Тема 7. Дискретная случайная величина.

Основные определения и формулы :

Случайной величиной(СВ) называется величина, которая в результате СЭ может принять то или иное значение, заранее неизвестное и зависящее от случайных причин.

Если множество возможных значений СВ представляет собой последовательность чисел (конечную или бесконечную), то такая СВ называется дискретной (ДСВ).

Случайная величина полностью описывается (с вероятностной точки зрения) заданием своего закона распределения.

Законом распределения случайной величиныназывается всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями СВ и вероятностями принять эти значения.

Для ДСВ закон распределения можно задавать в различных формах: табличной, графической, аналитической.

Рядом распределения ДСВназывается таблица вида:

Х	х1	х2	…	хк	…
Р	р1	р2	…	рк	…

где х_к– все возможные значения ДСВ Х,

р_к– соответствующие вероятности, т.е. р_к= Р(Х=х_к), к = 1,2,…, причемр_к= 1.

Многоугольником распределенияДСВ Х называется ломаная линия, звенья которой последовательно соединяют точки (х_к, р_к), нанесенные на координатную плоскость хОр.

Функцией распределенияпроизвольной СВ Х называется функцияF(x) действительного переменного х, определяемая равенством:

F(x) = P(X < x).

Для ДСВ функция распределения всегда есть разрывная ступенчатая функция, скачки которой расположены в точках, соответствующих возможным значениям СВ, и равны вероятностям этих значений. Формально:

К числовым характеристикам ДСВ Х относятся: математическое ожидание М(Х), дисперсия D(Х), среднее квадратичное отклонение(Х), коэффициент вариацииV(Х), асимметрия А(Х), эксцесс Е(Х), модаМ(формулу для вычисления см. в примере 1).

Решение типовых примеров :

Пример 1.Из ящика, содержащего 8 деталей, среди которых 2 нестандартные, наудачу извлечены 4 детали. Для СВ Х – число нестандартных деталей среди извлеченных – построить ряд распределения, записать функцию распределения, найти числовые характеристики.

Решение :

Нестандартных деталей среди извлеченных по условию задачи может быть 0, 1 и 2. Пользуясь классическим определением, находим вероятности возможных значений:

Проверка: р₀+ р₁+ р₂ = 1.

Ряд распределения имеет вид:

Х	0	1	2
Р	0,21	0,58	0,21

Функция распределения:

Находим числовые характеристики:

Пример 2.Производится стрельба до 1-го попадания, причем вероятность попадания при каждом выстреле одна и та же и равна 0,8, а выстрелы независимы. Для ДСВ Х – число сделанных выстрелов– найти закон распределения. Рассмотреть два случая: а) боекомплект не ограничен; б) боекомплект состоит из 3 зарядов.

Решение :

Обозначим через А_ксобытие – попадание вк-ом выстреле, к = 1,2,.. По условию: Р(А_к) = 0,8,

а) в случае неограниченного боекомплекта ДСВ Х может принять любое натуральное значение п, причем:

Это пример аналитической формы закона распределения: P(X=x_n) =G(x_n), гдеG(x_n) – некоторая функция.

б) в случае ограниченного боекомплекта вероятности р₁и р₂совпадают с соответствующими для случая а): р₁= 0,8, р₂= 0,2*0,8.

Для р₃имеем:

р₃= Р(Х=3) = Р(боекомплект исчерпан) =

Ряд распределения имеет вид:

Х	1	2	3
Р	0,8	0,16	0,04

Пример 3.Число проведенных опытов есть ДСВZимеющая распределение Пуассона с параметром. Каждый опыт может быть успешным с вероятностьюри неуспешным с вероятностьюq = 1 – p. Найти закон распределения для ДСВ Х – число успешных опытов.

Решение :

Возможные значения СВ Х: 0, 1, 2, … , к, … . Событие {X=k} может осуществиться только с одним их событийH_n= {Z=n},nk. Значит можно использовать формулу полной вероятности:

Условие на Zозначает следующее:

Условную же вероятность можно вычислить по формуле Бернулли:

Итак, закон распределения СВ Х:

Преобразуем полученный ряд:

Или, окончательно:

т.е. СВ Х имеет распределение Пуассона с параметром р.

Пример 4.Пусть Х – число появлений событияАв серии изпнезависимых испытаний, причем, вероятность появления А вк-ом испытании равнар_к. найти математическое ожидание и дисперсию СВ Х.

Решение :

Рассмотрим вспомогательные СВ Х_к– число появлений А вк-ом испытании, к = 1 ..п(это так называемые индикаторы события А). Каждая такая СВ принимает значение 1 с вероятностьюр_ки значение 0 с вероятностью1 - р_к = q_k. Ее числовые характеристики:

М(Х_к) = 0*q_k+ 1*p_k=p_k;

D(X_k) = (0 –p_,k)²q_k+ (1 –p_k)²p_k=p_kq_k,kl= 1 ..n;

Отметим, что в силу независимости испытаний, эти величины –независимы.

Число Х – появлений события А в к испытаниях есть не что иное, как сумма чисел появлений в каждом испытании, т.е.

Х = Х₁+ Х₂+ … + Х_п.

Используя свойства математического ожидания и дисперсии, получаем: