Тема 10. 2-мерная дискретная случайная величина.

Основные определения и формулы:

Если результат СЭ описывается двумя случайными величинами XиY, то принято говорить о2-мерной СВили о системе СВ (Х₀Y). Ее интерпретируют как случайную точку с координатами (X;Y) по плоскости хОу или как случайный радиус-вектор такой точки.

Совместной функцией распределениясистемы (Х,Y) называют функциюF(x;y) двух переменных, определяемую равенством:

F(x; y) = P{(X < x)*(Y < y)}.

Геометрически F(x;y) представляет собой вероятность попадания случайной точки (х; у) в бесконечный квадрат с вершиной (х; у), лежащий левее и ниже ее.

Пусть ДСВ Х и Yпринимают значения х₁, х₂, … и у₁, у₂, … соответственно. Тогда совместный закон распределения можно задавать матрицей (Р_ij), элементы которой р_ij=P{(X=x_i)(Y=y_j)}, удовлетворяют очевидному условию:.

Суммируя вероятности р_ijпо строкам, получим ряд распределения СВ Х, а суммируя их по столбцам – СВY.

Пусть т₁ит₂– математические ожидания,₁и₂– средние квадратичные отклонения случайных величин Х иYсоответственно. Коэффициентом корреляции системы (X;Y)называют число:

Свойства коэффициента корреляции:

1. –1 r1;

2. если XиY– независимы, тоr= 0;

3. если Y=aX+b, гдеaиb- неслучайны, тоr=1 (знак “+” соответствует а > 0, знак “–” соответствует а < 0).

Решение типовых примеров :

Пример 1.Из колоды карт наудачу извлекают по одной с возвращением 2 карты. Х – число карт черного цвета,Y– число карт пиковой масти среди извлеченных. Найти совместный закон распределения (X,Y) и коэффициент корреляции.

Решение :

Возможные значения величин XиY– это 0, 1, 2. Обозначим р_ij=P{(X=i)(Y=j)},i,j=0, 1, 2. Так как карта пиковой масти черная, то р₀₁= р₀₂= р₁₂= 0. Найдем остальные вероятности, используя теоремы сложения и умножения.

р₀₀= Р(X=0,Y=0) =P(обе карты красные) = ½ * ½.

р₁₀= Р(X=1,Y=0) =P(только одна черная, но не пика) =P(одна трефа и одна красная) = ¼ *½ + ½ *¼.

р₁₁= Р(X=1,Y=1) =P(одна пика и одна красная) = 2*¼* ½.

р₂₀=P(обе черные, но не пики) = ¼*¼.

р₂₁=P(одна пика и одна трефа) = 2*¼*¼.

р₂₂=P(обе пики) = ¼*¼.

Итак, совместный закон распределения имеет вид:

Х	Y	0	1	2
0		0.25	0	0
1		0.25	0.25	0
2		0.0625	0.125	0.0625

Суммируя вероятности по строкам и столбцам, находим законы распределения Х и Y:

Х	0	1	2		Y	0	1	2
р	0,25	0,5	0,25		p	0,5625	0,375	0,0625

Анализируя условия СЭ, приходим к выводу, что СВ Х и Yимеют биномиальные распределения с параметрами:п= 2,р₁= 0,5 (для Х) ир₂= 0,25 (дляY). Поэтому их основные числовые характеристики можно найти, не прибегая к выписанным выше законам распределения:

m₁ = M(X) = np₁ = 1 ; m₂ = M(Y) = np₂ = 0,5 ;

Далее находим М(XY):

M(X,Y) = = 0*0*0,25 + 0*1*0 + 0*2*0 + 1*0*0,25 + 1*1*0,25 + + 1*2*0 + 2*0*0,0625 + 2*1*0,125 + 2*2*0,0625 = 0,75.

Теперь можно найти коэффициент корреляции:

Пример 2.Производятся три независимых выстрела по мишени, причем вероятность попадания при каждом выстреле равнар. Х – число попаданий,Y– число промахов. Найти закон распределения системы (X,Y) и вычислить коэффициент корреляции.

Решение :

Возможные значения случайных величин Х и Y– это 0, 1, 2, 3. Очевидно, чтоp_ij=P{(X=i)(Y=j)} = 0, еслиi+j3,i,j= 0, 1, 2, 3. Остальные вероятности находим по формуле Бернулли (n= 3,p=P(попадания)):

р₀₃= Р(Х=0;Y=3) = Р₃(0)=(1–р)³;

р₁₂= Р₃(1) =

р₂₁= Р₃(2) =

р₃₀= Р₃(3) = р³.

Чтобы найти коэффициент корреляции, обратим внимание на то, что Х и Yсвязаны линейной функциональной зависимостьюY=3 –X. Поэтомуr= -1.