- •Волжская государственная академия водного транспорта
- •Литература
- •2. Основные понятия и сведения
- •Дифференциальные уравнения первого порядка. Теорема существования и единственности решения дифференциального уравнения первого порядка.
- •Некоторые типы уравнений первого порядка.
- •Уравнения второго порядка.
- •Линейные уравнения с постоянными коэффициентами.
- •Возможны случаи:
- •Системы дифференцированных уравнений.
- •Задание на контрольную работу №5.
Дифференциальные уравнения первого порядка. Теорема существования и единственности решения дифференциального уравнения первого порядка.
Если в уравнении у = f (х, у) и ее частная производная ∂ f / ∂у непрерывны в некоторой области D на плоскости х0у, содержащей некоторую точку (х0, у0), то существует единственное решение этого уравнения у = φ (х), удовлетворяющее условию у0 = φ (х0) (это условие называется начальным и его часто записываются в виде у|х = х0 = у0 .
Геометрически теорема означает, что существует единственная функция у = φ (х), являющаяся решением дифференциального уравнения, график который проходит через точку (х0 у0).
Определение 1.1Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция у = φ (х, с) удовлетворяющая условиям:
она является решением уравнения при любом значении произвольной постоянной С;
- для любого начального условия у|х = х0 = у0 из области D теоремы существования найдется такое значение С = С0 что решение у = φ (х, с0) удовлетворяет начальному условию, т.е. φ (х, с0) = у0.
Замечание. Часто общее решение получается в неявном виде Ф(х, у, С) = 0, тогда оно называется общим интегралом.
Определение 1.2.Частным решением называется функция у = φ (х, с0) , получающаяся из общего решения при определенном значении С = С0. Аналогично функция Ф(х, у, С) = 0 называется частным интегралом. Задача нахождения частного решения, удовлетворяющего начальному условию, называется задачей КОШИ.
Геометрически частное решение изображается кривой на плоскости (интегральной кривой), а общее решение множеством (семейством) кривых.
Если задано дифференциальное уравнение у' = f (х, у), то в каждой точке плоскости х0у можно найти значение функции f (х, у). Этому значению равна ( в силу дифференциального уравнения) производная от решения в данной точке (угловой коэффициент касательной). Тем самым дифференциальное уравнение в каждой точке задает направление (т.е. поле направлений на плоскости х0у). Интегральная кривая проходит касаясь в каждой точке этого направления.
Пример.Рассмотрим дифференциальное уравнение у'=. В точке (1.1) угловой коэффициент касательной равен f (1.1) = 1. Такой же наклон (tq φ = 1φ) будет во всех точках прямой у = х (f (х, у) = 1). В точках прямой у = 2х наклон касательной также будет одинаков и равен tq φ =. Для этого уравнения нетрудно найти наклоны касательных и в точках прямых, проходящих через начало координат. Таким образом, поле направлений можно изобразить следующим образом (1 рис.).
Рис. 1. Изображение одной из интегральных кривых.
Некоторые типы уравнений первого порядка.
1. Уравнения с разделяющимися переменными. Это уравнения, которые можно привести к виду у' = f1(х) * f2 (у). Они решаются разделением переменных: производная записывается как отношение дифференциалов, группируются по разные стороны от знака равенства члена, содержащие х и у соответственно. После интегрирования получается общий интеграл уравнения.
Пример 1.Найти общий интеграл уравнения у'=.
Решение.ln |у| = ln |х| + ln |с| - общий интеграл ( ln |с| - произвольная постоянная, записанная в удобной форме).|y| = |cx|у = сх – общее решения.
Аналогично решаются задачи 1-25.
2. Однородные уравнения. Это уравнение вида у' = f (х, у), где функция f (х, у) обладает свойствами f = (λx, λу) = f (х, у). На основании указанного свойства правой части, с помощью замены переменных у = и * х (вместо функции у (х) вводится новая функция и(х), однородное уравнение сводится к уравнению с разделяющимися переменными.
Пример 2. Найти общее решение уравнения: у'=ln+.
Решение.Убеждаемся, что уравнение однородное:
ln+=ln+. Делаем указанную замену переменных у = и * ху'= и'х + и (производная произведения). В новых переменных уравнение имеет вид и'х + и = иlnи + и и решается разделением переменныхuln |lnu| = ln|x| + ln|c||lnu| = |cx| lnu = cxu = eсх.
После возврата к старым переменным общее решение примет вид:
= eсху = х * eсх.
Линейное уравнения. Это уравнение вида у'+ Р (х) * у = Q (х). Будет решать методом вариации произвольной постоянной:
- решается однородное уравнение у'+ Р (х) * у = 0 , с разделяющимися переменными= - Р (х) dxу – с *,
- произвольная постоянная С считается функцией с (х) и эта функция подбирается из условия, чтобы у = с(х) * была бы решением исходного неоднородного уравнения; этот подбор сводится к решению еще одного уравнения с разделяющимися переменными относительно искомой функции с (х). После подстановки ч = с(х) *в уравнение имеем+ Р(х)= Q (х)с' = Q (х)с =Q (х)dx + с1.
Окончательно общее решение имеет вид: у = (Q (х)dx + С1 ) .
Пример.3. Кривая проходит через точку (1.3), угловой коэффициент касательной к этой кривой в любой ее точке зависит от координат точки касания следующим образом: к (х, у) = - х . Найти уравнение этой кривой.
Решение.
Из геометрического смысла производной, для нахождения уравнения кривой можно записать: у1 = - х.
Частное решение этого уравнения, удовлетворяющее условию : у (1) = 3, дает уравнение искомой кривой:
у1 = = ln|y| ln |х| + ln |с|у = с.
у = с(х) * с' + с * =- хс' = с = -2+ с1.
Общее решение дифференциального уравнения имеет вид: у = (с1 - 2)- 2х2.
Из начального условия у (1) = 3 подберем произвольную постоянную С1 . Имеет 3 = С1 – 2 С1 = 5.
Таким образом, уравнение искомой кривой имеет вид: у = 5- 2х2.
Аналогично решается задачи 26 – 50.