3. Основы теории измерений

Измерение – это алгоритм, осуществляющий сопоставление наблюдаемых признаков или величин, характеризующих реальные объекты или явления, с некоторой шкалой (измерительной шкалой), посредством которой наблюдаемым признакам или величинам присваивается определенное обозначение: число, номер или символ.

Результат измерения, возникающий в процессе отражения объекта и субъекта наблюдения, направлен на снятие неопределенности субъекта по отношению к наблюдаемому объекту или явлению. При этом на результат измерения может оказать влияние случайность (неопределенность) как объекта, так и субъекта, а также случайные помехи, возникающие в среде (или канале) измерения. Эти случайности приводят к некоторойостаточной неопределенности.

Остаточная (апостериорная) неопределенность, получаемая в результате измерений, называется погрешностью измеренийи является меройточностиизмерения.

Измерение можно представить как способ снятия неопределенности. Суть измерения в полной мере описывается выражением (9), которое определяет количество информации, полученной в результате измерений. При измерении случайной величины количество полученной информации

(11) ,

где - энтропия (априорная неопределенность) измеряемой величины до измерения, т.е. до опыта; ө энтропия измеряемой величины после измерения, или энтропия погрешности измерения.

Значение энтропии определяется начальными значениями субъекта измерения об объекте измерения. Обычно эти знания ограничиваются возможным диапазоном измерения , где- соответственно верхний и нижний пределы измерения, а также равновероятным представлением о возможном появлении значений измеряемой величины в установленном диапазоне .

Это явление (вероятность появления случайной величины в установленном диапазоне), можно представить в виде следующего рисунка:

Вероятность появления СВ в установленном диапазоне

При этих условиях

(12)

Энтропия погрешности полученного результата измерения :

;

(13) ,

где - абсолютная погрешность измерения, зависит как от свойств субъекта измерения, так и от дезинформационного действия помех, возникающих при измерении или, другими словами, в процессе передачи информации от объекта к субъекту измерения. Выражение (13) показывает, что в результате измерения получается не истинное значение, а лишь суженный враз интервалнеопределенности , в котором может находится числос равной вероятностью.

С учетом (12) и (13) количество информации, полученное в результате опыта,

(14) ,

где число показывает, сколько интервалов неопределенности длинойукладывается во всем диапазоне, т.е. какоечисло различимых градацийвозможно, получить при использовании данного средства измерений.

Величина может быть определена строго математически длялюбого закона распределения погрешности.

Так, для нормально распределенной погрешности, т.е. для плотности нормального распределения

,

имеем

,

Следовательно, получим

(15)

Сопоставляя равенств (15) и (13), можно получить соотношение, прямо связывающее значение с числовой характеристикой нормального распределения:

(16) .

Аналогичным путем интервал неопределенности может быть найден для любого выраженного аналитически закона распределения погрешности.

При измерении различных физических величин с помощью автоматических устройств (измерительных приборов) величина определяется исходя из метрологической характеристики так называемого прибора «класса точности ». Для большинства прибороввычисляется по формуле:

(17) ,

где - допустимая абсолютная погрешность прибора; - диапазон измерения прибора.

На основании (14) и (17) можно принять

(18) ,.

Из второй формулы (18) следует, что при измерении одной и той же величины различные средства (или субъекты) измерения позволяют получить различное количество информации, т.е. обеспечивается различная степень снятия неопределенности об объекте измерения. В случае использования двух измерительных приборов с различным классом точности и различным диапазоном измерения эта разность составит

(19)

.

Пример 4. Отец принес из леса корзину белых грибов. Семью заинтересовало содержимое корзины. Младший сын подразделял грибы на «большие» и «небольшие», старшая дочь – на «большие», «средние» и «маленькие». Мать взвесила каждый гриб на весах с диапазоном измерения от 0 до 1 кг и классом точности 1. Следует определить, какое количество информации получили сын, дочь и мать, если известно, что самый маленький гриб весит около 30 г, а самый большой – около 800 г.

Решение. На основании выражения (14) получим:

.

.

На основании (14) и второй формулы (8):

.

Здесь - приблизительный (априорный) вес соответственно самого большого и самого маленького грибов;- диапазон шкалы весов.