2.16-17. Квадратичные формы

Лекции 2.16-17. Квадратичные формы Определение и примеры. Метод Лагранжа. Закон инерции. Критерий Сильвестра. Приведение квадратичной формы к диагональному виду ортогональным преобразованием. Теория малых колебаний и одновременное приведение двух квадратичных форм к диагональному виду.

1. Определение и примеры

Квадратичной формой называется выражение Q(x) = B(x; x), где B(x; y) билинейная форма.

Теорема 1. Каждая квадратичная форма может быть получена из симметричной билинейной формы, причем такая билинейная форма определяется единственным образом.

Доказательство. Пусть квадратичная форма Q(x) = B(x; x) получена из билинейной формы B(x; y). Тогда, как легко проверить, эта же квадратичная форма может быть получена из симметричной би-

линейной формы D(x; y) = 12(B(x; y) + B(y; x)).

Обратно, если одна и та же квадратичная форма получена из из двух симметричных билинейных форм, т.е. D(x; x) = F(x; x), то эти билинейные формы совпадают. Действительно, из

D(x + y; x + y) = F(x + y; x + y)

получим последовательно

D(x; x) + 2D(x; y) + D(y; y) = F(x; x) + 2F(x; y) + F(y; y);

D(x; y) = F(x; y):

2

Таким образом, установлено взаимно однозначное соответствие между квадратичными формами и симметричными билинейными формами.

В соответствии с (??), (??) значение квадратичной формы Q на векторе x можно записать в виде

Q(x) = bij i j = T B (1)

или, учитывая симметричность матрицы B,

n

XX

Q(x) =	bii( i)2 + 2 bij i j:
i=1	i<j

1

Выражения вида (1) часто встречаются в механике. Кинетическая и потенциальная энергия механической системы с n степенями свободы обычно выражаются через обобщённые координаты qj и обобщённые

скорости qj следующим образом:
T =	1	ajkqjqk; =	1	cjkqjqk:
	2
			2

Эти квадратичные формы есть основной аппарат теории малых колебаний.

Пример 1. Скалярное произведение векторов симметричная билинейная форма. Соответствующая квадратичная форма сопоставляет вектору квадрат его длины.

Матрицей квадратичной формы называется матрица той симметричной билинейной формы, из которой она получена. Матрицу квадратичной формы Q в базисе e будем обозначать [Q]e

2. Метод Лагранжа

Замена базиса e0 = eS в линейном пространстве L приводит, как следует из (??), к замене матрицы квадратичной формы: A0 = ST AS. Возникает естественный задача: для заданной квадратичной формы найти базис в котором её матрица имеет наиболее простой вид.

Базис, в котором квадратичная форма имеет вид

Q(x) = "i( i)2;

где "i 2 f 1; 0; 1g, называется каноническим. В таком базисе матрица квадратичной формы диагональна

A0 = diag["1; "2; : : : ; "n]:

На практике канонический, но не обязательно B-ортогональный базис, в котором квадратичная форма Q(x) = B(x; x) имеет диагональный вид, можно строить последовательно "выделяя полные квадраты\(метод Лагранжа).

Продемонстрируем его на примере квадратичной формы

Q(x) = 12 + 2 1 2 + 2 1 3 3 22 6 2 3 4 32:

Заметив, что коэффициент при 12 отличен от нуля, соберем вместе все члены, содержащие 1:

Q(x) = ( 12 + 2 1 2 + 2 1 3) 3 22 6 2 3 4 32:

2

Дополним выражение в скобках до полного квадрата суммы:

Q(x) = ( 12+2 1 2+2 1 3+ 22+ 32+2 2 3) 22 32 2 2 3 3 22 6 2 3 4 32:

Теперь

Q(x) = ( 1 + 2 + 3)2 Q1(x);

где Q1(x) = 4 22 8 2 3 5 32 квадратичная форма, значения которой зависят только от 2 и 3. Применив к Q1(x) тот же прием,

получим

Q1(x) = (2 2 + 2 3)2 + 32:

Окончательно,

Q(x) = 102 202 302;

где

10 = 1 + 2 + 3; 20 = 2 2 + 2 3; 30 = 3

или в матричной форме:

10	3		1	1	1 1	3
2 20		=	20	2	232 1		:
4 30 5			40	0	154 1	5

В методе Лагранжа возможен особый случай, когда в квадратичной форме не представлены квадраты переменных, а входят только их произведения. Пусть, например, входит произведение 1 2. После замены 1 = 10 + 20 , 2 = 10 20 появляются квадраты переменных.

Мы могли бы стартовали не с 12, а, например, с 12. Тогда был бы построен, вообще говоря, другой канонический базис.

Упражнение 10.4. Привести квадратичную форму методом Лагранжа к каноническому виду. Найти ранг, положительный и отрицательный индексы инерции этой формы:

1)2x21 6x1x2 + x22;

2)x21 x1x2 + x22;

3)x1x2;

4)x21 + 4x1x3 + x22 + 2x2x3 + 4x23;

5)x21 + 2x1x2 + 2x1x3 3x22 6x2x3 4x23;

6)9x21 12x1x2 6x1x3 + 4x22 + 4x2x3 + x23;

7)x1x2 + x2x3 x21 x22 x23.

3

3. Закон инерции

Квадратичная форма Q называется положительно (отрицательно) определенной и обозначается символом Q > 0 (Q < 0), если Q(x) > 0 (Q(x) < 0) для любого вектора x 6= 0. Аналогично вводятся неположительно и неотрицательно определенные квадратичные формы.

Положительным (отрицательным, нулевым) индексом инерции

квадратичной формы в каком-либо её каноническом базисе называют количество положительных (отрицательных, нулевых) диагональных элементов (т.е.элементов aii) её матрицы в этом базисе.

Нулевой индекс инерции не зависит от выбора канонического базиса, поскольку он равен n rangA.

Теорема 2. Положительный индекс инерции квадратичной формы равен максимальной размерности подпространства, в котором она является положительно определённой.

Доказательство. Пусть в некотором каноническом базисе e =

(e1; : : : ; en) квадратичная форма имеет вид
Q(x) = ( 1)2 + + ( k)2 ( k+1 ( r)2:	(2)

Ясно, что в подпространстве he1; : : : ; eki эта квадратичная форма положительно определена. Допустим, что существует подпространство U размерности k + 1, в котором она также положительно определена. Разложим каждый базисный вектор ui этого подпространства по базису e:

ui = i1e1 + + ikek + ik+1ek+1 + + inen; i = 1; : : : k + 1:

При этом

gi = i1e1 + + ikek 2 he1; : : : ; eki;

hi = ik+1ek+1 + + inen 2 hek+1; : : : ; eni:

Векторы gi линейно независимы их k + 1 штук в k-мерном пространстве. Поэтому существует их нетривиальная линейная комбинация, равная нулю

1g1 + + k+1gk+1 = 0:

Тогда

0 6= y = 1u1 + + k+1uk+1 = 1h1 + + k+1hk+1 2 hek+1; : : : ; eni;

4

поскольку векторы u1, : : :, uk+1 линейно независимы. Ввиду (2) Q(y) 0. Но по построению Q(y) > 0. Противоречие.

Следствие 1. Положительный индекс инерции не зависит от выбора канонического базиса.

Следствие 2. Отрицательный индекс инерции не зависит от выбора канонического базиса, так как от него не зависит сумма положительного и отрицательного индексов равная рангу квадратичной формы.

Итак, все три индекса не зависят от выбора канонического базиса.

4. Критерий Сильвестра

Минор, расположенный в левом верхнем углу матрицы, называют её угловым минором. Пусть U подпространство линейного пространства L и Q квадратичная форма на L. Квадратичная форма Qb на U такая, что Qb(x) = Q(x) для всех x 2 U, называется сужением формы Q на подпространство U и обозначается Q jU.

Теорема 10.3. (Критерий Сильвестра) Квадратичная форма Q положительно определена тогда и только тогда, когда в любом (некотором) базисе все её угловые миноры 1, : : :, n ее матрицы положительны.

Доказательство. Пусть Q > 0. Используем индукцию по n = dim L. Предположим, что в n-мерном пространстве из условия Q > 0 следует, что в любом базисе 1; : : : ; n > 0. Рассмотрим (n + 1)- мерное пространство Ln+1 = he1; : : : ; en; en+1i и его подпространство

Ln = he1; : : : ; eni.

Матрица Bn формы Qb = Q jLn в базисе (e1; : : : ; en) очевидным образом является подматрицей матрицы Bn+1 матрицы формы Q в базисе (e1; : : : ; en; en+1). Тогда по предположению индукции 1; : : : ; n > 0. Осталось показать, что n+1 = jBn+1j > 0. Так как Q > 0, то ST Bn+1S = E, где S матрица перехода к каноническому базису. Отсюда jSj2jBn+1j = 1 и jBn+1j > 0.

Обратно, пусть в некотором базисе все угловые миноры матрицы квадратичной формы Q положительны. Покажем, что тогда Q > 0. Используем индукцию по n = dim L. При n = 1 утверждение очевидно. Предположим, что оно истинно для n-мерного пространства и

5

докажем его истинность для (n + 1)-мерного пространства Ln+1 = he1; : : : ; en; en+1i. Обозначим через Ln подпространство he1; : : : ; eni. Матрица Bn формы Qb = Q jLn в базисе (e1; : : : ; en) очевидным образом является подматрицей матрицы Bn+1 матрицы формы Q в базисе (e1; : : : ; en; en+1). Тогда по предположению индукции Qb > 0. Значит положительный индекс инерции формы Q не меньше n. Но если он равен n, то в каноническом базисе det[Q] 0. Но знак det[Q] совпадает со знаком n+1 положительным по условию. Противоречие. Следовательно, положительный индекс инерции формы Q равен n+1, т.е. Q > 0. 2

5. Приведение квадратичной формы к диагональному виду ортогональным преобразованием

Теорема 4. Для любой квадратичной или симметричной билинейной формы существует такой ортонормированный базис, в котором её матрица диагональна.

Доказательство. Пусть симметричная билинейная форма B в базисе e имеет представление

B(x; y) = T B :

Из ортонормированной системы собственных векторов-столбцов симметричной матрицы B составим ортогональную матрицу S. Тогда

ST BS = = diag[ 1; 2; : : : ; n];

где 1; 2; : : : ; n собственные числа матрицы B. В базисе e0 = eS имеем

B(x; y) = 0T ST BS 0 = 0T 0 = 1 01 01 + 2 02 02 + + n 0n 0n:

2

6. Теория малых колебаний и одновременное приведение квадратичных форм

Теорема 5. Пусть G и H две симметричные билинейные или квадратичные формы на пространстве L, причем G > 0. Существует базис пространства L, в котором матрица формы G единичная, а матрица формы H диагональная.

6

Доказательство. Зафиксируем произвольный базис e. Тогда

G(x; y) = T G ; H(x; y) = T H :

Из ортонормированной системы собственных векторов-столбцов матрицы G составим ортогональную матрицу Q. Тогда

QT GQ = = diag[ 1; : : : ; n];

где 1; : : : ; n собственные числа матрицы G. Так как все i > 0, то мы можем построить матрицу

D = 1=2 = diag[ 1=2; : : : ; 1=2]:

Матрица H1 = DT QT HQD симметрична, так как

H1T = (DT QT HQD)T = DT QT HT QD = DT QT HQD = C1:

Из ортонормированной системы собственных векторов-столбцов матрицы H1 составим ортогональную матрицу P . Тогда

P T H1P = = diag[ 1; : : : ; n]:

Заменяя здесь H1 на DT QT HQD, получим

P T DT QT HQDP = (QDP )T H(QDP ) = :

При этом

(QDP )T G(QDP ) = P T (DT QT GQD)P = P T EP = E:

Итак, при S = QDP имеем ST GS = E и ST HS = . Введем новый базис e0 = eS. Тогда

= S 0; = S 0;

G(x; y) = 0ST GS 0 = 0E 0 = 01 01 + 02 02 + + 0n 0n; H(x; y) = 0ST HS 0 = 0 0 = 1 01 01 + 2 02 02 + + n 0n 0n:

2

В теории малых колебаний встречается система дифференциальных уравнений

Gx• + Hx = 0;

(3)

7

где G > 0, H симметричные матрицы. Сделаем замену координат x = P y, где матрица P такая, что P T GP = E и P T HP = диагональная матрица. Тогда (3) примет вид

y• + y = 0:

(4)

Координаты y называются нормальными. В этих координатах система (4) распадается на независимые друг от друга уравнения.

7. Условный экстремум

Рассмотрим в Rn квадратичную форму

Q(x) = xT Ax = xixjaij:

Если y = x, то

Q(y) = Q( x) = ( x)T A( x) = 2(xT Ax) = 2Q(x):

С геометрической точки зрения можно сказать, что поведение квадратичной формы Q(x) на всём пространстве радиус-векторов полностью характеризуется её поведением на сфере On единичного радиуса с центром в начале координат. Поэтому рассмотрим задачу нахождения максимума и минимума для Q(x) при условии x 2 On.

Пусть 1 2 n собственные значения матрицы A,= diag[ 1; 2; : : : ; n] и P ортогональная матрица для которой

P T AP = .

Так как P ортогональная, то

y 2 On , x = P y 2 On:

Поэтому

max

Q

(x) = max xT Ax = max(P y)T A(P y) =

x

2O

n

x

2O

n

y

2O

n

n

Xi

= max yT (P T AP )y = max yT y = max

i(yi)2:

y2On

y2On

y2On

=1

Аналогично

n

Xi

yi

2:

min

(x) = min

x2On Q

y2On =1

i(

)

8

Согласно упорядочению собственных значений

n

n

XX

i(yi)2 n	(yi)2 = n
i=1	i=1
и	n
n

XX

i(yi)2 1	(yi)2 = 1:
i=1	i=1

Кроме того, при y^ = (0; 0; : : : ; 1)T и y = (1; 0; : : : ; 0), соответственно, получаем

Q(x^) = n; Q(x) = 1;

где x^ = P y^ и x = P y.

Упражнения

1. В псевдоевклидовом пространстве Минковского R3;1 "квадрат длины\ вектора (x1; x2; x3; t) задается квадратичной формой

x21 + x22 + x23 t2:

Найдите соответствующую симметричную билинейную форму (псевдоскалярное произведение).

2. Для квадратичной формы в R3 проверьте представление

x1		2x1x2	+ 4x1x3	+ 5x2 + 6x2x3		x3	= [x1; x2; x3]	2 1 5		3	32x23	:
2				2		2		1	1	2	x1
								4 2	3	154x35

3. Опираясь на алгоритм Лагранжа укажите способ построения канонического базиса квадратичной формы.

5. Является ли линейным подпространством

fx 2 LjQ(x) 0g?

6. При каких значениях параметра данная квадратичная форма положительно, отрицательно определена:

1)x21 4x1x2 + ( + 3)x22;

2)9x21 + 6 x2x2 x22;

9

3)x21 + 8x22 + x23 + 16x1x2 + 4x1x3 + 4x2x3;

4)x21 + 2x1x2 + 2x1x3 + 4x22 x23 + 2x2x3;

5)(4 )x21 + (4 )x22 (2 + )x23 + 4x1x2 8x1x3 + 8x2x3?

7. Квадратичная форма записана в ортонормированном базисе n- мерного евклидова пространства. Найти ортонормированный базис, в котором данная форма имеет диагональный вид.

n = 2:

1) 4x12 + 10x1x2 4x22;
2	p		2	;
2) 7x1	+ 4 3x1x2 + 3x2

3) x21 + 6x1x2 9x22;

n = 3:

4)x21 + x1x2 x22;

5)6x21 + 5x22 + 7x23 4x1x2 + 4x1x3;

6)11x21 + 5x22 + 2x23 + 16x1x2 + 4x1x3 20x2x3;

7)x21 + x22 + 5x23 6x1x2 2x1x3 + 2x2x3;

8)2x1x2 6x1x3 6x2x4 + 2x3x4.

8. Проверить, что по меньшей мере одна из двух данных квадратичных форм является положительно определенной. Найти замену координат и замену базиса, приводящие эти две формы одновременно к диагональному виду. Записать этот диагональный вид обеих форм.

1)G(x) = ( 1)2 + 2 1 2 + 3( 2)2, H(x) = 4( 1)2 + 16 1 2 + 6( 2)2;

2)G(x) = 2( 1)2 3 1 2 2:5( 2)2, H(x) = 2( 1)2 + 6 1 2 + 5( 2)2;

3)G(x) = 11( 1)2 6 1 2 + ( 2)2, H(x) = 13( 1)2 10 1 2 + 3( 2)2;

4)G(x) = 9( 1)2 10 1 2 + 3( 2)2, H(x) = 2 1 2 ( 2)2;

5)G(x) = ( 1)2 2 1 2 + ( 2)2, H(x) = 17( 1)2 + 8 1 2 + ( 2)2;

6)G(x) = ( 1)2 + 2 1 2 + 5( 2)2, H(x) = 3:5( 1)2 + 2 1 2 ( 2)2;

7)G(x) = 5( 1)2 + 2 1 2 + 4 1 3 + ( 2)2 + 4 2 3 + 4( 3)2,

H(x) = 5( 1)2 2 1 2 + 4 1 3 + ( 2)2 + 2( 3)2;

8)G(x) = 15( 2)2 4( 3)2 10 1 2 8 1 3 + 22 2 3, H(x) = ( 1)2 + 4 2 3 2 1 3 + 4( 2)2 + 5( 3)2;

9)G(x) = 6( 1)2 + ( 2)2 + 6( 3)2 6 2 3 + 6 1 3, H(x) = 2( 1)2 2 2 3 + 2 1 3 + ( 2)2 + 2( 3)2;

10)G(x) = 2( 1)2 + ( 2)2 + 2( 3)2 2 1 2 2 1 3,

H(x) = 9( 1)2 12 1 2 24 1 3 + 4( 2)2 + 16 2 3 + 16( 3)2; 11) G(x) = ( 1)2 + 2( 2)2 + 3( 3)2 + 2 1 2 2 1 3,

10