2.8, 2.9. Жордан

Положим

w = u 1e02 n 2e0n 1:

Тогда, по прежнему, he01; : : : ; en 1; wi = L и Bw = n 1e0n 1. При этомn 1 6= 0, так как в противном случае, w 2 Ker B Im B. Положим e0n = n 11w. 2

Пример. Оператор A в некотором базисе e = e1; e2; e3 имеет матрицу

A = [ ]e =			2 2	6	133
			1	3	3
A			4 1	4	8	5

Находим корни характеристического многочлена: 1;2;3 = 1. Построим жорданов базис. Легко вычислить, что KerB одномерно и порождается, например, вектором e01 с координатным столбцом [e01]e = (3; 1; 1)T . В качестве e02 можно взять любое решение системы (A E)x = [e01]e, т.е.

2 2	7	1332x23	=	213	;
0	3	3 x1		3
4 1	4	7 54x35		415

например,

[e02]e = (2; 1; 0)T :

В качестве e03 выберем произвольное решение системы (A E)x = [e02]e,

например,

[e03]e = (4; 1; 0)T :

Тогда матрица оператора в штрихованном базисе примет жорданову форму

A0 =	20	0	13	:
	0	1	0
	40	0	05

7. Приведение матрицы к жордановой форме

Пусть A матрица с элементами из поля P и все корни ее характеристического многочлена лежат в P. Эта матрица индуцирует оператор A в линейном пространстве столбцов Pn

Ax = Ax; x 2 Pn:

11

12

Матрицей этого оператора в базисе

e1 = (1; 0; : : : ; 0)T ; e2 = (0; 1; : : : ; 0)T ; : : : ; en = (0; 0; : : : ; 1)T

является матрица A. По теореме 1 существует жорданов базис e01; e02; : : : ; e0n для этого оператора. Матрицей перехода от исходного базиса к жорданову является матрица S, составленная из столбцов e01; e02; : : : ; e0n. Тогда в штрихованном базисе матрица A0 оператора A имеет жорданову форму J. С другой стороны, как известно, A0 = S 1AS. Таким образом, S 1AS = J.

Упражнения

1. В некотором базисе матрица линейного оператора есть матрица

A =	21	1		0	0		3	:
	3	1		0	0
	63	0		5	37
	64		1	3		17
	4						5

Найти жорданов базис, матрицу оператора в этом базисе, матрицу перехода от исходного базиса к жорданову базису. Сделать проверку.

2. Пусть A жорданова клетка порядка n с элементом на главной

диагонали.
а) Найти матрицу f(A), где f(x) многочлен;
б) найти жорданову форму матриц A2, A 1.
3. Решить уравнения:
		3	1		6	2
а) X2 = 1			5 ; X2		= 3	7 .
4. Используя жорданову форму матрицы, вычислить:
a)	1	1 50; б)		7	4 64; в) exp 3		1	; г) sin		1 1 .
	1	3		14 8		1	1			1 + 1