Тема 11. 2- мерная непрерывная случайная величина.

Основные определения и формулы:

Совместная функция распределения F(x,y) =P{(X<x)(Y<y)} 2-мерной СВ (X,Y), обладает следующими свойствами:

1. F(-, -) = F(-, y)=F(x, -)=0; F(+, +)=1;

2. F(x, +) =F₁(x) – функция распределения СВ Х;

3. F(+,y) =F₂(y) – функция распределения СВY.

4. F(x,y) – неубывающая функция по каждому из аргументов.

В случае, если Х и Yнепрерывные СВ, совместный закон распределения можно задавать совместной плотностьюf(x,y) системы (Х,Y):

Плотность обладает следующими свойствами:

5) вероятность попадания случайной точки (X, Y) в произвольную область D выражается формулой:

Отношения f(x,y)/f₂(y) =f₁(x/y) иf(x,y)/f₁(x) =f₂(y/x) называются условными плотностями случайных величин Х иYсоответственно.

Две СВ Х и Yназываютсянезависимымиеслиf₁(x/y) =f₁(x) илиf₂(y/х) =f₂(y).

Если Х и Yнезависимы, то совместная плотность системы (X,Y) равна произведению плотностей Х иY:

f(x,y) = f₁(x)* f₂(y).

Корреляционным моментомдвух СВ Х иYназывают величину:

K=M(XY) – M(X)M(Y).

Если Х и Y– непрерывны иf(x,y) – их совместная плотность, то:

Коэффициентом корреляциидвух СВ Х иYназывают безразмерную величинуr:

Решение типовых примеров :

Пример 1.Система СВ (X,Y) задана совместной плотностью:

Найти: а) параметр А; б) совместную функцию распределения F(x,y); в)одномерные функцииf₁(x),f₂(y),F₁(x),F₂(y); г) условные плотностиf₁(x/у) иf₂(у/x); д) корреляционный момент.

Решение :

а) параметр А находим, используя свойство 2):

б) функция распределения F(x,y) отлична от 0 только в первом квадрате, причем (свойство 3)):

в) используя свойство 4), находим плотности СВ Х и Y:

(здесь использовалось известное соотношение х = о(е^х) при х+).

Для отрицательных значений аргументов плотности f₁(x),f₂(y) равны 0, т.к. равна 0 совместная плотность.

Функции распределения F₁(x) ,F₂(y) находим, используя свойство одномерных плотностей:

г) условные плотности:

Эта плотность определена лишь для y> 0, при которыхf₂(y)0.

Эта плотность определена лишь для x> 0.

д) найдем сначала числовые характеристики СВ Х и Y. Вид плотностиf₁(x) означает, что Х имеет показательное распределение с параметром= 3. Поэтому:

M(X) = 1/3 ;D(X) = 1/9.

Вид плотности f₂(у) говорит о том, чтоM(Y) = +, т.к. интеграл

расходится (подынтегральная функция на +эквивалентна функции 3/у, интеграл от которой расходится).

Таким образом, корреляционный момент не существует.

Тема 12. Функция от случайной величины.

Основные определения и формулы:

Пусть НСВ Х и Yсвязаны функциональной зависимостьюY=(х), где(х) – дифференцируемая функция, монотонная на всем интервале возможных значений СВ Х. Тогда, еслиf(x) – плотность СВ Х, аg(y) – плотность СВY, то

g(y) = f((y))| ’(y)|,

где (y) – функция, обратная по отношению к(х).

Если на интервале возможных значений СВ Х обратная функция (y) неоднозначна, т.е. одному значению у соответствует несколько значений х:₁(y),₂(y),…,_n(y), то плотность СВYопределяется формулой:

Решение типовых примеров:

Пример 1.СВ Х имеет показательное распределение с параметрома. Найти плотность СВY= АХ + В.

Решение :

Рассмотрим функцию (х) = Ах + В. Это монотонная функция (если А0). Чтобы найти обратную функцию(у), достаточно решить уравнение у = Ах + В относительно х: х = (у – В)/А. Итак,(у) = (у – В)/А, а’(у) = 1/А. Плотность СВ Х:

Находим плотность СВ Y:

g(y) =ae^-a(y-B)/A*|A^-1|. при (у–В)/А > 0,

т.е. при y>B. Для остальных у плотностьg(y) = 0.

Пример 2.Через точку А(0,l) проведена наудачу прямая. Найти плотность абсциссы точки пересечения этой прямой с осью Ох.

Решение :

Пусть НСВ Y– угол, который прямая, проведенная через точку А, составляет с положительным направлением оси Оу. Проведение этой прямой наугад означает, что СВYимеет равномерное распределение в интервале (-/2;/2), т.е. ее плотность имеет вид

Если В(Х, 0) – точка пересечения прямой с осью Ох, то Х = l*tgY. Обратной к функции(y) =l*tgyна интервале (-/2;/2) является функцияy=arctg(x/l). Находим плотность Х:

Это так называемое распределение Коши.

Пример 3.НСВ Х имеет нормальное распределение с параметрамиm= 0,= 1. Найти плотность СВY=X².

Решение :Функция у = х²– немонотонная на (-; +) и поэтому ее обратная функция(у) – неоднозначная:₁(у) =у и₂(у)= -у. Находим плотность СВY:

Здесь - плотность СВ Х.

После преобразований получим:

Для отрицательных у плотность равна 0.