6. Системы дифференцированных уравнений.

Рассмотрим для знакомства простейшую однородную систему двух линейных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами, т.е. систему вида

Решить эту систему, значит, найти две функции х(t, с₁, с₂) и у(t, с₁, с₂), обращающие оба уравнения системы в тождество относительно х при любых значениях произвольных постоянных с₁ и с₂. Будем решать систему сведением к одному дифференциальному уравнению второго порядка.

Пример 1. Решить систему

Решение.

Дифференцируем первое уравнение по аргументу t: . В полученное уравнение подставляемиз второго уравнения системы, а у- из первого:

(-2х + 3у) = -2х + 3 (-х) = 4х – 5х -4+5х = 0.

Решаем полученное уравнение второго порядка:

К² –4К + 5 = 0 К_1,2 = 2 ± i х(t) = е^2t (с₁ соs t + с₂ sint).

Для нахождения у(t₁, с₁, с₂) вычислим: х = е^2t (2 с₁ соs t + 2с₂ sin t - с₁ соs t + с₂ sint)= е^2t ((2с₁ + с₂) соs t + (2с₂ – с₁) sin t).

и из первого уравнения системы получаем: у = х – х = е^2t ((с₁ + с₂) соs t + (с₂ – с₁) sin t).

Таким образом, общее решение системы имеет вид:

Задание на контрольную работу №5.

25. Найти общий интеграл уравнения с разделяющимися переменными.

у' = (х – 2) (у + 1).	2. у' = (х-1)^2 (2у+1)	3. у' = (2х+1) (у-1)^2
4. у' = (у-1)^2 (х+1)^2	5. у' =	6. у' =
7. у' =	8. у' =	9. у' =
10. у' =	11. у' =	12. у' =
13. у' =	14. у' =	15. у' =
16. у' =	17. у' = е^х+у	18. у' =
19. у' =	20. у' =	21. у' =
22. у' =	23. у' =	24. у' =
25. у' =

Студент должен выполнить контрольную работу №5 по варианту, номер которого выбирается по двум последним цифрам его учебного шифра в соответствии со следующей таблице:

вариант	Последняя цифра шифра	Номер заданий работы
1	01, 26, 51, 76	01, 26, 51
2	02, 27, 52, 77	02, 27, 52
3	03, 28, 53, 78	03, 28, 53
4	04, 29, 54, 79	04, 29, 54
5	05, 30, 55, 80	05, 30, 55
6	06, 31, 56, 81	06, 31, 56
7	07, 32, 57, 82	07, 32, 57
8	08, 33, 58, 83	08, 33, 58
9	09, 34, 59, 84	09, 34, 59
10	10, 35, 60, 85	10, 35, 60
11	11, 36, 61, 86	11, 36, 61
12	12, 37, 62, 87	12, 37, 62
13	13, 38, 63, 88	13, 38, 63
14	14, 39, 64, 89	14, 39, 64
15	15, 40, 65, 90	15, 40, 65
16	16, 41, 66, 91	16, 41, 66
17	17, 42, 67, 92	17, 42, 67
18	18, 43, 68, 93	18, 43, 68
19	19, 44, 69, 94	19, 44, 69
20	20, 45, 70, 95	20, 45, 70
21	21, 46, 71, 96	21, 46, 71
22	22, 47, 72, 97	22, 47, 72
23	23, 48, 73, 98	23, 48, 73
24	24, 49, 74, 99	24, 49, 74
25	25, 50, 75, 00	25, 50, 75

11