- •Волжская государственная академия водного транспорта
- •Литература
- •2. Основные понятия и сведения
- •Дифференциальные уравнения первого порядка. Теорема существования и единственности решения дифференциального уравнения первого порядка.
- •Некоторые типы уравнений первого порядка.
- •Уравнения второго порядка.
- •Линейные уравнения с постоянными коэффициентами.
- •Возможны случаи:
- •Системы дифференцированных уравнений.
- •Задание на контрольную работу №5.
Уравнения второго порядка.
Уравнения, допускающие понижения порядка.
Уравнения вида у" = f(х) решается последовательным интегрированием.
Пример. Решить уравнение у" = sin х.
Решение.
у' = sin х dх у' = - cos х + С1 у = (- cos х + с1) dх = - sin х + с1 х + с2.
2. Уравнения вида у" = f(х , у') после замены переменных у' = Р (х) сводятся к уравнениям первого порядка.
Пример.2. Решить уравнение у" = ln+.
Решение. у' = Р (х) у" = Р' (х); Р' (х) = ln+.
Получилось уравнение первого порядка, решенное в примере 2.1., где получено решение вида Р = с1х. Возвращаясь к исходным переменным, получаем дифференциальное уравнение первого порядка:
= с1 х у = с1 + с2.
3.Уравнения вида у" = f(у, у') после замены переменных вида у' = Р (у) сводятся к уравнениям первого порядка относительно функции Р(у) аргумента у.
Пример 3. Решить уравнение: у" = у + 1.
Решение.
Делаем замену у' = Р (у) у" *
(по правилу дифференцирования сложной функции). Тогда данное уравнение приводится к виду * Р = у + 1 – уравнение первого порядка с разделяющимися переменными. Поэтому: Рd Р = (у + 1)dу =+ у + Р = .
Возвращаемся к старым переменным и получаем еще одно уравнение с разделяющимися переменными:
= = dх =dх ln | у + 1 + | = х + С2 .
Линейные уравнения с постоянными коэффициентами.
Это уравнения вида у" + Ру' + qу = f(х). Общее решение этого неоднородного уравнения есть сумма общего решения у0однородного уравнения (f(х) = 0) и любого частного решениянеоднородного уравнения, т.е. у = у0+.
Общее решение однородного уравнения записывается после нахождения корней соответствующего характеристического уравнения К2+ рк + q = 0.
Возможны случаи:
- корни действительны и различны (к1 ≠ к2), тогда у0 = с1 ек1х + с2 ек2х;
корни действительные кратные (к1 = к2 = к), тогда у0 = (с1 + с2 х) е кх;
корни комплексно сопряженные (к1,2 = α ± iβ), тогда у0 = еαх (с1 соs βх + с2 sin βх).
Частное решение для рассматриваемых видов правых частей можно найти подбором неизвестных коэффициентов:
если правая часть имеет вид f (х) = Рп (х) еах (Рп (х)- известный многочлен степени п), то ищется в виде = Qп(х) еах , если а ≠ к1 и а ≠ к2 (здесь и далее Qп(х) это многочлен степени п, коэффициенты которого и необходимо подобрать); = х Qп(х) еах , если α совпадает с одним из корней характеристического уравнения; = х2 Qп(х) еах , если а = к1 = к2;
если правая часть уравнения имеет вид f (х) = А соs Вх + В sin Вх, то имеется в виде = х(М соs Вх + N sin Вх), если корни характеристического уравнения
к1,2 = α ± iβ; = М соs Вх + N sin Вх во всех остальных случаях.
Пример 1. Найти частное решение уравнения: у" – 4у' + 3у = (х + 2)ех , удовлетворяющее начальным условиям у (0) = 0, у' (0) =
Решение.
Характеристическое уравнение имеет вид к2 – 4к – 3 = 0, а его корни к1 = 1 и к2 = 3. Следовательно, у0 = с1 ех + с2 е3х.
Так как коэффициент при х в показателе экспоненты правой части уравнения равен одному из корней характеристического уравнения (α = 1), то частное решение ищется в виде: = х(Ах + В) ех .
Коэффициенты А и В следует подобрать таким образом, чтобы после подстановки в левую часть уравнения это левая часть тождественно равнялась бы его правой части (х + 2) ех . Подстановку в уравнение удобно осуществлять в следующей форме:
3 |
= (Ах2 + Вх)ех |
+ -4 |
= ех (Ах2 + Вх)+ ех (2 Ах + В) |
+ 1 |
= ех (Ах2 + Вх)+2 ех (2 Ах + В) + ех 2А |
Ех [х2 (4А – 4А) + х(3В – 4В – 8А + В + 4А)+ (-4В + 2В + 2А)] = (х + 2)ех.
Из полученного тождества следует система линейных уравнений относительно А и В:
откуда: А = - , В = -.
Следовательно, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:
у = с1 ех + с2 е3х – (х2 +х) ех.
для нахождения частного решения, удовлетворяющего начальным условиям (решения задачи Коши), найдем у':
у' = с1 ех + 3с2 е3х – ех (х2 +х) ех (х +).
Из начальных условий получаем систему:
ее решением будет с1 = -2; с2 = 2. Поэтому окончательно частное решение, удовлетворяющее начальным условиям, имеет вид:
у = -2ах + 2е3х – ех (х2 +х).
Аналогично решаются задачи 51-75.