Из этой теоремы вытекают следующие следствия:

1. Данную пару сил, не изменяя ее действия на тело, можно как угодно перемещать в своей плоскости и переносить в параллельную плоскость.

2. У данной пары сил можно менять величины сил, образующих пару, и плечо, но так, чтобы момент пары оставался неизменным.

6.2. Теорема Вариньона. Если система сил приводится к

равнодействующей, то векторный момент этой равнодействующей относительно произвольного центра равен геометрической сумме векторных моментов сил системы относительно этого же центра.

Доказательство: Пусть система{F1 , F2 ,..., Fn }∞ F .

По теореме об эквивалентности двух систем главные моменты этих систем относительно произвольного центра равны. Главный момент заданной системы M O = ∑mO (Fk ) . Главный момент равнодействующей относительно того же центра

обозначим mO (F ) . Тогда mO (F ) = MO , или mO (F ) =∑mO (Fk ) .

Спроецируем это векторное равенство на ось s, проходящую через центр О: mOS (F ) = ∑mOS (Fk ) , откуда следует, что mS (F ) = ∑mS (Fk ) .

Момент равнодействующей системы сил относительно какой-либо оси равен алгебраической сумме моментов всех сил системы относительно этой же оси.

6.3. Приведение системы сил к центру.

6.3.1. Теорема Пуансо. Любую систему сил, приложенных к твердому телу, можно заменить одной силой, приложенной в произвольно выбранном центре и равной главному вектору данной системы сил, и одной парой сил с моментом, равным главному моменту данной системы сил относительно этого центра.

Доказательство. Пусть дана система сил

{

Fn }, главный вектор которой

F1 ,

F2 ,...,

равен

= ∑

O = ∑mO (

Составим теперь

R

Fk , а главный момент равен

M

Fk ) .

новую систему сил

{

, (

,

1 )}, состоящую из силы

,

приложенной в точке О,

F

P

P

F

и пары сил

(

,

1 ) ,

и пусть

=

= ∑

а

момент

пары

P

P

F

R

Fk ,

m(

,

1 ) =

O = ∑mO (

Составим также вспомогательную систему

сил

P

P

M

Fk ) .

{,−

,

,

,

1 }, состоящую из системы {−

,−

,...,−

},

силы

и

пары

,−

,...,−

F

F

F

F

P

P

F

F

F

F

1 2

n

1

2

n

сил (P, P1) . Определим для этой системы главный вектор и главный момент относительно точки О.

1 =

−∑

,

O1

= −∑m(

R

Fk + F + P + P1 = 0

M

Fk ) +mO (F ) +m(P, P1 ) = 0 (сила

F

приложена в точке О,

и ее момент относительно этой равен нулю).

Так как главный вектор

1 и главный момент

O1 вспомогательной системы

R

M

равны

нулю, то

эта

система

сил находится в равновесии, т.е.

{,−F1 ,−F2 ,...,−Fn , F , P , P 1 }∞ 0. Отсюда следует, что {F1 , F2 ,..., Fn }∞ {F ,(P, P1}, при этом F = R = ∑Fk , а момент пары m (P, P1) = M O = ∑mO (Fk ) .

Таким образом, любую систему сил можно заменить одной силой, равной главному вектору R и приложенной в произвольном центре О, и одной парой сил с моментом, равным главному моменту MO относительно этого центра

Точка, в которой приложена сила F , называется центром приведения, а сама операция замены данной системы сил одной силой и одной парой сил, называется приведением системы сил к центру.

6.3.2. Частные случаи приведения системы сил к центру.

1. Пусть для системы {F1 , F2 ,..., Fn }главный вектор равен нулю, а главный

момент

отличен

от

нуля:

=0,

O ≠

0.

Очевидно,

что

такая система сил

R

M

приводится к паре сил с моментом

O .

M

2. Пусть для системы {

Fn } главный

М

F1 ,

F2 ,...,

вектор не равен нулю, а главный момент

равен

F

нулю:

≠ 0,

O = 0. Такая система приводится к

О

Р

R

M

Р1

равнодействующей, равной

и

приложенной в

R

центре приведения О.

3. Докажем, что система сил {

,

Fn},

для

F1

F2 ,...,

Рис.32

которой

≠

0 ,

O ≠

0

и

O (рис.

32)

R

M

R

M

приводится к равнодействующей.

Заменим систему {

Fn } силой

=

,

приложенной в точке О и парой

F

R

F1,

F2 ,...,

сил (

,

Если

≠ 0 ,

O ≠ 0

и

O ,

то

сила

и пара

R

M

R

M

F

P

P1) с моментом MO .

сил (

,

P

P1) располагаются в одной плоскости. Заменим пару сил (

P

,

P1) парой сил

(

m(

,

в

F1 , F2 ) , не изменяя момента:

P

P1) = m(F1, F2 ) . Повернем пару сил (F1 , F2 )

своей плоскости так,

чтобы одна из ее сил

оказалась приложенной в точке О и

F2

направленной противоположно силе

.

Вторую силу

приложим

в точке

А,

F

F1

находящейся на перпендикуляре к силе

на расстоянии h,

равном плечу пары

F

m(

(

F1 , F2 )

=

M

O

=

M

O

.

F1 ,

F2 ) : h =

F

F

R

1

Так

как

силы

приложенные

в

точке

О

F

F2 ,

F

уравновешиваются,

то полученная

система трех сил

О

h

F

(F , F1 , F2 ) приводится к одной силе (равнодействующей),

F2

A

приложенной в точке А, при этом ОА =h.

Следовательно,

система

сил

{

Fn }, для

F1 ,

F2 ,...,

которой

≠

0

,

O ≠0

и

O ,

приводится

к

Рис. 33

R

M

R

M

равнодействующей (рис.33), равной главному вектору и

приложенной в точке А, отстоящей от центра приведения на расстоянии ОА =h..