Рис.12

Способы нахождения мгновенного центра скоростей

Для определения положения мгновенного центра скоростей плоской фигуры необходимо знать только направления скоростей двух ее точек.

Указанные свойства позволяют определить положение мгновенного центра скоростей плоской фигуры в различных случаях.

	VA		1. Если скорости двух точек не параллельны,
А	В	VB	то мгновенный центр скоростей лежит в точке
	900		пересечения перпендикуляров к ним, что следует из
	900
			теоремы о существовании мгновенного центра ско-

Рростей (рис.12).

2. Если плоское движение осуществляется

качением без скольжения одного твердого тела по неподвижной поверхности другого, то точка их контакта Р имеет в данный момент скорость, равную нулю, и, следовательно, будет мгновен-

ным центром скоростей (рис.13).

3. Если скорости двух точек А и В плоской фигуры параллельны и с прямой, соединяющей эти точки, составляют прямые углы, то мгновенный центр скоростей Р находится как точка пересечения об-

Рщего перпендикуляра, восстановленного к скоро-

Рис.13	стям в данных точках, и прямой, проходящей через
	концы векторов скоростей (рис.14 и рис.15).

4. Если скорости двух точек параллельны и с прямой, соединяющей точки образуют острые углы, то мгновенный центр скоростей не суще-

ствует (находится в бесконечности). В этом случае скорости всех точек плоской фигуры равны, а угловая скорость равна нулю (рис. 16).

А	VA		А			VA	А	VA
	90	0		90	0

В 90V0B

Р VB

В

Р	900
	В
	VB
Рис. 14	Рис. 15	Рис. 16

10

Решение задач с помощью мгновенного центра скоростей.

Задача 1. Найти скорости точек А, В и D обода колеса, катящегося по прямолинейному рельсу без скольжения, если скорость центра колеса С равна VC.

Определить скорости точек А, В, D и угловую скорость колеса.

Решение. Мгновенный центр скоростей

Р колеса находится (рис.177) в

точке контакта колеса с неподвижной плоскостью. Скорости точек А, В, D

VD

перпендикулярны к отрезкам, соединяющим эти

D

точки с точкой Р, модули скоростей пропорцио-

VA

нальны их длинам:

С

VC

В

Расстояния точек А и В до мгновенного цен-

А

тра скоростей одинаковы,

следовательно, скоро-

VB

сти этих точек равны

VA =VB =VC

2.

Скорость точки D равна 2VC , так как рас-

P

стояние точки D

до мгновенного центра скоро-

Рис.17

VA =

стей в два раза больше расстояния СР .

AP

; V

=V AP ;

AP = R 2, V

=V 2.

V

CP

A

C CP

A

C

C

VC

VC

Угловая скорость колеса равна

ω =

=

.

CP

R

Задача.2. Диск зажат между двумя рейками, (рис.18) которые движутся со скоростями V1 и V2 (V1 > V2).

Определить угловую скорость диска и скорость его центра, если его радиус равен R.

АVAa

С VC с

ВVB

b

Р

Рис.18

Решение. Скорость точки А диска равна скорости верхней рейки, а скорость точки В – скорости нижней рейки. Мгновенный центр скоростей находится в точке Р (рис.16). Скорость точки С является средней линией трапеции ВАав:

VC = V1 +2V2 .

Угловая скорость

ω = VAPA = VBPB = APVA −−VBPB = V12−RV2 .

Задача 3. Кривошипно-шатунный механизм

11

Угловая скорость кривошипа равна ωОА. Определить угловую скорость шатуна и скорости точек А,В, и С для трех положений механизма.

Кривошип ОА вращается вокруг точки О, шатун АВ совершает плоское движение в плоскости чертежа. Во всех случаях скорость точки А перпендикулярна кривошипу и равна VA =ωOA OA. , а скорость точки В направлена по

горизонтальной прямой.

1. Кривошип ОА образует острый угол с горизонтальной прямой

P

(рис.19). В этом случае мгновенный

центр скоростей шатуна находится в

точке Р, где пересекаются восстановлен-

ные в точках А и В перпендикуляры к

скоростям в этих точках.

VA

AP

BP

VA

= BP

VB =VA AP .

VB

A

Скорость точки С направлена перпенди-

VC

C

кулярно отрезку РС и находится из про-

порции:

O

VC

=

CP

V

=V

CP .

VB

VA

AP

C

A

AP

B

Угловая скорость шатуна равна

Pис.19

ωAB =

VA

AP

2. Кривошип и шатун расположены на одной прямой (рис.20).

В этом положении мгновенный центр скоростей находится в точке В,

VA

поэтому скорость VB

равна нулю. Ско-

VC

рость точки С находится из пропорции:

VC

CB

CB

O

=

V =V

.

VA

AB

C

A

AB

A

C

B

Угловая скорость шатуна равна

Рис.20

ωAB =

VA

.

AB

VA A

3.

Кривошип

занимает

вертикальное положение (рис.21). В

VC

C

этом случае мгновенный центр скоростей

шатуна находится в бесконечности, скоро-

O

VВ

B

сти всех его точек равны, угловая скорость

шатуна равна нулю.

Рис. 21

12

Задача 4. Определить скорости точек А, В, Р подвижного блока 3 (рис.22) и его угловую скорость, если скорость тела 1 равна V1

Решение. Подвижный блок совершает плоское движение. Скорость точки контакта Р подвижного блока с неподвижной нитью равна нулю: VР = 0, т.е. точка Р – мгновенный центр скоростей подвижного блока.

Скорость точки С перпендикулярна отрезку, соединяющему ее с мгновенный центром скоростей: VC CP .

			2
		О
	VС	VА
Р С		А	1
3	B
	Рис.22		V1

Скорости точек при плоском движении пропорциональны расстояниям до мгновенного центра скоростей

VC = CP .

VA AP

VA = V1, так как точка А и тело 1 связаны нерастяжимой нитью, тогда

VC = 0,5R .

V1 R

Следовательно, VC = 0,5 VA = 0,5 V1.

Задача 5. Определить угловую скорость и скорости точек А, В, С и Р катушки 3 (рис.23), если скорость груза 1 равна V1.

VA	A		3
VC	С	R
	r
	P	B VB	2
			O

Рис.23

V1

Решение. Скорость точки В катушки равна скорость груза 1, так как они связаны нерастяжимой нитью: VВ = V1.

При качении без скольжения в точке контакта катушки с рельсом находится мгновенный центр скоростей Р. Скорости точек А и С перпендикулярны отрезкам, соединяющим эти точки с мгновенным центром скоростей и пропорциональны их расстояниям до мгновенного центра скоростей, поэтому

		VC	=	CP	;		VC	=	r	.
		V		BP		V			R −r
		B					B

Отсюда			VC	= VB		r		= V1	r
						R − r			R
Аналогично определим скорость точки А.
VA =	AP	;	VA =		r +R		.
	BP
V			V		R −r
B			B

Следовательно,

13

V		=V		r +R	=V		r +R	.
			B R −r
	A					B R −r

Задача 6. Определить угловую скорость и скорости точек А, В, D, E шестерни 3 (рис.24), которую приводит в движение кривошип ОА, вращающийся вокруг оси О неподвижной шестерни 1 с угловой скоростью ωОА.

		3			VD
			D
	В VA			В		D
		А	VВ		VA
						VE
	1		Е
					А	Е
	ωАВ			P
		2

О	О
Рис.24	Рис.24 a

Решение. Скорость точки А, принадлежащей кривошипу ОА, перпендикулярна кривошипу и равна VA = ωAB AB.

Шестерня 3 совершает плоское движение, ее мгновенный центр скоростей находится в точке зацепления Р с неподвижной шестерней 1 (рис. 24а). Скорости точек В, Е и D перпендикулярны отрезкам, соединяющим их с мгновенным центром скоростей.

VB BP , VD DP , VE EP .

Скорости точек пропорциональны отрезкам, соединяющим эти точки с мгновенным центром скоростей Р.

VB =VE , так как расстояния этих точек до мгновенного центра скоростей равны: ВР = ЕР.

		VA		= AP ; откуда VB =VA BP		=VA	R	2	=VA 2.
	V							R
				BP	AP
			B
Аналогично определяем скорость точки D.
	VA		=	AP ;	откуда VD =VA DP =VA 2R			= 2VA.
V				DP	AP	R
	D

Задача 7. Определить скорости точек А, В, С, D и угловые скорости звеньев механизма, изображенного на рис. 25, если угловая скорость криво-

шипа ОА равна ωОА.

Решение. Во всех вариантах скорость точки А, являющейся концом кривошипа ОА, равна VA = ωОА OA и перпендикулярна кривошипу.

14

Звенья ОА и ОВ механизма (рис.25) совершают вращательное движение. Скорость точки А, являющейся концом кривошипа ОА, равна VA = ωОА OA и перпендикулярна кривошипу.

Скорость VB OB .Звенья АС и ВD совершают плоское движение. Звено

Р2

СD движется

поступательно, по-

этому скорости точек C и D равны:

VB

VC = VD .

A

Мгновенный

центр

скоростей

VA

B

звена АС лежит в точке Р1 пересе-

ωOA O

чения перпендикуляров к скоростям

в точках А и С.

VC С

D

V

=

CP

,

CP

VD

C

1

V

=V

V

AP

1 .

A

C

A AP

1

1

Угловая скорость звена АС равна

ωAC =

VA

.

Рис.25

Р1

AP1

Проведем

перпендикуляры к

скоростям VВ

и VD , точка их пересечения Р2

- мгновенный центр скоростей

VB	BP2			BP
звена ВD. V	= DP , откуда			2
				VB =VD DP .
D	2			2
Угловая скорость звена ВD равна
	ωBD =	VB	.
		BP2

Задача 8. Определить скорости точек А, D и угловые скорости звеньев механизма, изображенного на рис. 26, если угловая скорость кривошипа ОА

равна ωОА.

Скорость точки А равна VA = ωОА OA и перпендикулярна кривошипу ОА. Звено АВ совершается плоское движение, скорость точки В направлена вертикально вниз. Мгновенный центр в данный момент находится в бесконечности, поэтому скорости всех его точек равны, а угловая скорость ωAB = 0 .

Скорость точки D перпендикулярна кривошипу О2D, следовательно, мгновенный центр скоростей звена ВD совпадает с точкой О2.

					Тогда		VD =	DO2 ;	откуда
О1	А			D			VB	BO2
							DO2 .
	ωОА	VD	90	0	V	=V
					D	B	BO2
	VA	В		О2						BD
					Угловая скорость				звена
					равна ωBD =		VB	= VD .
		VB					BO2	DO2

Рис.26	15

		Угловая скорость кривошипа O2D равна ωBD							= VD .
									DO2
		Задача 9. Определить скорости точек А, С, D и угловые скорости звень-
	ев механизма, изображенного на рис. 25,					если угловая скорость кривошипа
	ОА равна ωОА (рис.27).
		Решение. Звенья О1А и О2В совершают вращательные движения, поэто-
	му скорость точки А направлена перпендикулярно кривошипу О1А и равна
		VA = ωОА· OA.
		Скорость точки D перпендикулярна звену О2D.
		Звено АD совершает плоское движение, мгновенный центр скоростей
	этого звена лежит в точке Р пересечения перпендикуляров, проведенных в
				VD	точках А и D к скоростям VA и VD.
			VC		Скорость точки D находим из про-
	VA	А		D
			С		порции		VD		DP	. VD	=VA DP .
								=
	ωОА						VA		AP		AP
					Соединим					точек	С с мгновенным
		О1
			О2		центром скоростей Р, скорость точки С
					будет направлена перпендикулярно от-
		Р			резку СР.
		Рис.27			Модуль этой скорости найдем из
					пропорции				VC	= CP	, VC =VA CP .
									VA	AP	AP
		Угловая скорость звена АD равна ωAD =					VA .
							AP		VD .
		Угловая скорость кривошипа равна				ω		=
						O2D			O2 D

Задача 10. Определить скорости точек А, В, С, и угловые скорости звеньев механизма, изображенного на рис. 28, если угловая скорость криво-

шипа ОА равна ωОА.

Решение. Звенья ОА и DB совершают вращательные движения, поэтому

VA OA , VB

VC

VA

ωОА А

О

BD . Скорость точки А равна VA = ωОА· OA. Звено совершает

VВ			плоское движение, так как скорости точек А и В
		В	параллельны, то мгновенный центр скоростей
С			этого звена находится в бесконечности, поэтому
			скорости всех его точек геометрически равны

	VA = VB = VC.
	Угловая скорость звена AВ равна нулю. Уг-
D	ловая скорость кривошипа ВD равна
	ωBD = VB .
	BD

Рис.28

16

	Задача 11. Определить скорости точек А, В, С, D и угловые скорости
звеньев механизма, изображенного на рис. 29,						если угловая скорость криво-
	Р	D		шипа ОА равна ωОА.
			О2		Решение.			Скорость точки А
VA	А
		VD		перпендикулярна				кривошипу	и
				равна VA = ωОА· OA. Звено АВ со-
	VC	С		вершает			плоское	движение,	ско-
ωОА				рость VВ точки В направлена гори-
	О1	VВ	В	зонтально влево. В данном положе-
				нии		мгновенный		центр скоростей
		Рис.29		звена АВ находится в бесконечно-
				сти, поэтому скоростей всех					его
точек геометрически равны: VA = VB = VC.
	Звено CD совершает плоское движение, мгновенный центр скоростей
этого звена лежит в точке Р пересечения перпендикуляров, проведенных к
	скоростям в точках С и D. Скорость точки D найдем из пропорции
		VC =	CP	, VD =VC	DP .
		V	DP		CP
		D
Угловая скорость звена СD равна ωCD = VC .
				CP			= VD .
Угловая скорость кривошипа О D равна					ω
			2		O2D		DP

Задача 12. Определить скорость точки С и угловую скорость подвижного блока 3 (рис.30), если скорость тела 1 равна V1, r = 0,5R.

Решение. Блок 2 вращается вокруг точки О, скорость его точки В по ве-

VB

2

личине равна скорости тела 1, так

как они связаны нерастяжимой ни-

r O

1

тью: VB = V1.Скорость

точек

при

B

A

вращательном

движении пропор-

R

VA

V1

циональны

их

радиусам

вращения,

поэтому

VA

=

r

=

0,5R

= 0,5 .

Сле-

VD

VB

R

R

VC

довательно, VA = 0,5 VB.

D

К

Подвижный

блок 3 совершает

плоское движение,

при этом

VD =

С

P

VE

VB, VК = VA, так как соответствую-

3

V4

щие точки связаны нерастяжимыми

нитями.

4

Рассмотрим движение блока 3.

	Рис.30	Мгновенный центр скоростей нахо-
		дится в точке пересечения Р общего
		17

перпендикуляра, проведенного к скоростям VD и VК , и прямой, проходящей через концы этих векторов. Конец вектора скорости VС точки С лежит на прямой, соединяющей концы векторов скоростей VD и VК .

VК = VA = 0,5VB, VD = VB , тогда VК = 0,5VD.

Составим пропорцию:

VK = KP

VD DP .

Обозначив СР = х, тогда KP = R - x, DP = R + x. Подставив эти значения в пропорцию, получим

	0,5 V		R − x			R
	V	D =		,	откуда x =		.
			R + x
						3
	D

Тогда расстояние точки К до мгновенного центра скоростей Р равно KP = R – x = 2/3 R, т.е. расстояние точки С до мгновенного центра скоростей в два раза меньше, чем то же расстояние до точки К, поэтому скорость точки будет в два раза меньше скорости точки К. VC = 0,5· VK = 0,5 VA = 0,25 V1.

Угловая скорость блока 3 равна ω3 = CPVC = 0,25RV1 3 = 0,75VR1 .

Скорость груза 4, подвешенного на нити в точке С, равна скорости точки С.

V4 = VC = 0,25 V1.

Задача 13. Определить скорость точки С и угловую скорость кривошипа ОС указанного на рис.31 механизма, если скорость тела 1 равна V1 (радиусы тел 3 и 5 заданы).

2

5

Решение. Данный механизм со-

C

1

стоит из пяти, соединенных между

V1

O

4

собой тел.

1. Тело 1, двигаясь вниз по на-

клонной плоскости, сообщает телу 3

3

вращательное движение вокруг точ-

ки О.

Рис.31

В свою очередь тело 3, находясь

в зацеплении с телом 5, сообщает

VK

ему плоское движение.

5

Точка С тела 5 приводит в движение кривошип ОС, кото-

VA

K

рый вращается вокруг точки О.

A

2. Рассмотрим движение тела 3 (рис.31а). Скорость

O

точки А равна скорости груза 1, так как они связаны не-

растяжимой нитью. Определим скорость точки К.

3

Скорости точек вращающегося тела относятся как

их радиусы вращения:

Рис. 31 а

VA

=

r

.

VK

R

18

2 VK

O

Отсюда скорость

	VC	P	VK =VA	R	=V1	R	.
				r
		5				r
	K	C	3. Рассмотрим движение тела 5 (рис.31
		б).	Точка Р является мгновенным центром

скоростей, так как в этой точке тело 5 находится в зацеплении с неподвижной шестер-

3ней 2. Скорость точки находим из пропорции

VC

=

CP

,

Рис. 31 б

VK

KP

CP

r3

=VK

=V1 R .

VC

VC =VK

=

KP

C 5

2r3

2

2 r

4. Кривошип вращается (рис.31в) вокруг точки О

определим по форму-

O

4

с угловой скоростью, которую

VC

ле

ωOC =

.

OC

3

Рис. 31 в

Задача 14. Кривошип ОС соединяющий центры трех шестерен одинакового радиуса R (рис.32), вращается вокруг точки О с угловой скоростью ω.

			VС	Шестерня	1 закреплена	неподвижно,
				шестерни 2 и 3 приводятся в движение
			D
				кривошипом. Определить скорости точек
		VA	С	контакта	между шестернями, скорость
				точки D и угловые скорости подвижных
ω
		А	3	шестерен.
О			2	Решение.
				1. Рассмотрим движение кривошипа.
	1
				Скорости точек А и С (рис.32) на-
				правлены	перпендикулярно	кривошипу
	Рис.32			ОС и равны

VA = ω·OA = 2 ω R, VC = ω·OC = 4 ω R.

2. Рассмотрим движение шестерни 2.

Шестерня 2 совершает плоское движение, (рис.32 а) скорость точки А известна. В точке контакта с неподвижной шестерней 1 находится мгновенный центр скоростей Р.

19

VD

Скорость VK направлена перпендику-

лярно отрезку КР,

модуль ее определяет-

VК

VС

D

ся из пропорции

VK

=

KP

=

2R

= 2 ,

VA

С

VA

AP

R

А

К

откуда VK = 2 VA = 4ω R.

О Р

Угловая скорость шестерни 2 равна

ω2

=

VA

=

2ω R

= 2ω .

R

AP

Рис.32 а

3. Определим характер движения шес-

терни 3.

Скорости точек С и D шестерни 3 равны по модулю и параллельны, следовательно, шестерня 3 совершает поступательное движение, угловая скорость такого движения равна нулю.

Упражнения.

Определить с помощью мгновенного центра скоростей скорости точек А, В и С в механизмах, представленных на чертежах

А									В
				А
				300	C					300
	30	0	В	ωОА	О	300	В			C
								О
	VВ
Рис.1					Рис.2					300
											А
				В						Рис. 3
	A		C				ωОА
						O		A
ωОА
									C
O	450			450					30	0	В
							Рис.5
	Рис.4
				B			А	C		В
								600
O	ωОА		450					О
		A									20

Рис.6

А

СωОА

O	300	300	O
			В

		Рис.7
A		A
C	ωОА	C

600	300	O	B
	В

Рис.8

Рис.9

Рис.710

O	ωОА	A	C	B

Рис.11

O ωОА A

Рис.12

C

300 В

Ускорения точек плоской фигуры.

Движение плоской фигуры в своей плоскости можно разложить на поступательное движение вместе с произвольно выбранной точкой, принимаемой за полюс, и вращательное движение вокруг этого полюса.

Следовательно, ускорение любой точки при плоском движении равно

геометрической сумме двух ускорений: ускорения выбранного полюса, и ускорения, полученного данной точкой при ее вращательном движении вокруг полюса.

Пусть известно ускорение точки А плоской фигуры, тогда ускорение другой точки этой фигуры будет равно (рис.33).

aB = aA + aBA ,

где ускорение вращательного движения точки А вокруг точки В раскладывается на нормальное и касательное ускорения:

aBA = aBAτ + aBAn .

aA

aB

A

aA

a BA a n a BAτ

BA B

Рис.33

Касательное ускорение вращательного движения точки вокруг полюса направлено перпендикулярно отрезку АВ, соединяющему точку В с полюсом А, и равно

21

aτBA = ε BA.

Нормальное ускорение направлено по отрезку ВА к полюсу А и равно

aBAn =ω2 BA.

Окончательно, полное ускорение точки В равно геометрической сумме трех ускорений: ускорения выбранного полюса А, нормального и касательного ускорений вращательного движения точки В вокруг этого полюса:

aB = aA +aBAn +aBAτ .

Мгновенным центром ускорений называется точка, принадлежащая связанной с плоской фигурой плоскости, ускорение которой в данный момент равно нулю.

Если за полюс выбрать мгновенный центр ускорений, то ускорение произвольной точки плоской фигуры определяется как ускорение вращательного движения вокруг мгновенного центра ускорений (рис.34).

	aA = aAL = aALn + aALτ ,
где L –мгновенный		центр ускорений, aALn		-
нормальное		τ	касательное ус-			А
	ускорение, aAL -				aALτ	ε aALn
корение точки А вращательного движения пло-
ской фигуры вокруг мгновенного центра уско-						L
рений.	aALn =ω2 AL,		aτAL =ε AL.			aA
Ускорение aALn		- направлено по AL , уско-
рение aALτ	- перпендикулярно AL. Ускорение					Рис.34
aA точки А образует угол α с отрезком AL со-

единяющим точку А с мгновенным центром ускорений и равно (рис.35)

aA = (aALn )2 +(aτAL )2 = AL ω4 +ε2 ,
tgα = aτAL	=	ε	.	L
aALn		ω2	А	ε

Таким образом, если известно ускорение точки А плоской фигуры, то, чтобы найти положение мгновенного центра ускорений, следует это ускорение повернуть вокруг точки А на угол α в сторону вращения фигуры и на полученной прямой отложить расстояние

aВA ε aB

Рис. 35

22

AL =	aA
	ω4 +ε2 .

Если известны направления ускорений двух точек плоской фигуры, то мгновенный центр ускорений определяется как точка пересечения получен-

ных поворотом этих ускорений на один и тот же угол α = arctq ωε2 в сторону вращения.

Задача1. Центр колеса, катящегося без скольжения по горизонтальной плоскости, в данный момент имеет скорость VC = 2 м/c и ускорение аC = 1,6 м/c. Радиус колеса R = 0,4 м. Определить точек В и Р (рис. 36).

Решение. Так как скорость и ускорение точки С известны, то принимаем точку С за полюс.

	С		aC		В	aC	Тогда aB = aC +aBCn +aBCτ
							aP = aC +aPCn +aPCτ ,
			VC
aPCn					a n	где
					BC
τ						aBCn = ω2 BC = ω2 R,		aPCn = ω2 PC = ω2 R,
aPC		Р	aC			τ	= ε BC = ε R,	τ
Рис. 36						aBC		aPC = ε BC = ε R.

Мгновенный центр скоростей колеса находится в точке Р – точке каса-

ния колеса с неподвижной плоскостью, поэтому

VC = ωCP =ω R, откуда ω =

VC

, при t = 1c, ω =ω =

2

=5 (1/ c).

R

0,4

Угловое ускорение колеса

ε =

dω

=

1

dVC

=

aC

, при t =1 c, ε =

1,6

= 4 (1/ c2 )

dt

dt

0,4

R

R

Тогда

aC

aC

aτBC = ε R =

R = aC ,

aτPC = ε R =

R = aC .

R

R

Ускорение точки Р будет направлено к центру колеса точке С и равно

aP = aBCn =ω2 R = 52 0,4 =10 (м/ c2 ) .

Для определения ускорения в точке В спроектируем векторное равенство aB = aC +aBCn +aBCτ на горизонтальную ось x и вертикальную ось у:

23

aBx	= aC − aBCn = aC −ω2 R =1,6 −52 0,4 = −8,4 ( м/ с2 )
aBy	= −aτDC = −aC = −1,6 ( м/ c2 )
aB =	aBx2 + aBy2 = (−8,4)2 +(−1,6)2 ≈ 8,55 ( м/ c).

Задача 2. Колесо радиуса R = 0,4 м катится без скольжения так, что центр колеса имеет постоянную скорость VC =2 м/c. Определить ускорения точек Р и М обода колеса(рис.37)

Решение. Так как скорость центра колеса является постоянной, то его

ускорение рений.

aMτ

M

aMn

aC = 0 , следовательно, точка С будет мгновенным центром уско-

VM

aMC VC

aP

Мгновенный центр скоростей находится в точке Р – точке контакта с неподвижной плоскостью. Значит

ω = CPVC = VRC = const.

Отсюда следует,

&	tgα =	ε		= 0, α = 0.
чтоε =ω = 0,		ω	2

Следовательно, ускорения всех точек колеса будут направлены к центру колеса и равны

	aM =ω2	2
Рис.37		CM = ω2 R = VC .
			R

Ускорение точки М, находящейся на ободе колеса, являясь полным ускорением криволинейного движения, раскладывается на касательное, направленное по скорости в этой точке, и нормальное ускорение, направленное по перпендикуляру к скорости, т.е. по прямой, соединяющей точку М с мгновенным центром скоростей. (рис.37.).

aM = aMn + aMτ ; aMn = aM cosα, aτM = aM sin α.

Задача 3. Определить скорости точек А, В, С и ускорения точек А и В кри- вошипно-шатунного механизма (рис.38), если кривошип вращается с посто-

y								янной угловой скоростью ωОА = 2
			А					1/с, ОА = АВ = 0,6 м, МВ = 0,3 м, ϕ
				C				=300.
О			ϕ	ϕ			В x	Решение. Скорость точки А
								(рис. 39) перпендикулярна криво-
			Рис.38					шипу ОА и равна
								VA =ωOA OA =1,2 м/c.

24

	Звено АВ совершает плоское движение/ Скорость точки В направлена
горизонтально, что обусловлено направляющими, вдоль которых движется
ползун В.
	Для определения скоростей точек А и В, принадлежащих шатуну АВ, оп-
ределим положение мгновенного центра скоростей этого звена. Проведем
			P		перпендикуляры				к	скоростям	в
					точках А и В, мгновенный центр
y	VA				скоростей Р находится в точке их
		A			пересечения.
		VC				Скорости точек при плоском
			C		движении пропорциональны рас-
О	300	300		x	стояниями до мгновенного центра
			В		скоростей.
		VB				VB =	AP
	Рис.39							. В треугольнике АВР:
АР = ВР, следовательно, VB=VA=1,2 м/с.						VA	BP
	Скорость VC	точки С направлена перпендикулярно отрезку СР, соеди-
няющему точку С с мгновенным скоростей. Значение скорости VC находим
из пропорции: VC		= CP . Из треугольника АСР:				СР =AP sin 60.
	VA	AP
	Следовательно, VC= VA sin 600 = 1,03 м/с.
	Угловая скорость шатуна равна			ωAB = VA		= 1,2	= 2	м/c.
					AP	0,6
		y		А
			aAn
					аВАn			aBAτ
		О	300
					aB		В	x
			Рис.40
	Ускорение точки А представляет собой нормальное ускорение аАn , на-
правленное по кривошипу (рис. 40)
	aAn =ωOA2		OA =2,4 м/c.
Ускорение точки В направлено по оси х и определяется векторным равенст-
вом:		aB = aAn +aBA = aAn +aBAn +aBAτ ,
										(а)
где векторы aBAn		и aBAτ	представляют собой составляющие ускорения вра-
щательного движения звена АВ вокруг точки А. Вектор								aBAn	направлен по
радиусу вращения ВА , ускорение aBAτ					- перпендикулярно АВ.
										25

Нормальное ускорение

aBAn =ωAB2 AB =2,4 м/с.

Таким образом, в уравнении (а) неизвестными являются ускорения aB и aBAτ . Для их определения спроектируем равенство (а) на оси х и у.

На ось х:

−aB

= −aAn cos 300

−aBAn cos 300

+ aτBA sin 300 .

(б)

На ось у:

0 = −aAn sin 300

+aBAn

sin 300 +aτBA cos300 .

(в)

Из уравнения (в) находим aτBA = aAn tg300 −aBAn

tg300 =0.

Угловое ускорение шатуна равно нулю.

Из уравнения (б) получаем aB =2,06 м/с.

Определим ускорение точки С (рис.41 ).

aC = aAn +aCA = aAn +aCAn +aCAτ

(г)

аАn

А

n

аCx

аCА

аn

О

300

аC

аCy

ВА В

x

Рис.41

Касательное ускорение

aCAτ = 0

Нормальное ускорение

aCAn =ω2 AC = 22 0,6 =1,2 (м/ c2 ).

Находим проекции уравнения (г)на оси Ох и Оу:

aCx = −aAn cos300 −aCAn cos300	= −1,82 (м/ c2 ).
aC y = −aAn sin 302 +aCAn sin 300 = −2,4 0,5 +1,2 0,5 = −0,6( м/ c2 ).
Ускорение точки С равно
aC = aCx2 +aCy2 = (1,82)2 +(−0,6)2	=1,91 ( м/ c2 )

26

Контрольрые вопросы

1.Определение плоскопараллельного движения.

2.Уравнения движения плоской фигуры.

3.Определение скоростей точек плоской фигуры.

4.Теорема Жуковского.

5.Мгновенный центр скоростей. Свойства м.ц.с.

6.Способы нахождения мгновенного центра скоростей.

7.Решение задач с помощью мгновенного центра скоростей.

8.Ускорения точек плоской фигуры.

Библиографический список

1.Бутенин Н.В и др. Курс теоретической механики.

Лань, 2002.- 736 стр.

2.Тарг С.М. Краткий курс теоретической механики. Высшая школа, 2004. – 416 стр.

3.Яблонский А.А., Никифорова В.М. Курс теоретической механики. Интеграл-Пресс, 2004. – 608 стр.

4.Яблонский А.А. Сборник заданий для курсовых работ по теоретической механике. Интеграл-Пресс, 2004. – 384 стр.

27