Тема 13. Функция от двух случайных величин.

Основные определения и формулы:

Для функции нескольких случайных величин удобнее искать функцию распределения, а плотность определять дифференцированием. Если НСВ Zесть функция от двух случайных аргументов Х иY:Z=(X,Y), то ее функция распределения имеет вид:

где f(x,y) – совместная плотность системы случайных величин (X,Y), а двойной интеграл берется по областиD(Z) плоскости хОу, для которой(x,y) <z.

Решение типовых примеров:

Пример 1.Найти функцию распределения СВZ=Y–X, гдеXиY– независимые СВ, причем Х равномерно распределена в интервале (-1; 1),Y– имеет показательное распределение с параметрома= 1.

Решение :

Выпишем плотности СВ Х и Y:

Так как Х и Y– независимы, то совместная плотность системы (X,Y) есть произведение их плотностей:

f(x,y) = 0,5e^-yв полуполосеK= {(x,y): -1 <x< 1, 0 <y< +} иf(x,y) = 0 вне К.

Множество возможных значений СВ Z– это интервал (-1; +). ПоэтомуF(Z) =P(Z<z) = 0 приz-1. Для вычисленияF(z) при других значенияхzрассмотрим множествоD_z, по которому интегрируется совместная плотность. Это часть полуполосы К, удовлетворяющая условиюy–x<z, т.е. часть К, лежащая ниже прямойy=x+z. ФормаD_zи пределы интегрирования в повторном интеграле зависят от значенияz:

1) При z> 1D_z = {(x,y): -1x1, 0yx+z}

2) При –1 < z  1 D_z = {(x, y): -z  x  1, 0  y  x + z }

Пример 2.В прямоугольник К с вершинами (0;0), (а;0), (0;b), (a;b) наудачу ставят точку (X;Y) и опускают из нее перпендикуляры на оси координат. Найти закон распределения площади Т многоугольника, образованного этими перпендикулярами и осями координат.

Решение :

Тот факт, что точка ставится в прямоугольник К наудачу, означает, что система СВ (X;Y) имеет равномерное распределение в К, т.е. ее совместная плотностьf(x,y) =Cв прямоугольнике К иf(x,y) = 0 вне К, причем С = 1/(a*b). Функциональная зависимость СВ:T=X*Y, т.е.(x,y) = х*у. Область интегрирования в формуле для функции распределения:

D_t= {(x,y):xy<t}={(x,y):y<t/x}.

Учитывая вид плотности f(x,y), получим:

Здесь G_t– это часть прямоугольника К, лежащая ниже гиперболыy=t/x, а интеграл по областиG_t– это не что иное, как ее площадь:

Итак, окончательно функция распределения площади имеет вид:

(это следует из общих свойств функции распределения). Дифференцируя эту функцию, находим плотность:

Тема 14. Закон больших чисел.

Основные определения и формулы:

Если СВ Х неотрицательная и имеет конечное математическое ожидание, то для любого > 0

(неравенство Чебышева, первая форма).

Если СВ Х имеет конечную дисперсию, то для любого > 0

(неравенство Чебышева, вторая форма).

Пусть случайные величины Х₁, Х₂, … Х_n, … независимы и имеют конечные дисперсии, причемD(X_n)C,n= 1, 2, … . Тогда последовательность СВ Х₁, Х₂, … Х_n, … подчиняется закону больших чисел, т.е. для любого> 0

(теорема Чебышева)

Решение типовых примеров:

Пример 1. Количество осадков, выпадающих в данной местности в течение года, является случайной величиной Х, причем М(Х) = 55 см. а) Оценить вероятность того, что в этой местности осадков выпадет не более 175 см.; б) Оценить ту же вероятность, если известно , что(х) = 15 см.

Решение :

а) Так как о дисперсии СВ Х мы ничего не знаем, используем первую форму неравенства Чебышева:

Р(Х > 175) < 55/175 = 0,31

Отсюда получаем оценку снизу для искомой вероятности:

Р(Х 175) = 1 – Р(Х > 175) > 1 – 0,31 = 0,69.

б) Информация о дисперсии СВ Х позволяет использовать вторую форму неравенства Чебышева и получить более точную оценку:

P(X > 175) = P(X–55 > 175–55)  P(|X–M(X)| > 20) < 15²/120² = 0,02.

Отсюда: Р(Х 175) > 0,98.

Пример 2.Дана последовательность независимых случайных величин Х₁, Х₂, … Х_n, …, причем СВ Х_nимеет равномерное распределение на интервале (). Подчиняется ли эта последовательность закону больших чисел.

Решение :

Воспользуемся известным фактом: если СВ Zимеет равномерное на интервале (a,b) распределение, то

M(Z) = (a+b)/2, D(Z) = (b–a)²/12.

Таким образом M(X_n) = 0,D(X_n) =ln(n)/3.

Теорему Чебышева применять нельзя, т.к. нет ограниченности дисперсии. Но можно применить неравенство Чебышева к СВ Числовые характеристики:

Неравенство Чебышева:

Так как ln(n) =o(n), то эта вероятность стремится к 0 при увеличенииn. Другими словами

т.е. последовательность Х₁, Х₂, … Х_n, … подчиняется закону больших чисел.