- •Подпространства линейного пространства Определение линейного подпространства
- •Пересечение и сумма подпространств линейного пространства
- •Пересечение и сумма
- •Евклидово пространство
- •Норма матрицы
- •Объяснение «на пальцах»
- •Неравенство Коши — Буняковского
- •Неравенство треугольника
- •Евклидова геометрия
- •Ортогональная система
- •Ортогонализация
- •Ортогональное разложение
- •Ортонормированный базис
- •Ортогональные системы векторов
- •Свойства
- •Линейные операторы в евклидовом и унитарном пространствах
- •Собственные числа и собственные векторы линейного оператора
- •Правило отыскания собственных чисел и собственных векторов
Норма матрицы
Нормой матрицы называетсявещественное число , удовлетворяющеепервым трёмиз следующих условий:
, причём только при ;
, где ;
;
.
Если выполняется также и четвёртое свойство, норма называется мультипликативной. Матричная норма, составленная как операторная, называетсяподчинённойпо отношению к норме, использованной в пространствах векторов. Очевидно, что все подчинённые матричные нормы мультипликативны. Немультипликативные нормы для матриц являются простыми нормами, заданными в линейных пространствах матриц.
Матричная норма из называется согласованной с векторной нормой из и векторной нормой из если справедливо:
для всех .
Объяснение «на пальцах»
Норма матрицы представляет собой некоторое число, отличное от нуля. Норма нужна для того, чтобы сравнивать, какая матрица «больше», а какая «меньше».
Норма матрицы есть некоторая числовая характеристика отклонения ее от нуля. (Но это скорее относится к норме вообще).
8.4
Угол между векторами
Углом между векторами и называют угол , для которого
9
Неравенство Коши — Буняковского
Неравенство Коши́ — Буняко́вскогосвязываетнормуискалярное произведениевекторов вевклидовом пространстве. Это неравенство эквивалентнонеравенству треугольникадля нормы.
Неравенство Коши — Буняковского иногда, особенно в иностранной литературе, называют неравенством Шварцаинеравенством Коши — Буняковского — Шварца(«неравенство КБШ»), хотя работыШварцана эту тему появились только спустя 25 лет после работБуняковского[1]. Конечномерный случай этого неравенства называетсянеравенством Кошии был доказанКошив1821 году.
Формулировка
Пусть дано линейное пространство со скалярным произведением . Пусть — норма, порождённая скалярным произведением, то есть . Тогда для любых имеем:
причём равенство достигается тогда и только тогда, когда векторы и пропорциональны (коллинеарны).
Неравенство треугольника
Нера́венство треуго́льникавгеометрии,функциональном анализеи смежных дисциплинах — это одно из интуитивных свойств расстояния. Оно утверждает, что длина любой стороны треугольника всегда не превосходит сумму длин двух его других сторон. Неравенство треугольника включается какаксиомав определениеметрического пространства,нормыи т.д.; также, часто являетсятеоремойв различных теориях.
Евклидова геометрия
Пусть дан треугольник Тогда причёмравенство достигается только тогда, когда треугольник вырожден, и точка лежит строго между и .
ЕвклидвНачалахдоказывает неравенство треугольника следующим образом. Сначала доказывается теорема о том, что внешний угол треугольника больше внутреннего угла, с ним не смежного. Из неё выводится теорема о том, что против большей стороны треугольника лежит больший внутренний угол. Далее, методом от противного доказывается теорема о том, что против большего внутреннего угла треугольника лежит большая сторона. А из этой теоремы выводится неравенство треугольника.
10
Ортогональная система
Ортогона́льная систе́маэлементоввекторного пространствасоскалярным произведением— такое подмножество векторов , что любые различные два из нихортогональны, то есть ихскалярное произведениеравно нулю:
.
Ортогональная система в случае её полноты может быть использована в качестве базисапространства. При этом разложение любого элемента может быть вычислено по формулам: , где .
Случай, когда норма всех элементов , называетсяортонормированной системой.