3 Лабораторная работа III Исследование динамических свойств моделей типовых звеньев систем автоматического управления по их частотным характеристикам

Целью лабораторной работы является изучение экспериментального метода и аппаратных средств определения амплитудно-фазовых частотных и динамических характеристик типовых звеньев.

3.1 Частотные характеристики элементарных звеньев

Для сложного объекта автоматического регулирования не всегда удается произвести исследование с помощью аналитических методов ввиду того, что заранее неизвестны математические модели, параметры объекта или существуют значительные нелинейности в объекте. В этом случае применим экспериментальный метод построения частотных характеристик исследуемого объекта, базирующийся на том, что если на его вход подать сигнал синусоидальной формы с частотой ω и амплитудой, равной единице, то на выходе в установившемся режиме получится тоже синусоидальный сигнал с той же частотой ω но с другими амплитудой и фазой.

Синусоидальные функции могут выражаться в векторной форме показательными функциями с мнимым аргументом :

W(jω) = А(ω) ·е^{j· φ(ω)} = Р(ω) + j · Q(ω), (3.1)

где е^{j· φ(ω)} = сos(ωt) + j · sin(ωt),

т.е. Р(ω)= А(ω) · сos(ωt), а Q(ω)= А(ω) · sin(ωt),

где А(ω) – отношение амплитуд выходного и входного сигналов;

φ(ω) – разность фаз выходного и входного сигналов.

Величина W(jω) называется комплексным коэффициентом передачи или усиления, представляющим комплексное число, модуль которого равен отношению амплитуд выходного и входного сигналов при неизменной частоте ω входного сигнала. Если положить ω=0, то получается коэффициент усиления или коэффициент передачи системы или звена.

В передаточной функции апериодического звена первого порядка заменяя р на jω, получаем выражение :

, (2.2)

т.е. комплексное число, модуль которого дает усиление амплитуды А, а аргумент – сдвиг фазы φ.

Амплитудно-фазовая частотная характеристика звена имеет вид полуокружности с диаметром, равным коэффициенту усиления k и описывается выражениями, называемыми соответственно вещественной и мнимой частотными характеристиками :

.

Модуль и аргумент комплексной характеристики звена вида (3.2), выраженные через вещественную и мнимую части, или амплитудная частотная характеристика и фазовая частотная характеристика вычисляются соответственно по формулам :

. (3.3)

Согласно формулам (3.3), для апериодического звена первого порядка запишем аналитические выражения для амплитудной и фазовой частотных характеристик :

(3.4)

(3.5)

Прологарифмировав формулу (3.4), получим аналитическое выражение для логарифмической амплитудной частотной характеристики звена :

.

Логарифмическая фазовая частотная характеристика апериодического звена первого порядка строится по аналитическому выражению (3.5), для которой только частота откладывается по оси абсцисс в неравномерном логарифмическом масштабе, а фаза (φ) – по оси ординат в радианной мере.

Для апериодического звена второго порядка частотные характеристики приведены ниже. Комплексная частотная характеристика, представляющая собой алгебраическую сумму вещественной и мнимой составляющих типового звена, описывается зависимостями :

где

.

амплитудно-фазовая характеристика (при р = jω) будет иметь вид :

откуда прежним способом, согласно формулам (3.3), получаем амплитудную и фазовую частотные характеристики типового звена соответственно :

Логарифмические амплитудная и фазовая частотные характеристики апериодического звена второго порядка будут иметь вид :

Для колебательного звена амплитудно-фазовая характеристика (при р=jω) примет вид :

причем аналитические выражения амплитудной и фазовой частотных характеристик описываются соответственно :

Аналогично, следуя выражению (3.1), представим формулы для вычисления вещественной и мнимой частотных составляющих исследуемого звена :

Логарифмические амплитудная и фазовая частотные характеристики колебательного звена будут иметь вид :

.

Комплексная частотная функция (амплитудно-фазовая частотная характеристика АФЧХ) интегрирующего звена будет иметь вид :

Амплитудная частотная характеристика и фазовая частотная характеристика астатического звена имеют вид :

Вещественная и мнимая частотные характеристики примут вид :

Логарифмическая амплитудная частотная характеристика :

Логарифмическая фазовая частотная характеристика астатического звена