- •«Российская таможенная академия»
- •«Российская таможенная академия»
- •Определение комплексного числа.
- •Действия над комплексными числами в тригонометрической форме
- •Геометрическая интерпретация умножения комплексных чисел.
- •Деление комплексных чисел.
- •Возведение в степень комплексных чисел.
- •Извлечение корня из комплексных чисел
- •3. Числовая последовательность и ее предел. Понятие предела функции.
- •Определение предела функции в точке.
- •2. Основные теоремы о пределах функций.
- •Бесконечно малые функции и их свойства.
- •Бесконечно большие функции
Действия над комплексными числами в тригонометрической форме
Умножение комплексных чисел. Возьмем два комплексных числа в тригонометрической форме:
Перемножая их, получим:
Таким образом, при умножении комплексных чисел модули их перемножаются:
|а аргументы складываются
Геометрическая интерпретация умножения комплексных чисел.
Пусть требуется умножить комплексное число на комплексное число.
Комплексное число представляется вектором , а комплексное число представляется вектором. Чтобы построить вектор, изображающий комплексное число
надо вектор повернуть на угол против часовой стрелки, если, и по часовой стрелке, если. и«увеличить» его длину в раз (рис. 3).
Так как , то умножение любого числаz на i можно рассматривать как операцию поворота вектора, изображающего число z на угол против движения часовой стрелки.
Рис. 3.
Деление комплексных чисел.
Возьмем два комплексных числа ии разделим на .
Так как деление комплексных чисел рассматривается как действие, обратное умножению, то
Таким образом, при делении комплексных чисел модули делятся, а аргументы вычитаются:
Для построения вектора, изображающего комплексное число , надо вектор повернуть на угол по часовой стрелке, если, и против, если, и «уменьшить» его длину враз.
Деление комплексного числа z на i можно рассматривать как операцию поворота вектора на уголпо часовой стрелке.
Возведение в степень комплексных чисел.
Возведение в степень n (где n — натуральное число) комплексного числа z рассматривается как n-кратное умножение z на самого себя.
Пусть . Тогда
.
т. е. (**)
Таким образом при возведении комплексного числа в степень модуль возводится в эту степень, а аргумент умножается на число, равное показателю степени:
Формулу (**) можно записать:
В частном случае, когда n=1 эта формула имеет вид:
Эта формула называется формулой Муавра.
Извлечение корня из комплексных чисел
Пусть n – натуральное число. Корнем n – степени из комплексного числа называется комплексное число, для которого.
Обозначим его
Давая k значения 0,1,2,…,(n-1)? Получим n различных значений корня. Для значений k=n,n+1… или k=-1, -2,…
и т.д. значения корней будут повторять полученные ранее значения.
Например, при k=0 имеем . Приk=n имеем и т.д.
Обобщая данный частный случай, можно сказать, что геометрически точки, соответствующие различным значениям корня n – й степени из комплексного числа , располагаются в вершинах правильногоn – угольника с центром θ, причем одна из вершин соответствует числу .
Действительная часть комплексного числа обозначается ReZ (ReZ=x), а мнимая часть обозначается символом ImZ (ImZ=y). Следовательно, комплексное число можно записать .
Запись комплексного числа называется алгебраической формой записи.
Комплексное число называется сопряженным с комплексным числоми обозначается.
Каждое комплексное число можно изобразить на плоскости Оху в виде точкиM(x,y) или ее радиус – вектором и обратно, всякая точкаM(x,y) плоскости Оху может быть рассмотрена как геометрический образ комплексного числа .
Таким образом, комплексные числа могут изображаться как точками, так и векторами. Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется комплексной плоскостью, ось Ох — действительная ось, ось Оу — мнимая. Модуль числа Z равен расстоянию точки М(х,у), изображающей это число, от начала координат. Введя полярную систему координат, получим , тогда . Выражение называется тригонометрической формой записи комплексного числа Z. Величины r и φ выражаются через х и у (см. рис. 4).
Рис. 4.
и называются соответственно модулем и аргументом комплексного числа . Аргумент φ комплексного числа Z определяется неоднозначно, а с точностью до слагаемого 2πk, где k — любое целое число.
Значение argZ, удовлетворяющее условию 0 называется главным значением аргумента и обозначается символом argZ. В некоторых случаях главным значением аргумента называют значение argZ, удовлетворяющее условию . Еслиr = 0, то комплексное число равно нулю и его аргумент неопределён. Действительное число имеет аргумент 2πk (главное значение аргумента равно нулю), если оно положительное, и (главное значение аргумента равно π-), если оно отрицательное. Если действительная часть комплексного числа равна нулю
—называется чисто мнимым комплексным числом), то аргумент его равен (главное значение аргумента равно , еслиу > 0 и или; (главное значение аргумента равноили), еслиу < 0. Аргумент комплексного числа, угол φ, считается положительным, если он отсчитывается от положительного направления оси Ох против часовой стрелки, и отрицательным при противоположном направлении отсчёта.
Пример. Записать в тригонометрической форме следующие комплексные числа:
Решение. Для того, чтобы комплексное число записать в тригонометрической форме, нужно найти его модуль и значение аргумента φ, который связан с координатами хи у следующими формулами , причём ни одна из этих формул в отдельности не позволяет найти φ по заданным х и у.
а) Любое действительное число а можно записать в тригонометрической форме.
1. а > 0, и, если ограничиться главным значением аргумента (k = 0), то .
2. a < 0, и, если ограничиться главным значением аргумента(k = 0), то
Тогда:
и при k=0,
и при k=0.
б) Z = 3i. Так как в этом случае действительная часть равна нулю, то комплексное число находится на оси Оу и r = |3|, а аргумент его равен , если у>0 и
при у < 0. Тогда:
в) 1. . Так кактолежит в первой координатной четверти, асоответствует. Другой способ. Так как, то φ находится в первой координатной четверти и равен. Следовательно
2. .лежит в четвертой четверти (x>0, y<0) и , тогдаили так как, то φ находится в четвертой координатной четверти и равен. Тогда
Для того, чтобы записать комплексное число в показательной форме, используем формулы Эйлера
выражающие показательную функцию через тригонометрическую и обратно. Тогда получим
Используя формулы Эйлера, можно выразить любую целую положительную степень cosx и sinx, а также их произведения в виде суммы членов, содержащих лишь первые степени синусы и косинусы кратных дуг:
Пример. Представить в комплексной форме следующее число:
Решение. Ограничимся главными значениями аргументов.
Пример. Найти значения: и решить уравнения
Решение. Так как
Полагая k=0 и k=1, находим два значения корня
При дальнейших значения k корни будут повторятся.
3) Учитывая, что , получим
При дальнейших значения k корни будут повторятся.