 40 см2 течёт ток силой I = 5 А. Рамка расположена в однородном магнитном поле с индукцией В = 0,12 Тл. Какой максимальный механический момент действует на рамку?

Решение

Mz(max) (F1,F2 )= nISB = 50 5 4 10−3 0,12 = 0,12 Н м;

5. Плоская прямоугольная катушка с n = 200 витками проволоки со сторонами а = 10 см, b = 5 см находится целиком в однородном магнитном поле с

192

индукцией В = 50 мТл. Какой максимальный вращающий момент может действовать на катушку, если по ней пропускать ток силой I = 2 А?

Решение

Mz(max) (F1,F2 )= nIabB = 200 2 0,1 0,05 5 10−2 = 0,1 Н м;

6. Определить направление силы Ампера, действующей на проводник с током.

Решение

Рис. 6. Направление силы Ампера

7. Определить направление вектора магнитной индукции.

Решение

Рис. 7. Направление вектора магнитной индукции

8. Определить направление тока в проводниках.

Рис. 8. Направление тока в проводниках

9. Определить направление силы тока в соленоиде и в проводнике при заданных взаимодействиях.

193

Рис. 9. Взаимодействия с магнитным полем

10. Какова индукция магнитного поля, если на перпендикулярный вектору магнитной индукции проводник с током силой I = 250 А и с активной длиной l = 6 м действует сила F = 180 Н?

					Решение
	r	r r	r	r r	r r	FA
	FA = I(B × l);		FA	= IBlsin(B; l);	sin(B; l)=1; FA = IBl; B =		= 0,12Тл;
						Il

11.Проводник с током силой I = 5 А помещён в магнитное поле с индукцией

В= 10 Тл. Угол между направлением тока и поля составляет α = 600. Найти активную длину проводника, если на него действует сила FA = 20 Н.

	r	r r	r		Решение	FA		20
	FA = I(B× l);		FA	= IBlsin α;	l =		=		≈ 0,46м;
						IBsin α		5 10 0,87

12. На проводник длиной l = 50 см с силой тока I = 2 А в однородном магнитном поле с индукцией B = 0,1 Тл действует сила F = 0,05 Н. Найти величину угла между направлением тока и вектором магнитной индукции.

Решение

r

r r

r

F

0,05

FA = I(B× l);

FA

= IBlsin α;

α = arcsin

A

= arcsin

= 300 ;

2 0,1 0,5

IBl

13. С какой силой действует однородное магнитное поле с индукцией В = 0,15 Тл на прямолинейный проводник длиной l = 0,2 м, если его сопротивление R = 0,01 Ом, электрическая мощность N = 4 Вт? Вектор индукции поля перпендикулярен проводника.

		Решение
I = N ;	F	= IBl = N Bl = 0,6H;
R	A	R

14. Прямолинейный проводник длиной l = 0,2 м и массой m = 5 10 − 3 кг подвешен на двух лёгких нитях в однородном магнитном поле, вектор индукции которого имеет горизонтальное направление и перпендикулярен проводнику. Какой величины и какого направления надо пропустить через проводник ток, чтобы нити разорвались? Индукция магнитного поля составляет B = 0,5 Тл. Каждая нить разрывается при нагрузке = 0,4 Н.

194

Решение

1.Максимально допустимая нагрузка на

нити:

= N1 + N2 ;

2.Условие равновесия проводника в ус-

ловиях четырёх действующих	сил
{N1; N2 ;mgr;FA } в проекции на вертикальную
ось:		Рис. 14. Разрыв нитей
≤ mg + FA = mg + IBl;
− mg = IBl;
I = − mg =	0,8 − 0,05	= 7,5A;
Bl	0,01

15. Проводник длиной l и массой m подвешен на тонких проволочках. При прохождении по проводнику тока силой I проволочки отклоняются от вертикали на угол α. Определить величину индукции магнитного поля.

Решение

1.	Условия равновесия проводника в откло-
нённом состоянии:
	Tcosα - mg = 0;				FA	= tgα;
	FA −Tsin α =
		0;			mg		характери- Рис. 15. Отклонение проводника
2.	Выразим силу	Ампера			через
зующие её величины			IBl					mgtgα
				= tgα;			B =		;
								Il
			mg

16. На горизонтальных рельсах, расстояние между которыми l = 0,5 м, перпендикулярно им лежит стержень массой m = 0,5 кг. Рельсы и стержень помещены в магнитное поле с индукцией В = 40 мТл. Коэффициент трения между рельсами и стержнем μ = 0,1. Ток какой силы нужно пропускать по проводнику, чтобы он начал равномерно передвигаться.

		Решение
μmg = IBl;	I =	μmg	=	0,1 0,5 9,82	≈ 24,55A;
		Bl		4 10−2 0,5

17. Прямолинейный проводник длиной l = 2 м, по которому пропущен ток силой I = 4,5 А, помещён в однородное магнитное поле с индукцией В = 0,5 Тл перпендикулярно линиям магнитной индукции. Проводник сместился на расстояние r = 0,2 м. Вычислить работу сил поля при указанном смещении проводника.

195

Решение

A= FAr = IBlr = 4,5 0,5 2 0,2 = 0,9Дж ;

18.Проводник длиной l = 0,3 м стоком силой I = 20 А расположен под углом α = 300 к однородному магнитному полю с индукцией В = 0,4 Тл. Определить работу, совершённую полем при перемещении проводника на расстояние r = 0,25 м перпендикулярно магнитному полю.

Решение

A= FArsinα = IBlr cos(π2 − α) = 20 0,4 0,3 0,25 0,5 ≈ 0,3Дж;

19.Два параллельных проводника с одинаковыми силами токов, находящимися на расстоянии r = 8,7 см друг от друга, притягиваются друг к другу с силой F = 25 мН. Определить силу тока в проводниках, если длина каждого из

них l = 320 см.

Решение

F =

μμ

2I I

μ ≈1; I

= I

;

F =

μ

I2

l;

μ

=

4π 10

−

7

Гн

;

0

1 2 l;

0

0

4π

r

1

2

2πr

м

I =

2πrF

=

6,28 0,087 25 10−3

≈ 58,3A ;

μ0l

12,56 10−7 3,2

20. К источнику постоянного напряжения U =

130 В подключен алюминиевый проволочный квадратный контур с диагональю, выполненный проводом с площадью поперечного сечения s. Плоскость контура расположена параллельно линиям индукции магнитного поля. Определить модуль силы, действующей со стороны поля на контур, если индукция магнитного поля равна В.

Решение

1. Обозначим длину стороны квадрата через l

Рис. 20. Контур с диагональю а её электрическое сопротивление через R, длину

диагонали − L, тогда:

L = R 2;

2. Электрическое сопротивление стороны квадрата:

Rl = ξsl;

3. Электрическое сопротивление диагонали квадрата:

RL = 2sξl;

4. Суммарное сопротивление двух сторон квадрата: R2l = 2Rl = 2sξl;

5. Сила тока через стороны квадрата и его диагональ:

196

Il = 2Usξl; IL = Us2ξl ;

6. Сила Ампера будет действовать только на стороны, перпендикулярные полю и на диагональ:

FA =	Us Bl+	Us	Bsin α	2l =	UsB (1+ sin 450 );
	ξl	2ξl			ξ

21.Металлический шарнирно закреплённый

вточке О стержень массой m = 1 кг и длиной l =

0,5 м прислонён к опоре так, что образует с горизонтом угол α = 600. Индукция магнитного поля равна B = 2 Тл. Ток какой силы надо пропустить по стержню, чтобы он перестал оказывать давление на вертикальную опору?

Решение

1. Сила Ампера перпендикулярна стержню и

приложена в его середине. Величина N2 = 0 при Рис. 21. Опёртый стержень равенстве модуля силы Ампера проекции силы

тяжести на перпендикуляр к стержню:

	IBlsinα = mgcosα; I =	mg	;	I ≈	1 10 0,5	≈ 2,7А;
		Bltgα			2 0,5 1,8

22. Стержень массой m лежит перпендикулярно рельсам, расстояние между которыми l. Рельсы составляют с горизонтом угол α. Какой должна быть индукция магнитного поля, перпендикулярная плоскости рельсов, чтобы стержень пришёл в движение при пропускании по нему тока силой I. Коэффициент трения скольжения стержня о рельсы равен μ.

Рис. 22. Стержень на рельсах

Решение

IB1l+ mgsinα - μmgcosα = 0;
IB1l− mgsinα - μmgcosα = 0;

B	=		mg(μcosα −sin α)	;
1			Il
B	=	mg(μcosα + sin α)		;
1			Il

197

10.Сила Лоренца

23.Электрон влетает в однородное магнитное поле, индукция которого В = 0,5 Тл, со скоростью v = 2 104 км/с перпендикулярно линиям индукции. Определить силу, с которой магнитное поле действует на электрон. Чему равна работа этой силы?

Решение

1.

Значение силы Лоренца, действующей на электрон:

r

r

r

r

r

FL

= e(vr×B);

FL

= evBsin(vr;B);

(vr;B)=

π2 ;

F

= evB =1,6 10−19 2 107 0,5 =1,6 10−12 H;

L

2.

Работа силы Лоренца:

r

r

r

r

A1→2 = F rr1→2

;

A1→2 =

F

rr1→2

cos(F;rr1→2 );

(F;rr1→2 )=

π; A1→2 = 0;

2

24. В однородное магнитное поле с индукцией В = 0,8 Тл влетает протон со скоростью v = 5 105 м/с под углом α = 300 к линиям индукции. Определить силу, действующую на протон со стороны магнитного поля.

r	r	r	Решение
			r	r
FL = e(vr	×B);	FL	= evBsin(vr;B);	sin(vr;B)= 0,5;

FL = evB =1,6 10−19 5 105 0,8 0,5 =1,6 10−14 H;

25. Определить удельный заряд электрона, влетающего в однородное магнитное поле с индукцией В = 2 10 − 3Тл перпендикулярно линиям индукции со скорость. v = 3,6 106 м/с и продолжающего движение по круговой орбите радиусом r = 1 см.

Решение

r

r

mev2

e

v

3,6 106

11

Кл

F

+ F

= 0;

evB =

;

ζ =

=

=

=1,8 10

;

r

me

Br

2

10−3 1 10−2

кг

L

i

26. Протон, прошедший ускоряющую разность потенциалов U, влетает в однородное магнитное поле с индукцией В и движется по окружности. Определить радиус окружности r. Будет ли изменяться энергия электрона при движении в магнитном поле?

Решение

1. Скорость протона после разгона электрическим полем:

		m	v2			2q	p	U
	qpU =	p		;	v =				;
		2				mp

198

= qpU = const;

2. Радиус траектории протона в магнитном поле:

		m	v2		m	v		m	p
	qpvB =	p		; r =	p		=
		r			qpB			qpB

3. Энергия протона в магнитном поле:

Kp = mpv2 2

2qpU = 1 mpU ; mp B qp

27. В однородное магнитное поле перпендикулярно линиям магнитной индукции влетает электрон со скоростью v. Определить индукцию поля, если электрон описал окружность радиусом r.

			Решение
r	r			mev	2		mev
F	+ F	= 0;	evB =			; B =		;
L	i			r			e

28. Электрон и протон, двигаясь с одинаковой скоростью, попадают в однородное поле. Сравнить радиусы кривизны траекторий протона и электрона.

re = mev ;

eB m v

rp = p ; eB

Решение

	rp	=	mp		=	1,67 10−27	≈1833;
	r		m	e		9,11 10−31
	e

29. Электрон и протон, удалённые друг от друга на значительное расстояние, находятся в однородном магнитном поле. Сравнить угловые скорости частиц.

Решение

eveB =

m

v2

eB =

m ω r

;

e

e ;

e e e

ω

mp

1,67 10−27

re

re

=

≈

≈1833;

v2

mpωprp

e

9,11 10−31

m

m

eB =

ω

p

p

p

e

evpB =

;

rp

;

r

p

30. Электрон движется по окружности в однородном магнитном поле с индукцией В = 12 мТл со скоростью v = 3 104 м/с. Определить период обращения электрона.

Решение

evB =

m

v2

;

eB =

m

v

=

m

e

ωr

= meω =

2πm

e

;

e

e

r

r

r

T

T =

2πm

e ≈

6,28 9,11 10−31

≈ 3 10

−

9 c;

eB

1,6 10−19

12 10−3

199

31. Электроны, летящие в телевизионной трубке, обладают энергией Ке = 1,92 10 − 15 Дж. Трубка ориентирована так, что электроны движутся с юга на север. Вертикальная составляющая земного магнитного поля направлена вниз, его индукция составляет В = 55 10 − 6 Тл. В каком направлении будет отклоняться электронный луч? Каково ускорение каждого электрона. На сколько отклонится луч по вертикали , пролетев расстояние L = 0,2 м внутри трубки?

Рис. 31. Отклонение электрона

Решение

1. Начальная скорость электрона:

K

=

m

v2

v =

2K

≈

2 1,92 10−15

≈

6,5 107

м

;

e

e

;

e

9,11 10−31

с

2

me

2. Ускорение электрона:

evB

1,6 10−19 6,5 107 55 10−6

14

м

evB = mea;

a =

me

≈

9,11 10−31

≈ 6,5 10

;

с2

3. Отклонение электрона к востоку вследствие действия силы Лоренца:

L = v0τ;

τ =

L

;

v0

14

0,04

aτ2

h ≈

6,5 10

≈ 5,4 10

−3

м;

h =

2

2 4,2

15

2

.

h =

aL

;

10

2

2v0

32. Напряжённость однородного электриче-

ского поля равна Е = 500 В/м, а индукция одно-

родного магнитного поля составляет В = 1 мТл,

причём E B . С какой скоростью должен ле-

теть электрон, чтобы двигаться прямолинейно?

Решение

eE = eBv;

v =

E

= 500

= 5 105 м;

B

10−3

с

Рис. 32. Полёт электрона

200