Идентификация динамического объекта явным мнк

Рассмотрим применение явной формы МНК для параметрической идентификации той же АРСС-модели объекта второго порядка с учетом заданных порядков .

Использование модели для оценок коэффициентов на основе выборки изN(от 1 доN) экспериментальных данных приводит к следующей системе уравнений вида

Матричная форма записи данной модели имеет стандартный вид линейной модели:

С учетом обозначения матрицы исходных данных входа-выхода

параметры дискретной модели определяются на основе общего соотношения МНК следующим образом:

Приведем программную реализацию явного МНК объекта второго порядка с передаточной функцией и коэффициентами.

s1=tf([25],[36 15 1])% непрерывная передаточная функция объекта

T_end=60;% интервал измерений

dt=0.2;% шаг дискретизации

t=0:dt:T_end;% массив дискретного времени

N=length(t);% размер выборки

u=ones(N,1);% моделирование единичного входного воздействия

y=lsim(s1,u,t);% моделирование выходного воздействия

n=2;% порядок объекта

R=[y(n:N-1)y(n-1:N-2)u(n:N-1)];% формирование расширенной матрицы данных

Y=y(n+1:N);% формирование вектора выходных данных

betta=inv(R'*R)*R'*Y;

% расчет параметров непрерывной модели

T1=dt^2/(1-betta(1)-betta(2))

T2=(betta(2)*T1+T1+dt^2)/dt

K=betta(3)*T1/dt^2

Рассчитанные оценки параметров дискретной модели:

a1 = 1,9190;a2 = -0,9200;b= 0,0266.

Рассчитанные оценки параметров непрерывной модели:

T1 = 37,5243; T2 =15,2014; K = 25,0000.

Из полученных результатов видна удовлетворительная точность оценивания параметров. При этом расчетная практика показывает, что метод чувствителен к помехам, их целесообразно отфильтровывать.

Идентификация динамического объекта рекуррентным мнк

Приведем программную реализацию оценивания параметров объекта из предыдущего примера с помощью рекуррентного МНК при использовании АРСС-модели объекта второго порядка.

s1=tf([25],[36 15 1])% непрерывная передаточная функция объекта

T_end=60;% интервал измерений

dt=0.2;% шаг дискретизации

t=0:dt:T_end;% массив дискретного времени

N=length(t);% размер выборки

u=ones(N,1);% массив значений единичного входного воздействия

y=lsim(s1,u,t);%массив значений выходного воздействия

n=2;% порядок объекта

I=diag([1 1 1]);

i=1;% начальный шаг

P=1000*I;% начальное приближение

betta=[0;0;0];

bet(i,:)=betta;% массив оценок параметров

% очередной шаг вычислений

fori=n:N-1

R=[y(i+n-2:-1:i-1);u(i+n-2:-1:i)]';% формирование расширенной матрицы данных

gamma=P*R'/(R*P*R'+1);

betta=betta+gamma*(y(i+1)-R*betta);

P=(I-gamma*R)*P;

bet(i,:)=betta;

end;

plot(bet,'+');

T1=dt^2/(1-betta(1)-betta(2))% расчет параметров непрерывной модели

T2=(betta(2)*T1+T1+dt^2)/dt:

K=betta(3)*T1/dt^2.

Оценки параметров непрерывной модели:

T1 = 35,6366; T2 =15,4333; K = 25,0975.

Из полученных расчетных результатов видна высокая точность оценивания всех параметров модели. Расчетная практика показывает, что рекуррентный МНК по сравнению с его явной формой обладает лучшей сходимостью и требует для достижения той же точности выполнения меньшего количества шагов и, соответственно, вычислений.

Задание

1. Провести эксперимент с моделью, соответствующей вашему варианту. Модель взять из файла по адресу \\auts0\Student\ИДС\plant_model_2012_5.mdl. Номер модели совпадает с номером вашей бригады. Зафиксировать переходную характеристику.

2. Провести идентификацию с помощью МНК.

3. Верифицировать полученные модели.

5. Сделать выводы о проделанной работе.

Контрольные вопросы

1. Сформулировать критерий идентификации при использовании МНК.

2. В чем состоит отличие явной формы МНК от рекуррентной?

3. Как формируются матрицы экспериментальных данных в том и другом случае?

Лабораторная работа №3

Параметрическая идентификация импульсной переходной функции объекта

Цель работы.

Освоить применение явной и рекуррентной формы МНК для параметрической идентификации заданной модели объекта.

Теоретические сведения

Требуется определить ИПФ по результатам измерений входного и выходного сигналов на конечном промежутке времени длительностью Т в условиях действия помехи типа белого шума, приведенной к выходу.

Выходной сигнал линейной стационарной системы при нулевых начальных условиях выражается стандартным интегралом свертки

где – импульсная переходная функция.

Проведем временную дискретизацию уравнения с равномерным интервалом квантования . Выходной сигнал в произвольный момент времениопределяется следующим соотношением:

где – время измерения выходного сигнала;– время оценивания, т.е. установления реакции ИПФ (не более 5% от своего пикового значения).

Запишем выражение в компактном виде:

,

где

Проведенная процедура дискретизации во времени приводит к тому, что оценивание непрерывной функции заменяется оцениванием конечного множества параметров.

Выражения в развернутом виде представляются следующим образом:

или в матричной форме:,

где – вектор-столбец идентифицируемых параметров,иU– вектор-столбцы и матрица соответствующих выборочных значений.

Таким образом, оценивание ИПФ сводится к оцениванию вектора параметров при заданной матрицеUи векторе измеренийу. Результатом оценивания является нахождение вектора, минимизирующего сумму квадратов невязок на интервале измерения

Оценка по МНК находится из условия экстремума функционала

Система уравнений в матричной форме имеет вид:

и ее решение относительно вектора параметров находится следующим образом:

Соответственно, выражение явной формы метода наименьших квадратов для оценивания конечного множества параметров импульсной переходной характеристики принимает следующий вид:

Перепишем уравнение относительно сумм выборочных значений сигналов:

.

Методический пример

Выполнение работы:

1. Идентифицируем объект с помощью случайной последовательности 1 и -1, то есть подадим на вход генератор случайных чисел, ограниченный значениями 1 и -1.

Открываем Matlab Simulinkнажатием на значокна панели инструментов и строим там следующую модель:

Рис. Имитационное моделирование системы.

Для этого выбираем File/NewModelи перетаскиваем на свободное пространство необходимые блоки из Simulink Library Browser. Теперь все элементы соединяем стрелочками. Потом жмем на значок треугольника в панели инструментов наверху.

Подробнее рассмотрим построение данной модели в математическом пакете Matlab.

В качестве исследуемого объекта возьмем апериодическое звено 1-го порядка, с заранее известными параметрами:

Т=6,5[c],k=12,4.

В блоке Transfer Function мы задаем эти параметры, нажав на самом блоке 2 раза левой кнопкой мышки.

В параметр Numerator coefficientsмы записываем значение, которое пишется в числитель, т.е.12,4.

В Denominator coefficients мы записываем коэффициенты знаменателя.

Блок Random Number – источник дискретного сигнала, значения которого являются случайной величиной, распределенной по нормальному (гауссовому) закону:

2. Установим в диалоговом окне Simulation/Parametersфиксированный тип шага и модель третьего порядка в качестве метода.

3. Возьмем нужное число первых значений переменной u и сформируем квадратную матрицу

Полученные результаты

11. Рисунок – Сравнение результатов идентификации