- •Министерство образования и науки Украины
- •Конспект
- •Механика газов Лекция 1: Общие сведения о свойствах и движении газов
- •1.Газы сжимаемые и несжимаемые
- •2.Газы реальные и идеальные
- •Лекция 2: Ламинарное и турбулентное движение газов. Давление газов и его разновидности
- •1. Ламинарное и турбулентное движение газов
- •2. Давление газов и его разновидности
- •Лекция 3: Статика газов
- •1. Уравнение Эйлера
- •2. Распределение избыточного давления на стенки сосуда заполненного горячим газом
- •Лекция 4: Динамика газов. Основные уравнения движения газов
- •1. Понятие о линии тока и трубке тока
- •2. Уравнение сплошности (неразрывности) движения газов
- •3. Уравнение импульсов Эйлера
- •4. Уравнение Бернулли для трубки тока идеального газа
- •5. Вывод уравнения Бернулли в избыточных давлениях
- •Лекция 5: Применение уравнения Бернулли в расчетах
- •1. Потери давления на предоление местных сопротивленй и на трение.
- •2.Истечение газов через отверстия с острыми кромками
- •3. Истечение газов через насадки
- •4. Расчет высоты дымовой трубы
- •Лекция 6: Сверхзвуковое движение газов
- •1. Общие сведения
- •2. Движение газа по трубе переменного сечения
- •3. Истечение газов через простое сопло
- •4. Сопло Лаваля. Конструкция и режимы его работы
- •Лекция 7: Движение газов в рабочем пространстве печей. Тягодутьевые устройства
- •1.Причины движения газов. Свободное и вынужденное движение.
- •2. Свободные струи, их свойства.
- •3.Частично ограниченные струи.
- •4.Явление инжекции.
- •5.Тягодутьевые устройства:
- •Лекция 8: Теплопередача. Передача тепла теплопроводностью
- •1. Теплопроводность.Уравнение Фурье
- •2.Стационарная теплопроводность.
- •2.Свободная конвекция.
- •3. Вынужденная конвекция при продольном обтекании поверхности.
- •4) Вынужденная конвекция при поперечном обтекании труб и цилиндров.
- •Лекция 10: Излучение твердых тел
- •1. Общие сведения. Закон Стефана-Больцмана
- •2. Угловые коэффициенты излучения.
- •Лекция 11: Закон Кирхгофа. Излучение газов
- •1. Закон Кирхгофа.
- •2. Особенности излучения и поглощения газами тепловой энергии.
- •3. Определение степени черноты газов.
- •Лекция 12: Сложный теплообмен в рабочем пространстве печей
- •Лекция 13: Внутренний теплообмен при нагреве материалов. Нагрев тел при граничных условиях I, II, III рода
- •1.Основные понятия и определения.
- •2.Нагрев тонких тел.
- •3.Нагрев массивных тел. Дифференциальное уравнение теплопроводности Фурье
- •Лекция 14: Решение дифференциального уравнения теплопроводности Фурье при граничных условиях 3 рода.
- •1. Определение температур нагрева металла.
- •2. Определение продолжительности нагрева металла.
3.Нагрев массивных тел. Дифференциальное уравнение теплопроводности Фурье
В отличие от тонких тел нагрев массивных характеризуется тем, что тепловая волна проникает вглубь не сразу, косвенно. Послойное включение материала в нагрев объясняется не бесконечной (как в тонких телах), а конечной скоростью распространения тела.
Время, в течение которого тепловая волна достает самого удаленного слоя материала, называется инерционным (иррегулярным). При одностороннем нагреве таким слоем является противоположная поверхность тела, а при симметричном двустороннем – его центр.
Максимальная разность Т между поверхностью и центром принято считать перепад температур . По истечении некоторого времени наступает регулярный (упорядочный) тепловой режим, при котором различные точки подчиняются единым законам.
При нагреве массивного тела необходимо знать распределение величин Т в нем, или как мы сказали температурное поле, обусловленное внешним тепловым режимом.
Определение температурного поля становится возможным, если известны математические зависимости между температурой, временем и пространственными координатами в любом элементарном объеме материала. Связь между этими зависимостями устанавливается дифференциальным уравнением теплопроводности. При этом считают, что твердое тело однородно и изотропно, его теплофизические параметры и агрегатное состояние не изменяются, а также внутренние источники теплоты в нем отсутствуют.
Давайте выведем дифференциальное уравнение теплопроводности в общем, виде.
Выделим в нагревательном теле элементарный параллепипед с гранями dx, dy, dz.
В соответствии с законом сохранения энергии, разность между количеством тепла подводимого в элементарный объем за время d и убывающего из него за то же время, равна изменению его энтальпии.
Через грань dy dz поступает количество тепла
(1)
а уходит через противоположную грань
, (2)
где qx, qx+dx – плотность потока, соответственно подводимого и отводимого в направлении оси Х.
Плотность теплового потока в этой грана находится путем разложения в ряд Тейлора
Найдем разность между количеством тепла, поступившим в параллепипед и вышедшем из него в направлении оси Х: из (1) – (2)
; (3)
Аналогично определяются соответствующие величины для осей Y и Z:
; (4)
; (5)
Оставшееся в элементарном объеме количество тепла, расходуемое на изменение энтальпии тепла равно:
; (6)
С учетом, что – получаем:
; (7)
Составим баланс тепла в элементарном объеме:
Уравнение (7) приравняем к уравнениям (3), (4), (5)
; (8)
Согласно закону Фурье:
Тогда формула (8) запишется так (разделив также правую часть на с):
; (9)
Вводят оператор Лапласа 2 набла: и зная, что– коэффициент температуропроводности, мы получим дифференциальное уравнение теплопроводности Фурье в компактной форме:
Коэффициент температуропроводности а м2/с, (в условиях нестационарных процессов) характеризует теплоинерционные свойства тепла. Чем больше а, тем выше скорость изменения (параметров) Т в любой точке тела и тем быстрее перестраивается его температурное поле.
Для различных веществ значение а м2/с, как и , зависит от структуры, плотности, влажности, давления и температуры.
Таким образом, дифференциальное уравнение теплопроводности Фурье устанавливает зависимость между температурой, временем и пространственными координатами в любой элементарном объеме нагреваемого материала. Выше приведенное уравнение Фурье записано в общем виде.
Уравнение Фурье можно записать в иных системах координат. Так, для цилиндра бесконечно малой длины при симметричном относительно оси распределении температур уравнение имеет вид:
.
Для тел сферической формы
где r – радиус цилиндра или шара.
При одномерных температурных полях то же уравнение для простейших форм тела имеет вид:
,
где k1 – коэффициент формы тела.
Мы отметили, что дифференциальное уравнение Фурье имеет бесконечное множество решений. Для получения единственного решения (применительно к конкретному случаю) необходимо кроме основного дифференциального уравнения Фурье задать дополнительные условия.
В условия однозначности входят:
геометрические условия, определяющие форму и размеры тела;
физические условия, т. е. физические параметры и свойства тела – , Ср;
начальные условия, т. е. распределение температуры в объеме тела в некоторый момент времени, принятый за начало отсчета, 0;
граничные условия, характеризующие тепловое взаимодействие окружающей среды с поверхностью тела, т. е. связь внешнего теплообмена в рабочем пространстве, с внутренним.
Начальное распределение температур показывает t0 состояние тела перед тем, как начался процесс нагрева и может быть различным. Наиболее простой случай имеющий практическое значение – одинаковое значение Т по всему объему: .
Например: это нагрев или охлаждение металла после стационарного режима.
Во многих задачах используется начальное параболическое распределение t0 по объему тела:
где Тц.о – температура центра в начальный момент времени;
Т0 – нач. перепад t по сечению тела (нагрев или охлаждение предварительно разогретого металла).
Граничные условия можно задавать различными способами и на них влияет характер взаимодействия поверхности тела с окружающей средой.
Граничные условия первого рода (первая краевая задача).
В этом случае задается распределение t по всей поверхности тела и изменение этого распределения во времени, т. е. задается функция: Тпов.=f(х, у, z, ).
Примером граничных условий первого рода является линейное изменение t0 поверхности во времени:
где Сн – скорость нагрева.
К описанному условию можно отнести задачу разогрева кладки печи или задачу нагрева (охлаждения) тел при термообработке с заданной скоростью.
Другим примером граничных условий первого рода является постоянство температуры поверхности:
Это задачи нагрева или охлаждения с мгновенным повышением (снижением) t0пов.Тела (закалка, выдержка, томление металла).
Граничные условия второго рода (вторая краевая задача).
В этом случае задается распределение плотности теплового потока qпо всей поверхности тела и изменение этого распределения во времени.
где n– координата, направленная к поверхности тела.
Таким образом, задание граничных условий второго рода – это задание величины градиента t0на поверхности тела.
Часто принимают, что q=const– постоянный во времени и по всей поверхности тела.
Встречается в металлургических и камерных печах граничные условия третьего рода(смешанная краевая задача).
В этом случае задаются t0окружающей среды или внешнего источника тепла Т0и закон теплообмена между средой и поверхностью тела.
Граничные условия часто третьего рода – часто встречаются на практике.
По существу задаемся некоторая связь между известной t0окружающей среды (внешнего источника тепла) и неизвестными t0поверхности тела и градиентом температур на поверхности.
Например, если внешний теплообмен осуществляется путем конвективной теплоотдачи, то плотность теплового потока, подводимого к поверхности тела, выражается формулой Ньютона:
где T0–t0окружающей среды;
Тпов.–t0поверхности тела.
С другой стороны плотность теплового потока на поверхности тела qможет быть выражена постулатом или формулой Фурье:
где n– координата, направленная по нормам к поверхности тела.
Приравнивая правые части уравнений, на основании закона сохранения энергии, получим математическую формулировку граничных условий третьего рода:
;
Частный случай Т0=constили Тпеч.=const; – нагрев заготовки в печи при постоянной температуре. На практике при нагреве металла производят сочетание граничных условий нагрева. Например вначале нагрев приq.=const, а заканчивать нагрев приtпеч=.const.