4. Если для данной системы сил (рис.34)

≠ 0 ,

O ≠ 0 и

вектор

R

M

R

параллелен вектору

O ,

то система приводится к силе

MO

M

=

и

паре

сил

(

,

),

плоскость

которой

F

F

R

P

P1

перпендикулярна силе

.

F

O

P

Совокупность такой силы и пары сил называется

динамическим винтом,

а

прямая,

вдоль

которой

P1

направлена сила,

-

осью винта,

при этом ось винта

проходит через центр приведения точку О.

5. Если для системы сил

векторы

≠ 0 ,

O ≠ 0 и

R

M

Рис. 34

не перпендикулярны и не параллельны друг другу, то

такая система сил приводится к динамическому винту,

но ось винта в этом случае не будет проходить через центр приведения.

7.

ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ.

На каждую частицу тела, находящегося

z

вблизи поверхности Земли, действует сила

притяжения, называемая силой тяжести. Все эти

силы, строго говоря, направлены к центру Земли,

p2

е

но так как размеры тела невелики по сравнению с

радиусом Земли, то направления этих сил

r2

С

практически будут параллельны и направлены

rC

вертикально вниз.

r1

r

p

3

у

Силой

тяжести

тела

называется

p1

O

3

равнодействующая всех сил тяжести,

P

действующих

на частицы тела. Обозначим

х

Рис.35

p1 , p2 , p2 ,...pk

силы тяжести,

приложенные

к

частицам тела, их равнодействующую обозначим

P . P = ∑pk .

Центром тяжести тела называется точка С приложения силы тяжести тела. При любом повороте тела силы pk остаются приложенными в одних и тех же точках и параллельными друг другу, но изменяется их

направление относительно тела. Неизменным остается также положение центра

тяжести относительно тела.

z

Определим положение центра тяжести

тела относительно произвольно выбранной

p2

е

точки О. Соединим (рис.35) радиусами-

векторами с точкой О точки приложения

r2

сил тяжести всех частиц и центр тяжести

С

p3

тела. Запишем теорему Вариньона:

p1

P

mO (

) = ∑mO ( pk ); так как

rC

P

r1

r3

у

mO (

) =

rC ×P ; mO ( pk ) =

rk × pk ,

O

P

х

Рис.36

то

rC ×

= ∑

rk × pk ;

или

−∑

rC ×

P

rk × pk = 0.

P

Выберем единичный вектор e, определяющий направление сил тяжести.

Тогда : pk = pk e ,

= Pe .

Подставим

эти значения

в

предыдущее равенство:

P

rC ×P e −∑

rk × p ek

= 0. В

этом выражении Р и

рk

являются

скалярными

коэффициентами, поэтому их можно поставить перед векторами

rC

и

rk , вектор

e, можно вынести за скобки, получим

(P

rC −∑pk

rk ) ×e = 0.

Как было отмечено выше, при повороте тела силы тяжести поворачиваются относительно него на один и тот же угол, а центр тяжести С сохраняет положение неизменным. Эту же ситуацию можно смоделировать (рис.36), повернув все силы тяжести на один и тот же угол вокруг точек приложения, оставив при этом тело неподвижным. Тогда единичный вектор e изменит свое направление, и поэтому

в общем случае он не будет параллелен вектору (P rC −∑pk rk ) . Так как вектор e

не равен нулю, то векторное произведение векторов (P

rC −∑pk

rk )

и e

будет

равно нулю только тогда, когда вектор (P

rC −∑pk

rk )

будет равен

нулю:

(P

rC −∑pk

rk ) = 0.

Отсюда определяем значение радиуса -

вектора

rC

центра

∑pk

rk

тяжести тела. rC =

.

P

Свяжем с точкой С систему координат xyz . Тогда координаты цента тяжести в этом системе координат определяются следующими формулами:

xC =

∑pk xk

;

yC =

∑pk yk

;

zC =

∑pk zk

; где

xk , yk , zk - координаты

P

P

P

точек приложения

сил тяжести

pk , действующих на частицы тела. Для

однородного тела сила тяжести

pk любой его части пропорциональна объему vk

этой части:

pk=γ vk,

а сила тяжести тела Р пропорциональна объему V этого тела:

P=γ V.

Подставив значения Р и рк в формулы координат центра тяжести, получим:

xC =

∑vk xk

;

yC =

∑vk yk

;

zC =

∑vk

zk

.

V

V

V

Положение центра тяжести тела, как следует из полученных формул, зависит только от геометрической формы тела, поэтому точку С называют центром тяжести объема.

Аналогично определим центр тяжести однородной плоской пластины, расположенной в плоскости ху:

	xC =	∑sk xk	;	yC =	∑sk yk	;
		S			S

где S – площадь всей пластины, sk – площади ее частей.

Точно также получаются координаты центра тяжести однородной линии:

xC =	∑lk	xk	; yC =	∑lk	yk	;	zC =	∑lk	zk	, где L – длина всей линии, lk	–
	L			L				L

длины ее частей.

Если однородное тела имеет плоскость, ось или центр симметрии, то его центр тяжести лежит в плоскости, на оси или в центре симметрии. Отсюда следует, что центр тяжести однородного стержня лежит в его середине, центр тяжести круглого кольца, круглой или прямоугольной пластины, шара находится в соответствующем геометрическом центре. Центры тяжести ромба, параллелограмма лежат в точках пересечения их диагоналей.

Для определения центра тяжести тело разбивается на конечное число частей, положение центра тяжести каждой из которых известно. Координаты центра тяжести тела вычисляются по общим формулам. В тех случаях, когда данное тела имеет отверстия, его можно представить как разность тел, в этом случае сила тяжести большего тела считается положительной величиной, а сила тяжести меньшего – отрицательной.

Если тело нельзя разбить на несколько конечных частей, положения центров тяжести которых известны, то тело разбивают на бесконечно большое элементарных частиц и положение центра тяжести тела определяется интегрированием. В этом случае координаты центра тяжести однородного твердого тела равны:

		∫x dv			∫y dv		zC =	∫z dv
	xC =	V	;	yC =	V	,		V	, где V – объем всего
					V			V
		V

тела.

В случае однородной плоской фигуры, расположенной в плоскости ху:

	xC =	∫x ds		yC =	∫y ds	, где S – площадь всей фигуры.
		S	;		S
		S
					S

Для однородной линии, длина которой равна L, координаты центра тяжести равны:

	xC =	∫xdl	;	yC =	∫ydl	;	zC =	∫zdl	.
		L			L			L
		L			L			L