Лекция 14: Решение дифференциального уравнения теплопроводности Фурье при граничных условиях 3 рода.

1. Определение температур нагрева металла.

Как мы отмечали ранее, при нестационарном тепловом состоянии с течением времени происходит изменение температуры тела, т. е. . Такое изменение температуры тела возможно, когда тело остывает или нагревается. На практике это широко распространенный процесс нагрева металла. Решение дифференциального уравнения теплопроводности совместно с граничными условиями представляет собой весьма сложную математическую задачу. Мы остановимся на решении при граничных условиях 3-го рода, получившем наибольшее практическое распространение. На практике часто встречаются печи, в которых нагрев металла происходит при неизменной температуре рабочего пространства. Некоторые печи с изменяющейся температурой по длине рабочего пространства можно условно разделить на расчетные участки с приближенно неизменной температурой в пределах каждого участка и к каждому из них применить решения, полученные при граничных условиях 3-го рода.

Решение дифференциального уравнения для удобства заменяют критериальным уравнением следующего вида: ,(1)

Где - безразмерный температурный критерий;

Т₀ – температура среды печи;

Т_нач. и Т_кон. – температура нагреваемого тела соответственно начальная и конечная.

Из уравнения (1) видно, что температура нагрева металла Т зависит от трех безразмерных комплексов: критериев Фурье (F₀), Био (В_i) и безразмерного геометрического комплекса , определяющего собой местоположение точки в теле, для которой определяют температуру. Так, для центра нагреваемого телаx=0 и =0, для поверхности тела х=S и =1.

В зависимости от условий решения уравнения Т_кон может представлять собой как конечную температуру поверхности тела (при =1), так и конечную температуру в центре тела (при=0).

Таким образом, решая уравнение (1) для поверхности тела (=1), получаем температурный критерий:, а для центра (=0):.

F₀=- критерий Фурье. Его физический смысл вытекает из того, что главным его членом является время. Поэтому критерийF₀ определяет собой время процесса и называется безразмерным временем.

Характер нагрева тел существенно зависит от критерия Вi. Решение уравнения (1) для пластины и цилиндра представлено в виде номограмм Д. В. Будрина в графическом виде.

2. Определение продолжительности нагрева металла.

Факторы, влияющие на продолжительность нагрева. Время нагрева металла необходимо для определения производительности печи, ее размеров и зависит от следующих факторов:

• факторы, определяющие собой внешний теплообмен, т. е. теплоотдачу от печных газов и футеровки к поверхности металла: температура печи, температура металла в начале и конце периода нагрева, излучательная способность печных газов и футеровки, размеры рабочего пространства;

• факторы, определяющие собой внутренний теплообмен, т. е. характеризующие теплоотдачу от поверхности металла внутрь его: теплопроводность, теплоемкость, толщина металла.

Определение времени нагрева тонкого тела при граничных условиях 3-го рода (t_печ=const).

Передача тепла к поверхности изделия может осуществляться конвекцией и излучением. Если преобладает конвективная теплоотдача, то справедливо уравнение Ньютона: ; ккал, кДж. Тогда время нагрева металла определяют по уравнению:, с, где с – теплоемкость металла, Дж/(кгК);

М – масса находящегося в печи металла (садка), кг;

F – поверхность металла, воспринимающая тепло, м²;

- коэффициент теплоотдачи конвекцией к поверхности металла, Вт/(м²К);

t_печ – температура печи, ⁰С;

t_{м. нач} и t_{м. кон} – температура металла соответственно начальная и конечная, ⁰С.

Если преобладает передача тепла излучением и справедлив закон Стефана-Больцмана, время нагрева тонких тел следует определять по выражению: , с

где С_пр – приведенный коэффициент излучения системы печь-металл, Вт/(м²К⁴).

Значение f₁ и f₂ можно выбирать из графика в справочной литературы.

Определение времени нагрева массивного тела при граничных условиях 3-го рода (t_печ=const).

Как показано выше, решение дифференциального уравнения теплопроводности для этих условий представляют в виде следующего критериального вида: .

Решение этого уравнения для пластины и цилиндра представлено в виде номограмм Д. В. Будрина. Из этих номограмм для определения времени нагрева необходимо найти критерий F₀=. Для этого предварительно необходимо найти температурный критерийи критерий Вi=. При определении значенияBi, а затем и времени нагрева из критерия F₀ необходимо правильно выбирать расчетную толщину нагреваемой заготовки. При двустороннем нагреве в качестве расчетной толщины принимают половину геометрической толщины. При одностороннем нагреве необходимо учитывать полную толщину заготовки.

Теплопроводность металла следует находить по средней его температуре за весь период его нагрева: t_ср=0,5 (t_нач + t_кон).

По найденному значению из точки на ординате номограммы проводят горизонтальную линию до пересечения с линией Вi, соответствующей найденному его значению. Из полученной точки пересечения опускают перпендикуляр и на абсциссе находят искомое значение F₀. Затем из него определяют время нагрева .