Тема 6. Повторение опытов (при большом n).

Основные определения и формулы:

Пусть в каждом из независимых испытаний событие Аможет произойти с вероятностьюq,q= 1 –p. Обозначим как и раньше, черезP(n;k) вероятность ровнокпоявлений событияАвnиспытаниях. кроме того, пустьP(n;k₁,k₂) – вероятность того, что число появлений событияАнаходится между к₁и к₂.

Локальная теорема Лапласа.Еслиn– велико, ар– отлично от 0 и 1, то

P(n;k)

где - функция Гаусса.

Интегральная теорема Лапласа.Еслиn– велико, ар– отлично от 0 и 1, то

P(n;k₁,k₂)

где - функция Лапласа.

Функции Гаусса и Лапласа обладают свойствами, которые необходимо знать при использовании таблиц значений этих функций: а) (-х) =(х),(-х) = -(х); б) при больших х(х)0,(х)0,5.

Теоремы Лапласа дают удовлетворительное приближение при npq 9.

Теорема Пуассона.Еслиn– велико, ар– мало, то

P(n;k), где=n*p.

Эта формула дает удовлетворительное приближение для р 0,1иnp10. При большихnpрекомендуется применять формулы Лапласа.

Решение типовых примеров :

Пример 1.Пустьт– число появлений событияАвnнезависимых испытаниях. Чему равна вероятность того, что частотат/псобытияАотклонится от его вероятностирне более чем на?

Решение :

Итак, искомая вероятность приближенно равна

Пример 2.В продукции некоторого производства брак составляет 15%. Изделия отправляются потребителям (без проверки) в коробках по 100 штук. Найти вероятности событий:

В– наудачу взятая коробка содержит 13 бракованных изделий;

С– число бракованных изделий в коробке не превосходит 20

Решение :

Изготовление детали – это испытание, в котором может появиться событие А– изделие бракованное – с вероятностьюр = 0,15. Находимпр = 15,npq = 12,75. Можно применять формулы Лапласа:

Р(В) = Р(100;13)0,28(-0,56) = 0,28*0,341 = 0,095.

Р(С) = Р(100; 0, 20)

Значения функций Гаусса и Лапласа нашли по таблицам с учетом их свойств. Как интерпретировать результат? Приблизительно 9,5% всех коробок содержат 13 бракованных изделий и в 92% коробок число бракованных не превосходит 20.

Пример 3.Известно, что только 80% семян некоторой культуры дают полноценные растения. Сколько семян нужно посадить, чтобы с вероятностью не меньшей 0,95 получить, по крайней мере, 100 растений?

Решение :

Поведение семян в почве – это испытание, событие А– семя дало полноценное растение,р = 0,8. Неизвестное число испытанийпдолжно удовлетворять неравенству:

Р(п;100,п)0,95, причемп> 100.

Используем формулу Лапласа:

Р(n; 100, n)

Учитывая свойства функции Лапласа, получим:

Из таблицы значений функции Лапласа находим: 0,45 = (1,645). Учитывая еще и возрастание(х) получаем неравенство для определенияп:

Решая его, получаем: , т.е.п135.

Итак, посеяв 135 (или более) семян можно с вероятностью 0,95 гарантировать получение, по крайней мере, 100 полноценных растений.

Пример 4,имеется АТС, которая обслуживает 1000 абонентов. Для каждого их них вероятность воспользоваться услугами АТС в течении одной минуты равна 0,003. Для выбранной наудачу минуты найти вероятности событий:В– ровно 5 вызовов на АТС,С– не более двух вызовов,D– хотя бы один вызов.

Решение :

Поведение абонента в течении одной минуты – это испытание, событие А– абонент воспользовался услугами АТС,р = 0,003,nр = 3. Используем формулу Пуассона, причем= 3: