Так как в точке Р скорости VPC и VC направлены по одной прямой проти-

воположные стороны и VР = 0 , то VPC = VC, откуда получаем, что ω = VC./R,

следовательно, VAC = ω R = VC.

Скорость точки А является диагональю квадрата, построенного на взаимно перпендикулярных векторах VA и VAC , модули которых равны, следова-

тельно VA =VC 2.

Аналогично определяется скорость точки D. Скорость точки B равна

VB =VC +VBC , при этом скорости VC и VBC равны по модулю и направлены по одной прямой, поэтому VB = 2VC .

План скоростей

План скоростей представляет собой графический метод определения скоростей точек плоской фигуры.

Пусть известны вектор скорости точки А и направление скорости точки В плоской фигуры (рис.8). Определим вектор скорости точки В.

Скорость точки В определяется формулой

VB =VA +VBA .

В этой формуле известны направление и модуль скорости точки А и на-

правления векторов VB и VBA ( VBA AB ).

Выбираем (рис. 8а) неподвижный центр О, откладываем от него в произвольно выбранном масштабе вектор Oa =VA , получаем точку а. Затем из центра О поводим прямую, параллельную скорости VB , а из точки а проводим прямую, параллельную скорости VBA , (перпендикулярно отрезку АВ). Точка пересечения этих прямых определяет точку в. Соединяем центр О с точкой в, получаем вектор Ob =VB , в полученном треугольнике Оав вектор ab =VBA .

VA	а	а
	С
А
	AB
	В	О

AC

с О

	в	в	BC
Рис.8	Рис.8а		Рис.8 б

6

Определим на плане скоростей модуль и направление скорости еще одной точки С. На основании формул

VC =VA +VCA , VC =VB +VCB

Можно записать

VA +VCA =VB +VCB .

Проведем из точки а прямую (рис.8 б), перпендикулярно отрезку АС (так как VCA AC ). Конец вектора VCA должен лежать на этой прямой. Из

точки b проведем прямую перпендикулярно отрезку ВС (VCB BC ). Конец вектора VCB лежит на этой прямой. Следовательно, точка пересечения прямых, проведенных из точек а и b, определит точку с. Соединяя центр О с точкой с прямой, получим вектор Oc =VC

Фигура Оаbс представляет собой графическую картину распределения скоростей плоской фигуры и называется планом скоростей. Точки а.b, с называются вершинами плана скоростей, векторы Oa, Ob ,Oc представляют

скорости точек А, В, С. Векторы ab , bc, ac равны скоростям точек В, при вращении вокруг соответствующих полюсов. Как следует из построения тре-

угольники АВС и авс подобны и повернуты друг относительно друга на угол

900.

Пример. Определить скорости точек В и С шатуна кривошипношатунного механизма (рис.9) путем построения плана скоростей, если известно, что угловая скорость кривошипа ОА равна ω и АС = СВ.

Решение. Скорость точки А перпендикулярна кривошипу и равна

VA = ω OA.

Скорость VB точки В направлена горизонтально влево.

VB =VA +VBA , VBA AB .

Выберем полюс О и отложим из него в выбранном масштабе вектор Oa =VA . Из этого же полюса проведем прямую, параллельную вектору VB . Затем из конца вектора Oa поведем прямую, перпендикулярную шатуну АВ. Точка пересечения этой прямой и прямой, параллельной VB , определяет ко

	VA
	A		а
	C		с
O		в	О
	VB
		B	Pис.9 а
	Pис.9

7

нец вектора ab =VBA .

Аналогично, VC =VA +VCA , VCA CA. Кроме того, VCA = CA .

VCA BA

Для того, чтобы определить вектор Oc =VC , разделим пополам на плане скоростей отрезок ав (рис.9а) полученную точку с соединим с точкой О вектором Oc =VC .

Теорема Жуковского.

Проекции скоростей двух точек плоской фигуры на прямую, соединяющую эти точки, равны между собой (рис.10).

Рассмотрим две точки А и В плоской фигуры. Выбираем точку А за полюс, тогда скорость точки В связывается со

		VBA	VB	скоростью точки А равенством
	VA		VA	VB =VA +VBA .
		900 β
	α		α
	А	В		Проектируя это равенство на прямую

АВ, и учитывая, что VBA AB , находим

Рис. 10

VB cosβ =VA cosα.

Таким образом, проекции скоростей точек А и В на прямую АВ равны:

пр (VA)AB = пр(VВ)AB.

Мгновенный центр скоростей . Свойства м.ц.с.

Мгновенным центром скоростей называется точка Р плоскости, жестко связанной с плоской фигурой, скорость которой в данный момент равна нулю.

Теорема о существовании мгновенного центра скоростей.

VA
А 900 В	VB
900

Докажем, что при плоском движении существует точка, скорость которой в данный момент равна нулю.

Пусть в момент времени t точки А и В плоской фигуры (рис.11) имеют скорости VA и VB, не параллельные друг другу. Проведем к скоростям в точках А

Ри В перпендикуляры и определим точку их пересече-

Рис.11

8

ния Р. Находим скорость этой точки с помощью теоремы Жуковского:

пр (VA)AР = пр(VP)AР.

пр (VВ)AР = пр(VP)AР.

Так как скорость VA AP , то ее проекция на прямую АР равна нулю, точно также проекция VB на прямую ВР равна нулю. Оказалось, что проекции скорости точки Р на две пересекающиеся прямые АР и ВР равны нулю, следовательно, скорость точки Р равна нулю.

Таким образом, точка Р является мгновенным центром скоростей.

Свойства мгновенного центра скоростей

Выберем мгновенный центр скоростей Р плоской фигуры за полюс. Тогда скорость точки А будет

VA =VP +VAP .

Скорость точки Р равна нулю, следовательно, VA =VAP .

Скорости точек плоской фигуры в данный момент определятся так, как будто плоская фигура вращается вокруг мгновенного центра скоростей.

Отсюда следует:

1. Скорость каждой точки направлена перпендикулярно отрезку, со-

единяющему точку с мгновенным центром скоростей:

VA AP, VB BP.

2. Скорость каждой точки равна произведению угловой скорости

плоской фигуры на расстояние точки до мгновенного центра скоростей.

VA =ω AP, VB =BP.

3. Скорости точек плоской фигуры пропорциональны их расстояни-

ям до мгновенного центра скоростей

VA = AP

VB BP

4.Угловая скорость плоской фигуры равна скоростей любой ее точки, деленной на расстояние до мгновенного центра скоростей.

ω = VAPA = VBPB .

9