{F1 , F2 ,..., Fn }∞ 0 .

O = mO (

) +mO (

где

rA и

rB

- радиусы-векторы,

M

P1

P2 ) =

r

A ×P1 +

rB ×P2 =0,

проведенные из точки О в точки приложения сил

и

.

P1

P2

Заменим:

, получим

= (

= −

O =

rA ×P1 −

rB ×P1

rA −

rB ) ×P1

= BA

×

P1

= 0 .

P2

P1

M

Векторное произведение равно нулю в том случае, когда один из сомножителей равен нулю, или когда перемножаемые векторы параллельны. В нашем случае P1 ≠ 0 , BA ≠ 0. Следовательно, векторы P1 и BA параллельны. Отсюда следует, что

линии действия сил P1 и P2 совпадают с прямой АВ.

Итак, силыP1 иP2 равны по модулю, и направлены по одной прямой в противоположные стороны, такие силы уравновешиваются, т.е. {P1, P2 }∞0. Следовательно, эквивалентная ей система {F1 , F2 ,..., Fn } также находится в равновесии:

5.3. Уравнения равновесия произвольной системы сил.

Определим для заданной системы сил {F1 , F2 ,..., Fn } модуль главного вектора R

и модуль главного момента		O относительно произвольного центра О.	Главный
	M
вектор системы равен геометрической сумме всех сил системы				= ∑
			R		Fk .

Проекции главного вектора на оси координат, связанные с произвольным центром О, равны

Rx = ∑Fkx , Ry = ∑Fky , Rz = ∑Fkz .

Модуль главного вектора равен

R = RX2 + RY2 + RZ2 = (∑Fkx )2 +(∑Fky )2 +(∑Fkz )2 .

Главный моментMO системы сил относительно выбранного центра О равен геометрической сумме моментов всех сил относительно этого центра

M O = ∑mО(Fk ) .

Спроецируем это равенство на одну из выбранных координатных осей, например, на ось х: MOx = ∑mOx (Fk ) .

Проекция момента mO (Fk ) силы Fk относительно центра О равна моменту этой силы относительно оси х, проходящей через этот центр, тогда

M Ox = ∑mx (Fk ) .

Аналогично: M Oy = ∑m y (Fk ), M Oz = ∑mz (Fk ).

Модуль главного момента относительно центра О равен:

МO = M Ox2 + MOy2 + M Oz2 = [∑mx (Fk )]2 +[∑my (Fk )]2 +[∑mz (Fk )]2 .

Условием равновесия системы сил является равенство нулю главного вектора и главного момента относительно произвольного центра О: R = 0 , MO = 0 , т.е.

(∑Fkx )2 +(∑Fky )2 +(∑Fkz )2 = 0 [∑mx (Fk )]2 +[∑my (Fk ]2 +[∑mZ (Fk )]2 = 0.

Эти равенства выполняются при условии, что каждое слагаемое в обоих подкоренных выражениях равно нулю:

∑Fkx = 0,	∑mx (
			Fk ) = 0,
∑Fky = 0,	∑my (
				Fk ) = 0,
∑Fkz = 0,	∑mz (
		Fk ) = 0.

Для равновесия произвольной системы сил необходимо и достаточно, чтобы три суммы проекций всех сил на оси координат равнялись нулю и три суммы моментов всех сил относительно этих координатных осей также равнялись нулю.

5.3. Равновесие сходящейся системы сил.

Система сил называется сходящейся, если линии действия всех сил

	проходят через одну точку (рис.29).		Выберем начало	z
	координат в точке, где пересекаются		линии действия
	сил системы. Тогда моменты любой силы относительно			F2	F1
	координатных осей будут равны нулю.
				А2	А1
	Следовательно, из	шести уравнений равновесия,
					y
	записанных в общем виде, останутся только три:			O
	∑Fkx = 0,			x	А3
					F3
	∑Fky = 0,			Рис.29
	∑Fkz	= 0 .

Для равновесия сходящейся системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций всех сил системы на выбранные координатные оси равнялись нулю.

5.4. Равновесие системы параллельных сил.

Выберем оси координат

z

А2	F1
А3 F2 O	y
F3	А1

x

Рис.30

так, чтобы ось Oz оказалась параллельной силам системы (рис.30). В этом случае проекции каждой силы на оси х и у будут равны нулю. Кроме того, момент каждой силы относительно оси z тоже будет равен нулю. Следовательно, для системы параллельных сил уравнения их проекций на оси х и у, а также уравнение моментов относительно оси

zтеряют смысл. Остаются следующие три уравнения равновесия:

∑Fkz = 0 ,

∑mx (Fk ) = 0 ,

∑my (Fk ) = 0 .

Для равновесия системы параллельных сил необходимо и достаточно,

чтобы сумма проекций этих сил на ось, параллельную этим силам, равнялась нулю, а также равнялись нулю суммы моментов всех сил относительно двух других координатных осей.

5.5. Равновесие плоской системы сил.

Выберем плоскость, в которой расположены силы, за координатную плоскость Оху (рис.31). Тогда проекция каждой силы на ось Oz будет равна нулю, поскольку все силы лежат в плоскости, перпендикулярной этой оси. Кроме того, момент каждой силы и относительно оси х и относительно оси у будет равняться нулю, поскольку силы данной системы либо пересекают обе оси, либо параллельны одной их них и пересекают вторую. Следовательно, уравнения равновесия плоской системы сил будут представлены уравнениями:

∑Fkx =0 ,

y	F2
	F3

А2

А3

А1

О

z

Рис.3 1

∑Fky =0 , ∑mz (Fk ) =0

	На основании определения момента силы
	относительно оси, момент каждой силы плоской
	системы относительно оси z равен моменту этой
	силы относительно точки О: mz (		) = mO (		) .
F		F		F
1		k		k

Тогда получим:

x∑ F kx = 0 ,

∑F ky = 0 ,

∑m O ( F k ) = 0 .

Для равновесия плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций этих сил на оси х и у равнялись нулю, а также равнялась нулю сумма моментов этих сил относительно произвольно выбранной точки.

6. ЭКВИВАЛЕННОСТЬ СИСТЕМ СИЛ. ТЕОРЕМА ВАРИНЬОНА. ТЕОРЕМА ПУАНСО.

6.1.Теорема об эквивалентности двух систем.

6.1.1.Предварительные замечания.

Пусть к твердому телу приложена система сил {F1 , F2 ,..., Fn }. Изменим

направления всех сил системы на противоположные, сохраняя точки их приложения. Полученную систему сил {− F1 ,−F2 ,...,−Fn }будем называть

{F1 , F2 ,..., Fn ,−F1 ,−F2 ,...,−Fn }∞ 0

противоположной данной. Система сил, составленная из данной системы

{F1 , F2 ,..., Fn }и противоположной ей {− F1 ,−F2 ,...,−Fn }, является уравновешенной:

Возьмем новую систему {P1 , P2 ,..., Pk }∞ {F1 , F2 ,..., Fn }. Очевидно,

{P1 , P2 ,..., Pk ,−F1 ,−F2 ,...,−Fn }∞ 0 .

6.1.2. Теорема. Для того, чтобы две системы сил были эквиваленты, необходимо и достаточно, чтобы были равны их главные векторы и главные моменты относительно одного и того же центра.

Доказательство необходимости.

сил: {

Fn }∞ {

Pk }. Главный

Даны две эквивалентные системы

,

F1 ,

F2 ,...,

P1

P2 ,...,

вектор и главный момент системы

{

Fn } обозначим:

F = ∑

F1 ,

F2 ,...,

R

Fi ,

OF = ∑mO (

главный момент системы

{

,

Pk }

M

Fi ) . Главный вектор и

P1

P2 ,...,

обозначим: R P = ∑Pν , M OP = ∑mO (Pν ) . Докажем, что R F = R P , MOF = MOP .

Составим новую систему сил {

,

Fn }∞ 0 . Главный вектор этой

P1

P2 ,...,

Pk ,−

F1 ,−

F2 ,...,−

системы равен:

= ∑

=

P −

F = 0. Тогда,

F =

P .

R

Pν −∑Fk

R

R

R

R

Главный момент этой системы

O = ∑mO (

) −∑mO (

) =

OP −

OF = 0.

M

Pν

Fi

M

M

Следовательно,

OF =

OP .

M

M

Доказательство достаточности.

Даны две системы сил {F1 , F2 ,..., Fn }и {P1 , P2 ,..., Pk }, для которых равны их главные векторы и главные моменты относительно одного и того же центра:

F =

P ,

OF =

OP .

R

R

M

M

Докажем, что {

Fn }∞ {

,

,...,

Pk }.

F1 ,

F2 ,...,

P1

P2

Составим систему {

,

,−

Fn }и определим главный

вектор и

P1

P2 ,..., Pk ,−F1

F2 ,...,−

главный момент этой системы.

= ∑

O = ∑mO (

Система

R

Pν −∑Fi = R P − R F = 0.

M

Pν ) −∑mO (Fi ) = M OP − M OF = 0.

сил, главный вектор и главный момент которой равны нулю, находится в

равновесии, т.е. {P1 , P2 ,..., Pk ,−F1 ,−F2 ,...,−Fn }∞ 0.

Следовательно, {F1 , F2 ,..., Fn }∞{P1 , P2 ,..., Pk }.

6.1.3. Теорема. Для эквивалентности двух пар сил необходимо и достаточно, чтобы векторные моменты этих пар сил были равны.

Эта теорема является следствием общей теоремы об эквивалентности двух систем сил.

Главный вектор сил, образующих пару, равен нулю, а главный момент относительно любой точки равен моменту пары сил. Следовательно, для эквивалентности двух пар сил (F1 , F2 ) и (P1 , P2 ) необходимо и достаточно

равенства их векторов-моментов m(F1 , F2 ) =m(P1 , P2 ).